2013届高考数学知识点复习测试题5

第6讲 数列的综合问题

★ 知 识 梳理 ★

1.等差数列的补充性质

?an?0 ⑴若a1?0,d?0,Sn有最大值，可由不等式组?来确定n；

a?0?n?1 ⑵若a1?an?0?0,d?0,Sn有最小值，可由不等式组?来确定n.

?an?1?0 2.若干个数成等差、等比数列的设法

⑴三个数成等差的设法：x?d,x,x?d；四个数成等差的设法：x?3d,x?d,x?d,x?3d. ⑵三个数成等比的设法：xq,x,x?q；四个数成等比的设法：x,xq,xq2,xq3.

3.用函数的观点理解等差、等比数列 ⑴等差数列当d当d当d?an?中，an?a1?(n?1)d?dn?a1?d，

?0时，?an?是递增数列，an是n的一次函数； ?0时，?an?是常数列，an是n的常数函数； ?0时，?an?是递减数列，an是n的一次函数.

⑵等比数列当a1当a1当q?an?中，an?a1qn?1，

?0,q?1或a1?0,0?q?1时，?an?是递增数列； ?0,0?q?1或a1?0,q?1时，?an?是递减数列；

?1时，?an?是一个常数列；当q?0时，?an?是一个摆动数列.

4.解答数列综合问题的注意事项 ⑴ 认真审题、展开联想、沟通联系； ⑵ 将实际应用问题转化为数学问题；

⑶ 将数列与其它知识（如函数、方程、不等式、解几、三角等）联系起来.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用. 2.难点：如何将实际应用问题转化为数学问题，综合运用所学知识解决数列问题.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点 数列的综合应用

题型1 等差、等比数列的综合应用

【例1】已知等差数列

?an?与等比数列?bn?中，b1?a2?1,b2?a3,b3?a6，求?bn?的通项. ?bn?知：b1,b2,b3成等比，从而找出a1,d的关系.

【解题思路】由等比数列【解析】设等差数列

?an?的公差为d，等比数列?bn?的公比为q，

??bn?是等比数列，?b1,b2,b3成等比，则

2a3?a2?a6?(a1?2d)2?(a1?d)(a1?5d)，解得 d?0或d??2a1??2.

当d?0时， q?1，b1?1， ?bn?1；

当d??2时，b1?1，q?a3a1?2d??3， ?bn?3n?1. a2a1?d【名师指引】综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键. 【例2】已知Sn为数列⑴设数列⑵设数列

?an?的前n项和，a1?1，Sn?4an?2.

?an?1?2an，求证：?bn?是等比数列； ?an2n，求证：

?bn?中，bn?cn?中，cn?cn?是等差数列；

⑶求数列

?an?的通项公式及前n项和.

?bn?和?cn?中的项与?an?中的项有关，且Sn?1?4an?2，可利用an、Sn的

【解题思路】由于关系作为切入点.

【解析】⑴?Sn?1?4an?2，?Sn?2?4an?1?2，两式相减，得

Sn?2?Sn?1?4an?1?4an?an?2?4an?1?4an，? an?2?2an?1?2(an?1?2an)

又?bn?an?1?2an，?bn?1?2bn，由a1?1，Sn?4an?2，得 a2?5

?b1?a2?2a1?3，??bn?是等比数列，bn?3?2n?1.

⑵由⑴知，an?2?4an?1?4an，且cn?an2n

an?1anan?1?2anbn3?2n?13?n?1??. ?cn?1?cn?n?1?n?n?1n?122222431n?. 44aan3311n?2 ⑶?cn?n，且，?n??a?(3n?1)?2. c?n??nnnn224444??cn?是等差数列，cn?当n?1时，(3?1)?21?2?1?a1，

?an?(3n?1)?2n?2，Sn?(3n?4)?2n?1?2.

【名师指引】⑴等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法；⑵将“Sn?4an?2”化归为

an?1?f(an)是解题的关键.

题型2 数列与函数、方程、不等式的综合应用

【例3】（2008韶关模拟）设函数

f(x)的定义域为R，当x?0时，f(x)?1，且对任意的实数

x,y?R，有f(x?y)?f(x)f(y)．

⑴求

f(0)，判断并证明函数f(x)的单调性；

⑵数列

?an?满足a1?f(0),且f(an?1)?1(n?N*)

f(?2?an)①求

?an?通项公式；

?1时，不等式

1an?1?1an?2?...?112?(loga?1x?logax?1)对不小于2的正整 a2n35②当a数恒成立，求x的取值范围.

【解题思路】从已知得到递推关系式，再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值. 【解析】⑴

f(0)?1，f(x)在R上减函数（解法略）

⑵ ①a1?f(0)?1,f(an?1)?1?f(2?an) 由f(x)单调性

f(?2?an)

an?1?an?2?an?1?an?2，故?an?等差数列 ?an?2n?1②bn?1a2n?11an?11?1an?21?...?1111,则bn?1???...?a2nan?2an?3a2n?2

bn?1?bn??a2n?2?an?1?111 ??4n?14n?32n?1 ?1?0,{bn}是递增数列

(4n?1)(4n?3)(2n?1)111112 ????a3a45735当n?2时，(bn)min?b2??1212?(loga?1x?logax?1)， 即loga?1x?logax?1?1?loga?1x?logax 3535而a?1，∴x?1，故x的取值范围是?1,???

【名师指引】数列与函数、方程、不等式的综合问题，要注意将其分解为数学分支中的问题来解决.

题型3 数列的应用问题

【例4】在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少?

【解题思路】本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和.

【解析】设将旗集中到第x面小旗处,则从第一面旗到第x面旗处,共走路程为10(x二面处再到第

?1),然后回到第

x面处是20(x?2),?,从第x面处到第(x?1)面处路程为

20，从第

x面处到第

(x?2)面取旗再到第x面处,路程为20?2?，总的路程:

S?10(x?1)?20(x?2)?20(x?3)???20?2?20?1?20?20?2

???20?(13?x)

?10(x?1)?20?(x?1)(x?2)(13?x)(14?x) ?20?22?10?(x?1)?(x?2)(x?1)?(13?x)(14?x)?

?10(2x2?29x?183)?20(x?292315. )?44

由于x?N?,当x?7时,S有最小值S?780(m).

答: 将旗集中以第7面小旗处,所走路程最短.

【名师指引】本例题是等差数列应用问题. 应用等差数列前n项和的公式，求和后，利用二次函数求最短距离时，要特别注意自变量n的取值范围.

【例5】用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,? 依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块? 【解题思路】建立上层到底层砖块数an与Sn的关系式是关键，应分清它是等差，还是数列等比数列. 【解析】设从上层到底层砖块数分别为a1,a2,?,an,则an易得a1?1Sn?1, 2?2,an?an?1?1an,即an?2an?1 22(1?210)因此,每层砖块数构成首项为2,公比为2的等比数列,则 S10??2046(块)

1?2答:共用2046块.

【名师指引】建立an与Sn的关系式后，转化为求数列通项的问题.

【例6】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的 8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化. ⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为a1?4,经过n年后绿化的面积为an?1,试用an表示 10an?1；

⑵求数列

?an?的第n?1项an?1；

?0.3010,lg3?0.4771)

⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:lg2【解题思路】当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 【解析】⑴设现有非绿化面积为b1,经过n年后非绿化面积为bn?1. 于是a1化部分

?b1?1,an?bn?1.依题意,an?1是由两部分组成,一部分是原有的绿化面积an减去被非绿

2988an后剩余的面积an,另一部分是新绿化的面积bn, 10010010098898892于是an?1? an?bn?an?(1?an)?an?102510010010010092494⑵an?1?an?,an?1??(an?).

10255105数列?an??4?9??是公比为5?10,首项a1?4442????的等比数列. 51055∴an?1?429?(?)()n. 5510

⑴饲养5年后，鱼重量预计是原来的多少倍？

⑵如因死亡等原因，每年约损失预计重量的10﹪，那么，经过几年后，鱼的总质量开始下降？ 【解析】⑴设鱼原来的产量为a，q?200﹪?2

qqa1?a(1?q),a2?a1(1?)?a(1?q)(1?)，

22111405?12.7a ?a5?a(1?2)(1?1)(1?)(1?2)(1?3)?22232q9 ⑵由⑴可知，an?an?1(1?n?1)，而鱼每年都损失预计产量的10﹪，即实际产量只有原来的.

210q9?an?an?1(1?n?1)?

210设底年鱼的总量开始减少，则

q9?a(1?)??an?1n?1111?an?an?1?102n?1???，即 ??q9n36218an?an(1?n)?10?an?an?1??2?18?2n?32，解得，n?5 ?经过5年后，鱼的总量开始减少.

8.数列

?an?的前n项和为Sn(n?N?)，点(an,Sn)在直线y?2x?3n．

?c}成等比数列，求常数C的值；

⑴若数列{an⑵求数列{an}的通项公式；

⑶数列{an}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项； 若不存在，请说明理由． 【解析】⑴由题意知Sn?2an?3n,Sn?1?2an?1?3(n?1)，

得an?1?2an?3，∴

an?1?3?2an?3?c?3

⑵?a1?S1?2a1?3，?a1?3，由⑴知：an?3?(a1?3)?2n?1

?an?3?2n?3(n?N?)

⑶设存在S，P，r?N*,且S?P?r使as,ap,ar成等差数列,

?2ap?as?ar 即 2(3?2p?3)?(3?2s?3)?(3?2r?3)

?2p?1?2s?2r?2p?s?1?1?2r?s （＊）

因为s、p、r?N1+2

r?s*且s?p?r?2p?2?1、2r?s为偶数

为奇数，（＊）式产生矛盾．所以这样的三项不存在．

9.(2001?全国)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根

1，本年度当地旅游业收入估计400万元，51由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.

4据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少

⑴设n年内（本年度为第一年）总收入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出表达式 ⑵至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 【解析】3.⑴第一年投入为800万元，第二年投入为800(1?万元.所以，年内的总投入为：

1n?11第n年的投入为800(1?) )万元，

55114an?800?800(1?)???800(1?)n?1?4000?4000()n；

5551第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400(1?)万元，

41n?1第n年旅游业收入为400(1?)万元.所以，n年内的旅游业总收入为

4115bn?400?400(1?)???400(1?)n?1?1600()n?1600.

444 ⑵设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn即1600(?an?0，

45n)?1600?4000?4000()n?0 455n4n4n2化简得2()?5()?7?0，设()?x，代入上式得，5x?7x?2?0

45524n2解此不等式，得x?，或x?1（舍去）即()?，由此得n?5.

555答：至少经过5年旅游业的总收入能超过总投入.

10.（2009执信中学）设函数

x2?a?b,c?N??.若方程f?x??x的根为0和2, f?x??bx?c且

f??2???1. 2(1)求函数

f?x?的解析式；

(2)已知各项均不为零的数列

?an?满足: 4Snf(1)?1(Sn为该数列前n项和),求该数列的通项

an

an.

【解析】

c?2?0???x?a?a?0c21?b⑴设 ?x,得?1?b?x?cx?a?0,??,??b?1?abx?c??2?0?2?1?b?2x2?21f(x)?,f(?2)????c?3,

c(1?2)x?c1?c2x2?x?1? 又 b,c?N?,?c?2,b?c，?f?x??2?x?1?⑵由已知得2Sn两式相减得当n?an?an,?2Sn?1?an?1?an?1,

22?an?an?1??an?an?1?1??0, ?an??an?1或an?an?1??1.

2?1，2a1?a1?a1?a1??1，若an??an?1，则a2?1，这与an?1矛盾.

?an?an?1??1,?an??n.

⑶由an?1?f?an??an?1?11?an111?????2?????a?2an?2an?1222?n?22,

?an?1?0或an?1?2.

若an?1?0，则an?1?3；若an?1?2，则an?1?an??an?an?2??0

2?an?1???an?在n?2时单调递减.

a14288??，?an?a2??3在n?2时成立. ?a2?2a1?22?4?2332

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/36hd.html