2011年中考数学试题分类44 动态问题

第44章 动态问题

一、选择题 1.

（2011安徽）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形

状是（ ）

A． B． C． D． 【答案】C

2.

（2011山东威海）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2）， 运动时间为x（秒），则下列图

象中能大致反映y与x之间的 函数关系的是（ ）

【答案】B

3. （2011甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，

设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是

y 1 -1 O x 1 O 1 x y 1 O 1 x y 1 O 1 x y A E G

B F C

H D

A． B． C． D．

【答案】B 二、填空题 三、解答题

1. （2011浙江省舟山，24，12分）已知直线y?kx?3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒． （1）当k??1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．

① 直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；

② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值． （2）当k??34时，设以C为顶点的抛物线y?(x?m)2?n与直线AB的另一交点为D（如图2），

① 求CD的长；

② 设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

yyBCBDC1PO11QAxO1PAx（第24题图1）

（第24题图2）

【答案】（1）①C（1，2），Q（2，0）．

②由题意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)， 分两种情形讨论：

情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA， ∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ=OP，即3－t=t，∴t=1.5．

情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB＝90°，∵OＡ=OＢ＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ是等腰直角三角形，∵CQ⊥OA，∴AQ=2CP，即t =2（－t ＋3），∴t=2．∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒． (2) ①由题意得：C(t，－t＋3)，∴以C为顶点的抛物线解析式是y?(x?t)?423234t?3，

由(x?t)?34t?3??34x?3，解得x1=t，x2=t?DEAOCDBA34；过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB＝90°，DE∥OA，

∴∠EDC=∠OAB，∴△DEC∽△AOB，∴?，

∵PQ2=(4+t)2+3(4-t)2=4t2-16t+64 ∴BP+ CQ =PQ

4. （2011山东德州23,12分）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数y?圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．

（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由． （2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时： ①求出点A，B，C的坐标．

②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．

y 122

2

2

23x(x＞0）图象上一个动点，以P为

．若存在，试求出所有满

A P y?23x

O K 图1

x

【答案】解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切， ∴ PA⊥OA，PK⊥OK． ∴∠PAO=∠OKP=90°． 又∵∠AOK=90°，

∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°． ∴四边形OKPA是矩形． 又∵OA=OK，

∴四边形OKPA是正方形．????????2分 （2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为

23x．

y A P M

y?23x

过点P作PG⊥BC于G． ∵四边形ABCP为菱形， ∴BC=PA=PB=PC． ∴△PBC为等边三角形．

在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x， PG=

23x．

23sin∠PBG=

PGPB，即

32?xx．

解之得：x=±2（负值舍去）．

∴ PG=3，PA=BC=2．????????4分 易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1， ∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．

∴ A（0，3），B（1，0） C（3，0）．????????6分 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．

?a?b?c?0?据题意得：?9a?3b?c?0

??c?3解之得：a=

33， b=?433， c=3．

∴二次函数关系式为：y?33x?2433x?3．????????9分

②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得： ???u?v?0??2u?v?3 解之得：u=3， v=?33． ∴直线BP的解析式为：y?3x?33．

过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：y??y?3x?3?解方程组：?3243x?x??y?33?3x?3．

3

???x1?0?x2?7得：? ； ?．

???y1?3?y2?83过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：y? ∴0=33?t． ∴t??33．

∴直线CM的解析式为：y?3x?33．

3x?t．

?y?3x?33?解方程组：?3243y?x?x??33???x1?3?x2?4得：? ； ?．

y?0??1?y2?3 3综上可知，满足条件的M的坐标有四个，

分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）．???????12分 解法二：∵S?PAB?S?PBC?12S?PABC，

∴A（0，3），C（3，0）显然满足条件．

延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA． 又∵AM∥BC， ∴S?PBM?S?PBA?12S?PABC．

∴点M的纵坐标为3．

又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4． ∴点M（4，3）符合要求． 点（7，83）的求法同解法一． 综上可知，满足条件的M的坐标有四个，

分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）．???????12分 解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA． 又∵AM∥BC， ∴S?PBM?S?PBA?12S?PABC．

∴点M的纵坐标为3．

33433即x?2x?3?3．

解得：x1?0（舍），x2?4． ∴点M的坐标为（4，3）． 点（7，83）的求法同解法一． 综上可知，满足条件的M的坐标有四个，

分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）．???????12分 5. （2011山东菏泽，21，9分）如图，抛物线y＝（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．

12x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．

y 1 A O C 1 ?1 B x D

解：（1）把点A(－1，0)的坐标代入抛物线的解析式y＝x2＋bx－2，

21 整理后解得b??32，

12x?2所以抛物线的解析式为 y?顶点D?,??2?325??8?32x?2．

．

（2）∵AB=5，AC2=OA2＋OC2=5，BC2=OC2＋OB2=20， ∴AC2＋BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形． （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′ (0，2)，OC′=2． 连接C′D交x轴于点M，

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC＋MD的值最小．

设抛物线的对称轴交x轴于点E． △C′OM∽△DEM． ∴

OMEM?OC?ED．∴

m32?m?2258．∴m=

2441．

6. （2011山东济宁，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，?1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，

C两点（点B在点C的左侧）. 已知A点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴

l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，?PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和?PAC的最大面积.

y D A O B C x

(第23题)

【答案】（1）解：设抛物线为y?a(x?4)2?1. ∵抛物线经过点A（0，3），∴3?a(0?4)2?1.∴a?∴抛物线为y?14(x?4)?1?214.

14x?2x?3. ???????????3分

2 (2) 答：l与⊙C相交. ?????????????????????????4分 证明：当

14(x?4)?1?0时，x1?2，x2?6.

2 ∴B为（2，0），C为（6，0）.∴AB?3?2?2213. 设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则?BEC?90???AOB. ∵?ABD?90?，∴?CBE?90???ABO.

（ii）连接CD，由KD?233，CK?CG?2，?CKD?30?，易知?KDC为等腰三角形

当l2过抛物线顶点于点D时，符合题意，此时点M2的坐标为(?1,433).

（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM?CK，但此时，三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形.

综上所述，当点M的坐标分别为(?2,3),(?1,14. (2011浙江绍兴，24，14分)抛物线y??144332)时，?MCK为等腰三角形.

(x?1)?3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C.

（1）如图1，求点A的坐标及线段OC的长；

（2）点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ.

①若含45°角的直线三角板如图2所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；

②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标.

yyABABDEPOCxOCQx

第24题图1 14(x?1)?3得y?2第24题图2 114【答案】解：（1）把x?0代入y???点A(0,114)，

，

?BC为对称轴，B(1,3)， ?OC?1.

（2）①如图1，过点D作DM?x轴，交x轴于点M， 过点D作DN?PQ，交PQ于点N，

?PQ//BC

??DMQ??DNQ??MDN?90?

?四边形MDNQ为矩形， ??CDE??MDN?90?,??CDM??EDN,?DC?DE,??DCM??DEN,?DM?DN,

?四边形MDNQ为正方形，

??DQC?45?，??BCQ为等腰直角三角形， ?CQ?BC?3，?OQ?4，

设直线BQ的函数解析式为y?kx?b， 直线上两点的坐标为B(1,3),Q(4,0)， 代入求得k??1,b?4，

?直线BQ的函数解析式为y??x?4.

??CDM??MDE??EDN??MDE?90?，??CDM??EDN,?Rt?CDM?Rt?EDN,?CDDE,,?DMDN,②当点PDDM?xxMDDN?PQPQNQ(m,0)?DN?MQ,??PQ//BC,??CDDE?3m?1,CDDEMQ??DMMQBCCQ

DM15. （2011浙江台州，24,14分）已知抛物线y?a(x?m)2?n与y轴交于点A，它的顶点为B，点A、B关于原点O的对称点分别是点C、D。若点A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线。

（1）如图1，求抛物线y?(x?2)?1的伴随直线的解析式；

（2）如图2，若y?a(x?m)?n（m>0）的伴随直线是y=x－3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式； （3）如图3，若抛物线y?a(x?m)?n的伴随直线是y=－2x+b（b>0），且伴随四边形ABCD是矩形。 ① 用含b的代数式表示m,n的值；

② 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式）；若不存在，请说明理由。

222

【答案】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b.由题意，得:A(0，5)，B(2，1)

?b?5 ∴? ∴k=-2 ,b=5

2k?b?1? ∴直线AB的解析式为y=-2x+5

(2) 由伴随直线是y=x－3，得：A(0，-3)，C(0，3) ∴ AC=6 由伴随四边形的面积为12，得：△ABC的面积为6= ∴m=±2 ∵m>0 ∴m=2

当m=2时，y=-1，顶点为（2，-1）， 且过点C（0，3）

12?AC?m

∴四边形点ANCM为平行四边形． ∴坐标为(?1,?4)的点N符合条件．

∴当点N的坐标为(?5,12)，(11,40)，(?1,?4)时，以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形．

8. （2011山东烟台，26,14分）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=－

43x+

163，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点P自A点出发，在AB上匀速运行.

动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）. （1）求出点B、C的坐标； （2）求s随t变化的函数关系式；

（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值.

y y D C D C y D C Q A P O B A O B x A O B x

x 43163（备用图1） ，得x＝1.

（备用图2）

【答案】解：（1）把y＝4代入y＝－x＋

∴C点的坐标为（1，4）. 当y＝0时，－x＋

34163＝0，

∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）.

（2）作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3. ∴BC＝CM2?BM2＝32?42＝5. ∴sin∠ABC＝

CMBC＝

45.

①当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N， 则QN＝BQ·sin∠ABC＝t.

54∴S＝

12OP·QN＝

12（4－t）3

45t ＝－t2＋t（0＜t＜4）.

5528②当4＜t≤5时，（如备用图1）， 连接QO，QP，作QN⊥OB于N. 同理可得QN＝∴S＝

1245t.

12OP·QN＝3（t－4）3

45t. ＝t2－t（4＜t≤5）.

5528

③当5＜t≤6时，（如备用图2）， 连接QO，QP. S＝

（3）①在0＜t＜4时，

8123OP3OD＝

12（t－4）34＝2t－8（5＜t≤6）.

当t＝

52?(?25)＝2时，

S

82?()5最大＝

24?(?)5＝.

58②在4＜t≤5时，对于抛物线S＝t2－t，当t＝－

5528?2?8525＝2时，

S最小＝

2532－32＝－.

55252

88∴抛物线S＝

t2－t的顶点为（2，－）.

5588∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大. ∴当t＝5时，S最大＝③在5＜t≤6时，

在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大. ∴当t＝6时，S最大＝236－8＝4.

∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.

（说明：（3）中的②也可以省略，但需要说明：在（2）中的②与③的△OPQ，③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的面积.）

9. （2011四川南充市，22，8分）抛物线y=ax+bx+c与x轴的交点为A（m－4,0）和B(m,0)，与直线y=－x+p相交于

2

25352－35＝2.

58

点A和点C(2m－4,m－6). (1)求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P,Q的坐标； （3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM的面积最大时，请求出⊿PQM的最大面积及点M的坐标。

【答案】解：（1）∵点A(m-4,0)和C(2m-4,m-6)在直线y=-x+p上 ∴??0??(m?4)?p?m?6??(2m?4)?p解得：??m?3?p??1

∴A(-1,0) B(3,0), C(2,-3) 设抛物线y=ax2+bx+c=a(x-3)(x+1), ∵C(2,-3) ∴a=1

∴抛物线解析式为：y=x-2x-3

（2）AC=32,AC所在直线的解析式为：y=-x-1，∠BAC=450 ∵平行四边形ACQP的面积为12. ∴平行四边形ACQP中AC边上的高为

12322

=22

过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K,DK= 22,∴DN=4

∵ACPQ,PQ所在直线在直线ACD的两侧，可能各有一条， ∴PQ的解析式或为y=-x+3或y=-x-5

?y?x2?2x?3?x?3∴?解得：?1

?y1?0?y??x?3或??x2??2?y2?5

?y?x2?2x?3，此方程组无解. ?y??x?5?即P1(3,0), P2(-2,5)

∵ACPQ是平行四边形 ，A(-1,0) C(2,-3) ∴当P(3,0)时，Q(6，-3) 当P(-2,5)时，Q(1，2)

∴满足条件的P,Q点是P1(3,0), Q1(6，-3)或 P2(-2,5)，Q2(1，2) （1）

设M(t,t2-2t-3),(-1＜t＜3),过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T,则T(t,-t+3)

MT=(-t+3)-( t2-2t-3)=- t2+t+6

过点M作MS⊥PQ所在直线于点S， MS=

22MT=

22 (- t+t+6)=-

2

22(t-

12)+

2

2582

∴当t=

12时，M（

12，-

154），⊿PQM中PQ边上高的最大值为

2582

yOADBxC

10．（2011 浙江杭州，24， 12)图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC＝10，BD＝6，已知点E，M是线段AB上的动点(不与端点重合)，点O到EF，MN的距离分别为h1，h2．△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形． (1)求蝶形面积S的最大值；

(2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h1的取值范围．

【答案】(1) 如图，设EF与AC交于点K，由△OEF∽△ABD，得

EF?65(5?h1)，S?2?15212OK?EF?2?12h1?65AKAO65?EFBD，

5225?h15152?EF6，

52(5?h1)，整理得S??(h1?)?，当h1?时，蝶形面积S的

最大，最大值为

．

65(5?h1)，则EK?35(5?h1)，ML?35(5?h2)

(2) 如图，设MN与AC交于点L，由(1)得EF?

由OK+EK＝OE，OL+ML＝OM，得OK+EK＝OL+ML，h12222222222

2?3??3?2??(5?h1)??h2??(5?h2)?，整理得?5??5?22当点E，M不重合时，(h1?h2)?17(h1?h2)?45??0，h1?h2?h1?h2?0，2）当点E,M重合时，则h1?h2，此时h1的取值范围为0?h1?5.

解法二：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形. 由EF//BD，得?ABD??AEF，?6EF6?5?h154517．当OE⊥AB时，h1?4534，所以0?h1?4517

，即EF?265?5?h1?

?S?2S?OEF6?5?15 ?EF?h1??5?h1??h1???h1???55?2?2所以当h1?52时，Smax?152.

（2）根据题意，得OE?OM.

如图，作OR?AB于R， OB关于OR对称线段为OS，

1）当点E,M不重合时，则OE,OM在OR的两侧，易知RE?RM.

22?AB?5?3?34，?OR?1534

BERMS OKLA

?BR??15?23?????34?OKOA2934?

BEOLBM ,?ABOAAB由ML//EK//OB，得

OKOAOLOABEAB????BMAB?2BRAB，即

h15?h25?917

4534?h1?h2?4517，此时h1的取值范围为0?h1?4517且h1?

2）当点E,M重合时，则h1?h2，此时h1的取值范围为0?h1?5.

11. (2011 浙江湖州，24，14)如图1．已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． (1) 求点D的坐标（用含m的代数式表示）； (2) 当△APD是等腰三角形时，求m的值；

(3) 设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过 的路径长．（不必写解答过程）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/36n2.html