定义与证明

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环球教育辅导讲义

学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目: 学科教师： 1、进一步理解定义、命题、定理、公理的含义，并能区分命题的条件和结论 教学目的 2、理解证明的含义，掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程步步有据 3、进一步理解掌握平行线的性质定理和判定定理，并能灵活应用 4、进一步理解掌握三角形的内角和定理和它的推论，并能灵活应用 1.平行线的性质定理和判定定理的应用 重点难点 2.三角形的内角和定理和它的推论的应用 3.证明的步骤及书写格式 授课日期及时段 教学内容 第一步：回顾 第二步：专题讲解 专题一：基本概念 一、定义与命题 1、定义：用来说明一个名词或术语的意义的语句。 形式： ??叫做（是、为）??； 注：定义是严密的，避免使用含糊不清的术语 2、命题：判断一件事情的句子，每个命题都由条件和结论两部分组成。 形式：如果（若）??那么（则）?? 含义：1）命题必须是一个完整的句子 2）这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断 注：有些命题的条件和结论不够明显，要把命题改写成“如果??那么??”的形式，再找条件和结论 1 www.gedu.org 一切为了孩子

中国教育领军品牌 例1（1）、下列命题中，属于定义的是( ) A．两点确定一条直线 B．同角或等角的余角相等 C．两直线平行，内错角相等 D．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 （2）、将命题“对顶角相等”改写成“如果?那么?”的形式 （3）、对同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b?；④a∥c；⑤a⊥c?．以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题： （4）、下列句子中,不是命题的是( ) A.三角形的内角和等于180度; B.对顶角相等; C.过一点作已知直线的平行线; D.两点确定一条直线 （5）、下列句子中,是命题的是( ) A.今天的天气好吗 B.作线段AB∥CD; C.连接A、B两点 D.正数大于负数 二、真命题、假命题、反例 1、真命题：正确的命题（真命题在条件成立时，结论无一例外地成立） 2、假命题：不正确的命题（假命题在条件成立时，结论却不能保证总是成立） 3、反例：举一个例子，若具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例 注：1）说明一个命题是真命题，需要根据定义、公理、定理进行严格证明才行 2）说明一个命题是假命题，举出一个反例即可 例2 判断下列命题的真假. 1）有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形. 2）素数不可能是偶数. 3）黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人. 4）有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形. 2 www.gedu.org 一切为了孩子

中国教育领军品牌 5）若y(1-y)=0，则y=0. 例3 判断下列命题的真假: (1)一个三角形如果有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形; (2)如果│a│=│b│,那么a=b 4、证明的必要性： （1）证明的定义：要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步步、有根有据的进行推理。推理的过程叫做证明 （2）步骤：1) 理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证) 2）根据题意,画出图形; 3）结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证 4）分析题意,探索证明思路; 5）写出证明过程; 方法：举出反例、推理证明、反证法 例4 （1）当x为任意有理数时，x2?4x?5都大于0吗？ （2）证明：等腰三角形两底角的平分线相等。 （3）如图1所示，如果BD平分∠ABC，补上一个条件__________作为已知，就能推出AB∥CD． 3 www.gedu.org 一切为了孩子

33 中国教育领军品牌 5、 反证法：假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确. 步骤： 1）反设（否定结论）； 2）归谬（利用已知条件和反设，已学过的公理、定理、定义、法则，进行推理，得出与已学过的公理、定理、或与已知条件，或与假设矛盾）； 3）写出结论（肯定原命题成立）。 例5 用反证法证明 已知：如图，直线AB，CD，EF在同一平面内，且AB ∥ EF，CD ∥ EF， 求证：AB ∥ CD。 A B C D E F 专题二：公理与定理 一、公理 1、公理定义：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。 注：1）公里是不需要推理证明的真命题 2）公理可作为判断其他命题真假的依据 2、常见公理： 1）同位角相等，两直线平行 2）两直线平行，同位角相等。 4 www.gedu.org 一切为了孩子

中国教育领军品牌 3）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 4）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 5）三边对应相等的两个三角形全等。 6）全等三角形的对应边相等，对应角相等。 7）两点确定一条直线 8）等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看做公理，例如，“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替”简称为“等量代换” 二、定理 1、定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理 注：1）定理都是真命题，但真命题不一定都是定理 2）定理可作为判断其他命题真假的依据 例1命题“对顶角相等”是（ ） A、角的定义 B、假命题 C、公理 D、定理 专题三： 平行线的判定定理和性质定理 一、平行线的判定 1、公理：同位角相等，两直线平行． 用数学语言描述： A B ∵∠1=∠2 2 1 ∴AB∥CD C D 2、定理：同旁内角互补，两直结平行． 定理：内错角相等，两直线平行 注：判定两直线平行，首先观察这两条直线被第三条直线所截构成了什么样的角，然后再判断两个角是相等还是互补。 二、平行线的性质定理 1、公理：两直线平行，同位角相等． 5 www.gedu.org 一切为了孩子

中国教育领军品牌 2、定理：两直结平行，内错角相等． 定理：两直线平行，同旁内角互补． 三、平行线的性质定理与判定定理的区别与联系 条件和结论恰好相反 例1 （1）、如图１，若∠A=∠3，则 _____∥_____ ； 若∠2=∠E，则_____∥_____； 若∠____+∠_____= 180°，则____∥____． （2）、如图，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF． 专题四：三角形内角和定理 一、三角形的内角和定理及推论 1、三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 推论：由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论；推论可以当做定理使用 2、三角形内角和定理的推论： 推论 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 例1如图，已知AD是△ABD和△ACD的公共边. 求证：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C 6 www.gedu.org 一切为了孩子

中国教育领军品牌 二、辅助线 当问题的条件不够用、不够集中时，需添加辅助线，构造新图形，形成新关系，找到已知与未知的联系，把问题转化成已经会解的情况，我们把在原图上添加的线叫做辅助线 注：1）辅助线通常画为虚线 2）添加辅助线往往结合学习过的定理或概念 例2如图，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点； 证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。 三、三角形的外角和：三角形的外角和等于360°。 跟踪训练： 1．下列说法中正确的是（ ） A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．面积相等的两个三角形全等 2．下列说法中，错误的是（ ） A．菱形的四条边都相等 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．四个角都相等的四边形是矩形 D．等腰梯形的对角线相等 3、下列命题是真命题的是( ) A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角; B.两互补的角一定是邻补角 C.如果a2=b2,那么a=b; D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等 4、如图所示，不能推出AD∥BC的是（ ） 7 www.gedu.org 一切为了孩子

中国教育领军品牌 5、我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象，光线从水射入空气中，同样也会发生折射现象．如图所示，已知?∠1=∠4，∠2=∠3．求证：直线c∥d． 小总结： 1、学习了本章的基本概念 2、学习了公理与定理 3、学习了平行线的判定和性质定理 4、学习了三角形的内角定理和以及推论 8 www.gedu.org 一切为了孩子

中国教育领军品牌 家 庭 作 业 一、选择题 1、下列语句中不是命题的是（ ） A．延长线段AB; B．自然数也是整数 C．两个锐角的和一定是直角; D．同角的余角相等 2、下列命题中,真命题有( ) ①如果△A1 B1 C1∽△A2 B2 C2,△A2 B2 C2∽△A3 B3 C3那么△A1 B1 C1∽△A3 B3 C3 ;②直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这个点到这条直线的距离;③如果x2-4=0,那么x=±2; ④如果a=?b,那么a3=b3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、下列命题中，真命题是（ ） A．有两边相等的平行四边形是菱形; B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．四个角相等的菱形是正方形; D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3、命题“同角的余角相等”改写成“如果?那么?”的形式是（ ） A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角 D．如果两个角互余，那么这两个角相等 4、如图7，ab∥，c⊥a?，∠1=130°?，则2∠等于（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 二、填空题： 如图2，写出一个能判定直线a∥b的条件：______________ 二、解答题 1、已知：如图， 求证：EC∥DF. 9 www.gedu.org 一切为了孩子

，，且. 中国教育领军品牌 2、如图11，直线AB、CD被EF所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。 求证：AB∥CD，MP∥NQ． 求FG的长。 A F D B G C 3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8， 10 www.gedu.org 一切为了孩子

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