彰显行列式的魅力——计算解析几何中三角形的面积

2 O

上海中学数学 2 0 1 3年第 6期

彰显行列式的魅力计算解析几何中三角形的面积2 0 0 0 6 2 上海市普陀区教育学院陈兴义2 0 0 0 1 1 上外附属大境中学赵玉梅前苏联著名数学教育家 A. 斯托利亚在《数学教育学》中指出：“数学中符号和公式等人工语言的制定是最伟大的科学成就，它很大程度上决定了数学的进一步发展 .” 诚然，行列式也是数学符号，它是表示特殊算式的记号.作为上海现行教材的教学内容之一，用其讨论线因为 t>l,所以s△。≥ 2 0+l 0 (当且仅当t一 1十 时取等号 ) .

说明：本题通过行列式建立了△ B C D的顶点坐标与面积之间的联系，将面积表示为变量 t的函数，运用基本不等式求得面积的最小值. 2计算以“圆”为载体的三角形的面积如图 2,已知圆+一 4, A、 P、 Q为圆上按逆时针方向排列的三点， A(一1,一 ), Q AP

性方程组解的情形具有理论上的价值.若将方程组的解用公式表示出来，其形式整齐、简单明了、便于记忆. 所以用行列式解二、三元线性方程组的方法，经过几年的教学实践，已得到教师和学生的较高认同.

除此之外，教材还给出了通过三角形的三个顶点的坐标，用行列式的形式表示三角形的面积公式. 如果在学习解析几何的过程中有意识地运用这个公式，会彰显出行列式的又一魅力.下面举例说明运用行列式求解析几何中三角形的面积，以求达到“行列式”与“解析几何”的自觉融合 .

一3 0。,求出△AP Q的面积的最大值. 分析：△AP Q的顶点 A的坐标为常数，点 P与 Q是圆周上相关联的两个点，由题意可知， Q AP一

,

J

~

一

3,从而借助圆的参数方程， P 图2

与 Q两点的坐标均可由一个量来表示 .

1计算以“直线”为架构的三角形的面积如图 1,已知定点 A( 6, 4 )、 B( 1 0, 1 0 )和动点 ( , 4 t ),经过点 A、 的直线 Z与. T轴正半轴的交

解：连接 0 P、∞一

,令

z一 0,则∞ r

+ 7“ -,P( 2 c o s 0,

2 s i n 0 ) (0≤< 2丌),则t】

点为 D,当f> 1时，求三角形 B C D面积的最小值 .分析：三角形 B C D的三个顶,

Q( 2 c o s ( 0+ ), 2 s i n ( 0+ ) ),其中 A(一1,一 ),—

J

点中，顶点 B的坐标为常数，顶点\C的坐标已知，问题的关键在于顶

.

1

一 2 s i n

1 1

点 D在直线 Z上，且 D是直线 z与 _’轴的交点，所以 D坐标能用 t来表示，运用行列式表示三角形B D面积，问题得到解决 . 解：直线￡的方向向量( . r一 6)一( t m 6) (一 4 )一 0.

|。 o图 1

所以邶一

2 c o

2 c o s ( +号 )2 s i删+号 )1l 2 c o s ( 一要)+ I,U

=( f一6, 4 t一4 ),由

当0一要时，三角形 A P Q面积的最大值为 2+U

直线方程的点方向式可知，直线 Z的方程为 ( 4 t一4 )

令 . y一 0,则 . r一苦，得 D (￡一 5 t l, o ),则三 坐标与面积之间的联系，将面积表示为变量的三角形 B C D的面积为：1 0bt

说明：本题通过行列式建立了△AP Q的顶点

角函数，运用三角函数的性质求得△AP Q面积的最1 0 1 0 1一

小值 . 5 ( t -1 )+ 3 计算以“椭圆”为依托的三角形的面积

t-——1

4 r 1

如图 3,过点 P (。, 2 )作直线 z与椭圆‘等+ 。一

上海中学数学 2 0 1 3年第 6期

1相交于 A、 B两点， 0为坐标原点，若/￣ A O B的面积为 2,

由于直线 P A与直线 P B相交于点 P( , o ),则

求直线 z的方程 .,

』 。一 。一 所以1 z2 o— 2 Yo===l

一

一 1所以

1 2 o一 T 2 m一.

分析：在△AO B中，点 0( 0, 0 ),点 A、 B在直线 Z上，

\,一

l

f

。一

—

1 1 Y z Y o一- r 1 2 l一 1所以 L z _ 1 2 一 2一 . T 2 l m— 1,即 ( . T 2 l—

它们的坐标之间的关系

可以用/一 直线 Z的斜率来表示 . 二解：设直线 Z的方程为一疋+ 2测

一

l

2

)一 . y 1一 2…… ( 1 )’

l

1

1 11

j等 w一 I v— +2—

由( 1 )得 s△一=

1

2

(

o

消去得，( 1+2 k ) +8 4 - 6— 0

2

)+( 1 2 -, T 2 1 )l一 0,所以A、 M、 B三点共说明：本题运用了三角形面积为零的特殊情

△一6 4 k 一2 4 ( 1+2 k )>0,解得志 >_昙 _……( 1)

线.

令 A( _’ , l+2 ), B( ’ 2, 2+2 ), .一

形，即此时三点共线 .5计算以“抛物线”为支撑的三角形的面积

一

8走,

则

所以

s△枷

一

如图 4,直线一 1 与抛物线一 1 z一4交于A、 B两点，线段 A B的垂直平分线与直线一一

1 . T 1, T 2一

专 l, + 2 1 l— I I 2 h 2+2 1 l￣/ _ i _=解得志一± 或走一±

1 0

0

1 I

一 z l— A、B )的动点时，求/￣ O PQ面积的最大值 .分析：在△ 0 P Q的J l

5交于点 Q.当 P为抛物线上位于线段 AB下方 (含

顶点 O、 Q (一 ) 一 r 2 4一号， 三个顶点中，的坐标都是常数，顶点 P ,代入( 1 )检验，均满 .+ 2或1

在抛物线一告. T一 4【】

~

/

尸 Q\

一

足条件，所求直线 z的方程为： 一±—一

上，所以其坐标可以用点 P的横坐标加以表示 .解：A(一 4,一 2 ),B( 8, 4 ), Q( 5,一5 ),

±

。 _+ 2.

图 4

说明：本题中的直线 Z的斜率不存在，否则不能构成 AA O B.题中在已知三角形面积的情况下， 直线 Z经过点 P,只需运用行列式表示三角形的面

设 P ( ,告 2— 4 ) (一 4≤ _,≤ 8 ),Oc

11—

积，求出直线 z的斜率，即可求出直线的方程 .△舯 B一

1—

—

5

1 }, l

。十

4计算以“双

曲线”为媒介的三角形的面积设点 P( r。, 0 )在直线— ( y≠土， 0<4) 一 48 1 .

.

r z+ 4 1

&√ 2

< 1)上，过点 P作双曲线一y一 1的两条切线 P A、 P B,切点为 A、 B,定点 M ( , 0 ),求证：A、 M、 B共线.

所以当 一 8时， s△ 最大值为 6\/ 2 .说明：本题充分利用已知条件，运用行列式建立了三角形面积与点 P的横坐标的函数关系，进而求得了面积的最大值 . 从以上几例可以看出，行列式是一个特定的算

分析：由于定点 M ( , 0 ),所以若要证明 A、 M、 B三点共线，只需证明 S△ n M B一 0即可 .

证明：设 A( . z’可得：

)、B( 2, 2 ),由已知条件— 一 1;

切线 P A的方程为：

切线 P B的方程为： T 2, T—l y 2=== 1.

式，行列式符号的引入将使数学的表达更加简洁有效，为解决圆锥曲线中的三角形问题提供了一种算法，提供了一种工具，提供了一种思路 .它构建了三角形的顶点坐标与面积之间的桥梁，使得行列式与解析几何知识之间的联系更加紧密.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/36h1.html