概率论答案

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯”；

相互独立，且

对于m =0,1,2,3 ，有

= ，i=1,2,3 (i=1,2,3)表示事件“汽

5．设随机变量X的概率密度为： 若k

使得, 求k的取值范围。

解： 当

时

，

当

当

故要使得

，k的取值范围是

时

，

时

，

6．设某射手每次射击命中目标的概率为0.5， 现连续射击10次，求命中目标的次数X的概率分布，又设至少命中3次才可以参加下一步的考核，求次射手不能参加考核的概率。 解：k=0,1,2?,10 设

，有

,

7．设X服从泊松分布，且已知

解：由

得到=2

, 求

8．某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一指数分布,概率密度为

求:在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率α。 解：

k=1,2,3

9. 令X 表示向直角等腰三角形内投点时落点的第一坐标,

求F(x). 解：

当

时，时，

=0 =1 时，

当 当

10．从1个白球n-1个黑球中任取k 个,令X 表示取出的白球个数.(1)求X 的分布律;(2)证 解：(1)X的可能取值为0,1，且

(B)

1.随机变量X与Y均服从正态分布。X～N(μ,42),Y～N(μ,52),证P1=P?X???4?,P2=P?Y???5?,则() (A)对任何实数μ，都有P1?P2 (B)对任何实数μ，都有P1?P2 (C)只对μ的个别值，才有P1=P2 (D)对任何实数μ，都有P1>P2

?X???解：p1?P?X???4??P???1?????1??4??Y????Y???p2?P?Y???5??P??1?1?P??1??1???1?

?5??5?????X??1???X?????1??1???1?即P1?P2故（A）成立。

2.设随机变量X～N(μ,?2)，则随着?的增大，概率P?X?????()

(A)单调增大(B)单调减小(C)保持不变(D)增减不定 解：?X～N(μ,?2)

?X???～N(0,1)

?X??? ?P?X??????P??1????1?????1??2??1??1?故（C）成立。???

3.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取() (A)a=35,b=-25

(B)a=23,b=23 (C)a=-12,b=32 (D)a=12,b=-32

解：?F1?x?,F2?x?都是分布函数，?F1?????1,F2?????1为使F?x??aF函数，必满足条件：F?????1 1?x??bF2?x?是某一随机变量的分布即：a?b?1故(A)成立 (C)计算题

1.设测量误差X～N(0,102),试求在100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α,并用泊松分布求出α的近似值(要求小数点后取两位有效数字). λ e??1 2 3 4 5 6 7 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001

解：设100次独立重复测量中有Y次测量误差的绝对值大于19.6，则Y～B（100，p）,p=P?X?X～N(0,1) 10?19.6?

?X??X??p?P?X?19.6??P??1.96??1?P??1.96??2?1???1.96???2(1?0.975)?0.05?10??10?012??P?Y?3??1??P?Y?i??1?(C100?0.050?0.95100?C100?0.051?0.9599?C100?0.052?0.9598)i?02100?99?0.052?0.9598)?0.8817370192若用泊松分布求?的近似值，因??100?0.05?5则有?1?(0.95100?5?0.9599?50?551?552?5??1?e?e?e?1?18.5e?5?1?18.5?0.007?0.87

0!1!2!

2.一实习生用同一台机器接连独立地加工3个同种零件,第i个零是不合格品的概率Pi?1,(i=1,2,3,),此 X 表示1?i3个

零件中合格品的个数,求P{X=2}.

解：令Ai?“加工的第i个零件是合格品”（i?1,2,3）由题意A1,A2,A3相互独立,且P(Ai)?1??“X?2”?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A312111312311?P?X?2??P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)??????????234234234241i?(i?1,2,3)1?i1?i

3.设随机变量X的绝对值不大于1,P{X=-1}=1,P{X=1}=1.在

84事件{-1

率与该子区间的长度成正比,求:

(1)X的分布函数F(x)=P{X≤x};(2)X取负值的概率

115解:P?X?1??0,P?X?1??1,P?X?1??1?P?X?1??1???848对任意的(c,d)?(?1,1)有PX?(c,d)X?1?k(d?c),其中k为比例系数，??特别地，取（c,d）?(?1,1)得1?PX?(?1,1)x?1?k?1???1???2k?k?12(1)当x??1时，F(x)?0,当x?1时，F(x)?1.故可设定?1?x?1，由全概率公式??P?X?x??P?X?x,X?1??P?X?x,X?1??P?X?x,X??1??P?X?x,X?1?5x???1?1?P?X?x,X?1??P?X?x,X??1??P?X?1?P()X?xX?1?P?X??1????828?0x??1?1故F(x)???5?x?1??2?,?1?x?1?16x?11?7（2）?F(x)在(?1,1)内是连续的，?P?X?0??F(0?0)?F(0)?16??

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