2019届高考数学一轮复习第六章不等式第三节基本不等式课时作业

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课时作业 A 组——基础对点练

1．若对任意x >0，

x

x 2

＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )

A ．a ≥1

5

B ．a >15

C ．a <15

D ．a ≤15

解析：因为对任意x >0，

x

x 2

＋3x ＋1

≤a 恒成立，

所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥? ??

??x x 2＋3x ＋1max

，

而对x ∈(0，＋∞)，

x

x 2

＋3x ＋1

＝

1

x ＋1

x

＋3≤1

2

x ·1

x

＋3＝15， 当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴a ≥1

5.

答案：A

2．(2018·厦门一中检测)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <

a ＋b

2 B ．a <ab <a ＋b

2<b C ．a <ab <b <

a ＋

b 2

D ．ab <a <

a ＋b

2

<b

解析：因为0<a <b ，所以a －ab ＝a (a －b )<0，故a <ab ；b －a ＋b 2＝

b －a

2

>0，故b >

a ＋b

2

；

由基本不等式知a ＋b

2

>ab ，综上所述，a <ab <

a ＋b

2

<b ，故选B.

答案：B

3．(2018·山东名校调研)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4

D ．5

解析：由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15(3y ＋1x )＝15(4＋9＋

3y

x ＋12x y )≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12x

y ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5. 答案：D

2 4．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )

A ．a ＋b ≥2ab

B ．1a ＋1b >1ab C.b a ＋a

b ≥2 D ．a 2＋b 2

>2ab 解析：因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋a b ≥2

b a ·a b

＝2，当且仅当a ＝b 时取等号． 答案：C

5．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ?

????x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋

1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R)

D.1x 2

＋1>1(x ∈R) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝? ????x －122≥0，∴lg ?

????x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<

1x 2＋1≤1，故不成立． 答案：C

6．若实数a ，b 满足1a ＋2b

＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析：法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2a ab

＝ab ，且a >0，b >0， ∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2.

法二：由题设易知a >0，b >0， ∴ab ＝1a ＋2b ≥22

ab ，即ab ≥22，选C.

答案：C

7．(2018·天津模拟)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )

A ．6＋2 3

B ．7＋2 3

C ．6＋4 3

D ．7＋4 3

3 解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且????? 3a ＋4b >0，ab >0，即a >0，b >0，所以4a ＋3b ＝1(a >0，b >0)，a ＋b ＝(a ＋b )·(4a ＋3b )＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2

4b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3a b

时取等号，故选D. 答案：D 8．(2018·银川一中检测)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－2)

B ．[－2，＋∞)

C ．[－2,2]

D ．[0，＋∞) 解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－(|x |＋1|x |)，设f (x )＝－(|x |＋1|x |)，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋1|x |≥2(当且仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.故选B.

答案：B

9．当x >0时，函数f (x )＝

2x x 2＋1有( ) A ．最小值1

B ．最大值1

C ．最小值2

D ．最大值2 解析：f (x )＝2x ＋1x ≤22x ·1x

＝1.当且仅当x ＝1x ，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.

答案：B

10．(2018·南昌调研)已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )

A ．a ＋b ≥2ab

B ．a 2＋b 2>2ab C.a b ＋b

a ≥2 D ．|a

b ＋b a

|≥2 解析：对于A ，当a ，b 为负数时，a ＋b ≥2ab 不成立；

对于B ，当a ＝b 时，a 2＋b 2>2ab 不成立；

对于C ，当a ，b 异号时，b a ＋a b ≥2不成立；

对于D ，因为b a ，a b 同号，所以|b a ＋a b |＝|b a |＋|a b |≥2 |b

a |·|a b

|＝2(当且仅当|a |＝|b |时

4 取等号)，即|b a ＋a b |≥2恒成立．

答案：D

11．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (

a ＋

b 2)，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )

A ．q ＝r <p

B ．p ＝r <q

C ．q ＝r >p

D ．p ＝r >q 解析：∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f (a ＋b 2)，

即q >p ，∴r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12

(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B. 答案：B

12．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3

的最小值为__________． 解析：∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8，

∴1a ＋1＋1b ＋3

＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]? ??

??1a ＋1＋1b ＋3 ＝18? ??

??2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3 ≥18(2＋2)＝12

， 当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，

∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12

. 答案：12

13．已知函数f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________. 解析：f (x )＝4x ＋a x ≥24x ·a

x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x ，即a ＝4x 2

时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.

答案：36

14．(2018·邯郸质检)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，则1x ＋4y

的最小值为________．

5 解析：2x －3＝(12)y ＝2－y ，∴x －3＝－y ，∴x ＋y ＝3.又x ，y ∈(0，＋∞)，所以1x ＋4y ＝13(1x ＋4y

)(x ＋y )＝13(5＋y x ＋4x y )≥13

(5＋2 y x ·4x y )＝3(当且仅当y x ＝4x y

，即y ＝2x 时取等号)． 答案：3 15．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)． 解析：设底面的相邻两边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4?xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160(当且仅当x ＝y 时取等号)．

故该容器的最低总造价是160元．

答案：160

B 组——能力提升练

1．设正实数x ，y 满足x >12，y >1，不等式4x 2y －1＋y 22x －1

≥m 恒成立，则m 的最大值为( ) A ．2 2

B ．4 2

C ．8

D ．16 解析：依题意得，2x －1>0，y －1>0，4x 2y －1＋y 22x －1

＝x －＋1]2y －1＋y －＋1]22x －1≥x －y －1＋y －

2x －1≥4×2 2x －1y －1×y －12x －1＝8，即4x 2y －1＋y 22x －1

≥8，当且仅当?????

2x －1＝1y －1＝12x －1y －1＝y －12x －1，即????? x ＝1y ＝2时，取等号，因此4x 2y －1＋y 22x －1的最小值是8，m ≤8，m 的最大值是8，选C. 答案：C 2．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A.5－1 B ．5＋1 C ．25＋2 D ．25－2 解析：由题意，得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝6－25，所以24－85＝4(a 2＋ab ＋ac ＋bc )≤4a 2＋4ab

＋b 2＋c 2＋4ac ＋2bc ＝(2a ＋b ＋c )2

，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以2a ＋b ＋c ≥25－2，所以2a ＋b ＋c 的最小值为25－2，故选D.

答案：D

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/361i.html