4复变函数幂级数

CH 4 级数

1、复数项级数

2、幂级数3、泰勒(Taylor)级数

4、罗朗(Laurent)级数

第四章幂级数

§4.1 复数项级数

1. 复数列的极限

2. 级数的概念

26 December 2013

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2 2

第四章幂级数

1. 复数列的极限

定义 设复数列：{ n }( n 1,2, ), 其中 n=an ibn , 又设复常数： a ib,

若 0, N 0, 当 n N , 恒有 n ,

那么 称为复数列 { n }当n 时的极限， 记作lim n , 或当n 时， n ,n

定理1 lim n lim a n a , lim bn b. n n n 证明 “ ”已知 lim n 即，n

此时，也称复数列 n }收敛于 . {

0, N 0, n N , 恒有 n 26 December 2013© 2009, Henan Polytechnic University

3 3

第四章幂级数

又 n (an a ) i (bn b) (a n a ) (bn b)2

2

an a n 故 a n a , bn b. lim limn n

bn b n

“ ”已知 a n a , bn b 即， lim limn n

0, N 0, n N , 恒有 a n a ,n b b 2 2 又 n (a n a ) i (bn b ) a n a bn b 26 December 2013© 2009, Henan Polytechnic University

故 lim n .n 4 4

第四章幂级数

例1 判断下列数列是否收敛？若收敛，求出其 极限.

1 ni (1) z n 1 ni( 3) zn (1 i 3 ) n

(2) zn e

n i 2

1 ni (4) z n (1 )e n

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5 5

第四章幂级数

2. 级数的概念定义 设复数列： { n } {an ibn }( n 1,2, , ),

n 1

n

1 2 n ---无穷级数n

级数的前面n项的和

sn 1 2 n i ---级数的部分和

收敛-级数 n 称为收敛 n 1 lim sn s称为级数的和 若部分和数列sn } { n 不收敛 -级数 n 称为发散 n 126 December 2013© 2009, Henan Polytechnic University

i 1

6 6

3i 例2 判别 n 的敛散性. n 1 2 n 3i 1 解 sn k 3i (1 n ), 又lim sn 3i n 2 k 1 2 级数收敛 且和为3i . ,定理2级数 n收敛 an和 bn 都收敛.n 1 nn

第四章幂级数

n 1

证明 s (a ib ) a i b i k k k k k n n nk 1 k 1 k 1 k 1

n

n 1

n

由定理1, sn a ib lim n a , lim n b limn n n

an和 bn 都收敛.n 1 n 1

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7 7

第四章幂级数

由定理2,复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题.

: 性质 级数 n收敛的必要条件lim n 0. n n 1

定理3 若 n 收敛 n收敛，且 n n .n 1 n 1 n 1 n 12 2 证明 n a n ibn an bn 2 2 a n a n bn , 2 2 bn a n bnn n

由比较判定法

a 和 b 均 绝 对 收 敛 ，n 1 n n 1 n

k k , n nk 1 k 1 n 1 n 1

由 定 理2得 n收 敛 。

n 1

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8 8

第四章幂级数2 2 a n bn a n bn 有 : 由定理3的证明过程，及不等式

定理4 级数 n 收敛 a n 和 bn 都收敛。n 1 n 1 n 1

若 n 1

收敛? n

( 1) n i n 收敛.(例如 : ) n n 1 n 1

定义 若 n 收 敛 ， 则 称 n为 绝 对 收 敛 ； n 1 n 1

若 n 发 散 ， 而 n收 敛 ， 则 称 n为 n 1 n 1 n 1

条件收敛 .26 December 2013© 2009, Henan Polytechnic University

9 9

第四章幂级数

例2 下列级数是否收敛？是 否绝对收敛？ 1 i ( 8i ) n (1) (1 ) ( 2) n n! n 1 n n 0

( 1) n i ( 3) ( n) n 2 n 1

1 1 1 i 解 (1) 发散， 2 收敛， (1 )发散. n n n 1 n n 1 n 1 n

( 2) n 0

n n 8i 8 ( 8i ) 收敛， 绝对收敛。 n! n! n 0 n! n 0

n

( 1)n 1 ( 1) n i ( 3) 收敛， n 收敛， ( n )收敛. 2 n n 2 n 1 n 1 n 1 ( 1) n 又 条件 收敛， 原级数非绝对收敛 . n n 1

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第四章幂级数

级数收敛判定： 1.正项级数收敛判定：

部 分 和 有 上 界 ； ( 比 较 ) n v n , 若 v n收 敛 ， 则 n收 敛 ； 若 n发 散 ， 则 n发 散 ； u u u v u (达朗贝尔) lim n 1 q , 若q 1, 则 级 数 收 敛 ； 1, 则 发 散 ； 1, 不 能 确 定 ； q q n u n ( 柯 西 ) n un p, 若 p 1, 则 级 数 收 敛 ； 1, 则 发 散 ； 1, 不 能 确 定 ； lim p p n 若 lim nun l 0, 则 un发 散 ； n n 1 (极限判别) 若p 1, lim n p un l (0 l ), 则 un收 敛. n n 1

若数列un单调递减，且 un 0, 则 (-1)n un收敛. lim 2.交错级数收敛判定： n (阿贝尔 )若数列 un单调有界，且级数 v n

收敛 , 则 un v n收敛； n 1 n 1 (狄力克雷)若数列 un单调递减，且 lim un 0, 级数 v n部分和有界 , 则 un v n收敛 . n n 1 n 1

3.特殊结构的级数收敛判定：

n 1

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第四章幂级数

1 n 练习： 讨论 1 e 的敛散性 ; n n 0 i

i 讨论 的敛散性 ; n 1 n1 ) ln( 1 n 敛散性 . 讨论 in n 1

n

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第四章幂级数

§4.2 幂级数

1. 幂级数的概念

2. 收敛定理3. 收敛圆与收敛半径

4. 收敛半径的求法5. 幂级数的运算和性质1313

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第四章幂级数

1. 幂级数的概念定义 设复变函数列： f n ( z )} z D, n 1,2, {

fn 1

n

( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) (1)

---称为复变函数项级数

级数的最前面n项的和

sn ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) f k ( z )k 1

n

---级数的部分和 若 z0 D lim sn ( z0 ) s( z0 ), 称级数 (1)在z0收敛 ,n

其和为 s( z0 ), sn ( z0 )不存在，称级数 (1)发散。 limn

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第四章幂级数

若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数s( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )+ ---级数(1)的和函数

特殊情况，在级数(1)中 f n ( z ) cn ( z z0 )n 得

cn ( z z0 )n 0

n

( 2)

当z 0 0 c n z nn 0

( 3)

称为幂级数

在( 2)中令z z0

( 2) cn kk 0

研究级数 3)并不失一般性。 (26 December 2013© 2009, Henan Polytechnic University

1515

第四章幂级数

2. 收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理)

⑴ 若 级 数 c n z n在z z0 ( 0)收 敛, 则 对 满 足 n 0

z0 的z , 级 数 必 绝 对 收 敛 z .

⑵若级数在 z0发 散, 则对满足z z0 的z , z 级数必发散 .26 December 2013© 2009, Henan Polytechnic University

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n n 证明 (1) cn z0 收敛, 则 lim cn z0 0,即n 0, N 0, n N,恒有cn z0 2 N 取M max , c0 , c1 z0 , c2 z0 , , c N z0 n 故 cn z0 M , n 0,1,2, n z n 若 z z0 , 则 q 1 cn z n cn z0 z Mqn , z0 z0

第四章幂级数n

n 0

由于 Mqn收敛, 由比较判别法得 cn z n 收敛, n 0

cn z 绝对收敛。n n 0

n 0

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n 设 (2)用反证法， z1 , 当 z1 z0

,有 cn z1 收敛，

第四章幂级数

由(1)知 c z 收敛与假设矛盾，得证 ！n 0 n n 0

n 0

3. 收敛圆与收敛半径由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处 处收敛. (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散.26 December 2013© 2009, Henan Polytechnic University

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( iii) 0, 使 得 cn n收 敛,

第四章幂级数

小，在c 外部都是蓝色， n 0 红、蓝色不会交错.故 0, 使 得 cn n发 散. 一定 c R: R , 为红、 z n 0 由Able定 理 ， 在 圆 周 : 蓝两色的分界线。 c z 内 ， 级 数 3)收 敛 ； ( 在 圆 周c : z 外 ， 级 数( 3)发 散. 显然， < 否则，级数(3)将在 处发散. 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色， 逐渐变大， 在c 内部都是红色, 逐渐变

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