2013年导数试题汇编 - 图文

2013年导数试题汇编

一、选择题

1．（2013年高考湖北卷（理））已知a为常数,函数

f(x)?x?lnx?ax?有两个极值点

（ ）

x1,x2(x1?x2),则

A．

f(x1)?0,f(x2)??12 B．f(x1)?0,f(x2)??12 (x(x11C．

f1)?0,f2)??2

D．

f(x1)?0,f(x2)??2

【答案】D

2．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知函数

f(x)?x3?ax2?bx?c,下列结论中错误的是

A．?x0?R,f(x0)?0

B．

函数y?f(x)的图像是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(??,x0)上单调递减 D．若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)?0

【答案】C [来源:Z*xx*k.Com] 3．（2013年高考江西卷（理））若S??2x2dx,S21112??1xdx,S23??1exdx,则S1S2S3的大小关

系为

A．S1?S2?S3 B．S2?S1?S3 C．S2?S3?S1

D．S3?S2?S1

【答案】B

4．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））设函数

2?2xf?x??exf?x?满足xf??x?e2x,f?2??8,则x?0,时，f?x?

A．有极大值,无极小值

B．有极小值,无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值

【答案】D

5．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））设函数f(x)的定

义域为R,x0(x0?0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是 A．?x?R,f(x)?f(x0)

B．?x0是f(?x)的极小值点

）

）

（（C．?x0是?f(x)的极小值点

【答案】D

D．?x0是?f(?x)的极小值点

2

6．（2013年高考北京卷（理））直线l过抛物线C: x=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围

成的图形的面积等于 （ ）

A．

43 B．2

C．

83 D．

1623 【答案】C

7．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知e为自然对数

的底数,设函数f(x)?(ex?1)(x?1)k(k?1,2),则 A．当k?1时,f(x)在x?1处取得极小值

B．当k?1时,f(x)在

x?1处取得极大值

C．当k?2时,f(x)在x?1处取得极小值

D．当k?2时,f(x)在

x?1处取得极大值

【答案】C 二、填空题

8．（2013年高考江西卷（理））设函数

f(x)在(0,??)内可导,且f(ex)?x?ex,则

fx(1)?______________

【答案】2 9．（2013年高考湖南卷（理））若

?T0x2dx?9,则常数T的值为_________.

【答案】3

10．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））若曲线

y?kx?lnx在点

?1,k?处的切线平行于x轴,则k?______.

【答案】?1 三、解答题

11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知函数

f(x)?ex?ln(x?m).

(Ⅰ)设x?0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m?2时,证明f(x)?0.

【答案】

）

（

12．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））

本小题满分16分.

设函数f(x)?lnx?ax,g(x)?e?ax,其中a为实数.

(1)若f(x)在(1,??)上是单调减函数,且g(x)在(1,??)上有最小值,求a的取值范围; (2)若g(x)在(?1,??)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.

【答案】解:(1)由

xf'(x)?11?1??a?0即?a对x?(1,??)恒成立,∴a???max xx?x?而由x?(1,??)知

'x1<1 ∴a?1 x'由g(x)?e?a令g(x)?0则x?lna 当xlna时g(x)>0,

''∵g(x)在(1,??)上有最小值 ∴lna>1 ∴a>e

综上所述:a的取值范围为(e,??)

(2)证明:∵g(x)在(?1,??)上是单调增函数

∴g(x)?e?a?0即a?e对x?(?1,??)恒成立, ∴a?e'xx??xmin

x而当x?(?1,??)时,e>分三种情况:

11 ∴a? ee1>0 ∴f(x)在x?(0,??)上为单调增函数 x(Ⅰ)当a?0时, f(x)?'∵f(1)?0 ∴f(x)存在唯一零点 (Ⅱ)当a<0时,f(x)?aa'1?a>0 ∴f(x)在x?(0,??)上为单调增函数 xa∵f(e)?a?ae?a(1?e)<0且f(1)??a>0 ∴f(x)存在唯一零点

111''时,f(x)??a,令f(x)?0得x? exa11?a(x?)?a(x?)1'a>0;x>1时,f'(x)?a<0 ∵当0

aaaa11①当?lna?1?0时,?lna?1?0,a?,f(x)有唯一零点x??e

ea1②当?lna?1>0时,0

e1a?实际上,对于0<,由

e111a111f()?ln?a??1?<0,f()?ln?a??lna?1>0 eeeeaaa(Ⅲ)当0

?11??11??上的图像不间断 ∴函数f(x)在?,?上有存在零点 ?ea??ea?另外,当x??0,??11??1??1?'0,f(x)??af(x)f(x),>0,故在上单调增,∴在????0,?a?x?a??a?只有一个零点 下

面

考

虑

f(x)a?1?1在

?1??,????a?a?1的情况,先证

f(ea?1)?lnea?1?ae?alne?aex2?a(a?2?ea?1)<0

'x为此我们要证明:当x>e时,e>x,设h(x)?e?x ,则h(x)?e?2x,再设

x2l(x)?ex?2x

∴l(x)?e?2

当x>1时,l(x)?e?2>e-2>0,l(x)?e?2x在?1,???上是单调增函数

'xx'x故当x>2时,h(x)?e?2x>h(2)?e?4>0 从而h(x)?e?xx2x2'x'2在

?2,???e2上是单调增函数,进而当x>e时,h(x)?e?x>h(e)?e?e>0 即当x>e时,e>x, 当时,f(ea?1x20

a?1?11ea?1时,

?2即

a?1a?1>e

)?lne?ae?alne?ae?a(a?e)<0

?111?a??lna?1>0 且函数f(x)在a?1,ea上的图像不间断, aa1?a(x?)1'?1a?1a<0故f(x)∴函数f(x)在a,e上有存在零点,又当x>时,f(x)?ax又f()?ln1a????在a,??上是单调减函数∴函数f(x)在a,??只有一个零点 综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当a?0时,f(x)的零点个数为1;当0

13．（广东省数学（理）卷（纯WORD版））设函数f?x???x?1?e?kx(其中k?R).

x2??1???1?1时,f(x)的零点个e(Ⅰ) 当k?1时,求函数f?x?的单调区间;

(Ⅱ) 当k??,1?时,求函数f?x?在?0,k?上的最大值M. 答案：

x2(当k?1时, f?x???x?1?e?x,f??x??e??x?1?e?2x?xe?2x?xe?2

?1??2?xxx?x?

令f??x??0,得x1?0,x2?ln2 当x变化时,f??x?,f?x?的变化如下表:

x

f??x?[

来源:学科网ZXXK]

???,0?

0

?0,ln2?

ln2

?ln2,???

?

0

?

0

?

极极

f?x?

?

大值

?

小值

?

右表可知,函数f?x?的递减区间为?0,ln2?,递增区间为???,0?,?ln2,???. (Ⅱ) f??x??e??x?1?e?2kx?xe?2kx?xe?2kxxxx??,令f??x??0,得

x1?0,x2?ln?2k?,

令g?k??ln?2k??k,则g??k??11?k?1??1??0,所以g?k?在?,1?上递增, kk?2?所以g?k??ln2?1?ln2?lne?0,从而ln?2k??k,所以ln?2k???0,k? 所以当x?0,ln?2k?时,f??x??0;当x?ln?2k?,??时,f??x??0; 所以M?maxf?0?,f?k??max?1,?k?1?e?kk???????3? ?k,令??k??e?3k,则

k3令h?k???k?1?e?k?1,则h??k??ke?3k?k???k??ek?3?e?3?0

所以??k?在?,1?上递减,而???1??2?3??1????1?e???????e?3??0

2??2??所以存在x0???1??1?,1?使得??x0??0,且当k??,x0?时,??k??0,当k??x0,1??2??2?时,??k??0, 所以??k?在??1?,x0?上单调递增,在?x0,1?上单调递减. ?2?因为h?17?1??1?h1?0hk?0??e??0,,所以在??????,1?上恒成立,当且仅当

28?2??2?k?1时取得“?”.

k3综上,函数f?x?在?0,k?上的最大值M??k?1?e?k.

www.zxsx.com

14．（重庆数学（理）试题（含答案））设f?x??a?x?5??6lnx,其中a?R,曲线y2?f?x?在点1,f?1?处的切线与y轴相交于点?0,6?.[来源:学科网ZXXK] (1)确定a的值; (2)求函数f?x?的单调区间与极值.

【答案】

??

f(3)?2?6ln3

15．（福建数学（理）试题（纯WORD版））已知函数f(x)?x?alnx(a?R)

(1)当a?2时,求曲线y?f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值.

【答案】解:函数

af(x)的定义域为(0,??),f?(x)?1?.

x2(x?0), x(Ⅰ)当a?2时,f(x)?x?2lnx,f?(x)?1??f(1)?1,f?(1)??1,

?y?f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y?1??(x?1),

即x?y?2?0. (Ⅱ)由f?(x)?1?ax?a?,x?0可知: xx①当a?0时,f?(x)?0,函数f(x)为(0,??)上的增函数,函数f(x)无极值; ②当a?0时,由f?(x)?0,解得x?a;

?x?(0,a)时,f?(x)?0,x?(a,??)时,f?(x)?0

?f(x)在x?a处取得极小值,且极小值为f(a)?a?alna,无极大值.

综上:当a?0时,函数f(x)无极值

当a?0时,函数f(x)在x?a处取得极小值a?alna,无极大值.

16．（2013年高考新课标1（理））(本小题满分共12分)已知函数

f(x)=x2?ax?b,g(x)=

ex(cx?d),若曲线y?f(x)和曲线y?g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线

y?4x?2(Ⅰ)求a,b,c,d的值;(Ⅱ)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范

围.

【答案】(Ⅰ)由已知得

f(0)?2,g(0)?2,f?(0)?4,g?(0)?4,

x而f?(x)=2x?b,g?(x)=e(cx?d?c),∴a=4,b=2,c=2,d=2;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)?x?4x?2,g(x)?2e(x?1),

2x设函数F(x)=kg(x)?f(x)=2kex(x?1)?x2?4x?2(x??2),

F?(x)=2kex(x?2)?2x?4=2(x?2)(kex?1),

有题设可得F(0)≥0,即k?1, 令F?(x)=0得,x1=?lnk,x2=-2,

(1)若1?k?e,则-20,即F(x)在(?2,x1)单调递减,在(x1,??)单调递增,故F(x)在x=x1取最小值F(x1),而F(x1)=2x1?2?x12?4x1?2=?x1(x1?2)≥0, ∴当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立, (2)若k?e,则F?(x)=2e2(x?2)(ex?e2),

∴当x≥-2时,F?(x)≥0,∴F(x)在(-2,+∞)单调递增,而F(?2)=0, ∴当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立, (3)若k?e,则F(?2)=?2ke2?222?2=?2e?2(k?e2)<0,

∴当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立, 综上所述,k的取值范围为[1,e].

17．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设函数

2f(x)?x?c(e=2.71828是自然对数的底数,c?R). 2xe(Ⅰ)求f(x)的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于x的方程lnx?f(x)根的个数.

'?2xf(x)?(1?2x)e【答案】解:(Ⅰ),

由f(x)?0,解得

'x?12,

x?当

1'2时,f(x)?0,f(x)单调递减

11(??,)(,??)2,单调递减区间是2所以,函数f(x)的单调递增区间是,

11f()??c2e最大值为2

g(x)?lnx?f(x)?lnx?(Ⅱ)令

x?ce2x x?(0,??)

x?c2xe,

(1)当x?(1,??)时,lnx?0,则

g(x)?lnx?g(x)?e所以,

'?2xe2x(?2x?1)x

e2x?0'g2x?1?0x因为, 所以 (x)?0

因此g(x)在(1,??)上单调递增.

(2)当x?(0,1)时,当时,lnx?0,则

g(x)??lnx?x?ce2x,

g(x)?e所以,

'?2xe2x(??2x?1)x

2x2e?(1,e),e2x?1?x?0,又2x?1?1 因为

e2x??2x?1?0'gx所以 所以 (x)?0

因此g(x)在(0,1)上单调递减.

?2x?(0,??)g(x)?g(1)??e?c, 综合(1)(2)可知 当时,?2g(1)??e?c?0,即c??e?2时,g(x)没有零点, 当

故关于x的方程

lnx?f(x)根的个数为0;

?2g(1)??e?c?0,即c??e?2时,g(x)只有一个零点, 当

故关于x的方程

lnx?f(x)根的个数为1;

?2g(1)??e?c?0,即c??e?2时, 当

①当x?(1,??)时,由(Ⅰ)知

g(x)?lnx?x1?1?c?lnx?(e?c)?lnx?1?ce2x2

1?cg(x)?0x?(e,??); lnx?1?c?0要使,只需使,即

②当x?(0,1)时,由(Ⅰ)知

g(x)??lnx?x1?1?c??lnx?(e?c)??lnx?1?c2xe2;

?1?cg(x)?0x?(0,e); ?lnx?1?c?0要使,只需使,即

所以当c??e时,g(x)有两个零点,故关于x的方程

?2lnx?f(x)根的个数为2;

综上所述:

当c??e时,关于x的方程当c??e时,关于x的方程当c??e时,关于x的方程

18．（大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知函数f?x?=ln?1?x???2?2?2lnx?f(x)lnx?f(x)lnx?f(x)根的个数为0; 根的个数为1; 根的个数为2.

x?1??x?1?x.

(I)若x?0时,f?x??0,求?的最小值; (II)设数列?an?的通项an?1?

【答案】

1111??????,证明：a2n?an??ln2. 23n4n

19．（天津数学（理）试题（含答案））已知函数f(x)?x2lnx.

(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使t?f(s).

(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为s?g(t), 证明: 当t>e2时, 2lng5?(t)lnt?12. 【答案】

有

20．（2013年高考北京卷（理））设L为曲线C:y?lnx在点(1,0)处的切线. x(I)求L的方程;

(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.

【答案】解: (I)设

f(x)?lnx1?lnx,则f?(x)?.所以f?(1)?1.所以L的方程为2xxy?x?1. [来源:Z,xx,k.Com]

(II)令g(x)?x?1?f(x),则除切点之外,曲线C在直线l的下方等价于

x2?1?lnx. g(x)满足g(1)?0,且g?(x)?1?f?(x)?. g(x)?0(?x?0,x?1)2x当0?x?1时,x?1?0,lnx?0,所以g?(x)?0,故g(x)单调递减; 当x?1时,x?1?0,lnx?0,所以g?(x)?0,故g(x)单调递增. 所以,g(x)?g(1)?0(x?0,x?1). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方. 又解:g(x)?0即x?1?22lnx?0变形为x2?x?lnx?0,记h(x)?x2?x?lnx,则x12x2?x?1(2x?1)(x?1), h?(x)?2x?1???xxx所以当0?x?1时,h?(x)?0,h(x)在(0,1)上单调递减; 当x?1时,h?(x)?0,h(x)在(1,+∞)上单调递增. 所以h(x)?h(1)?0.)

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