湖北省宜昌市三峡中学、金东方中学2014-2015学年高二下学期期中

湖北省宜昌市三峡中学、金东方中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）

一.选择题：（共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）在复平面内，复数 A． 第一象限

2

对应的点位于（）

C． 第三象限

D．第四象限

B． 第二象限

2

2．（5分）方程mx+ny=1不可能表示的曲线为（）

A． 圆 B． 椭圆 C． 双曲线 D．抛物线 3．（5分）下面几种推理中是演绎推理的序号为（）

2

A． 半径为r圆的面积S=πr，则单位圆的面积S=π B． 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电 C． 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

222

D． 由平面直角坐标系中圆的方程为（x﹣a）+（y﹣b）=r，推测空间直角坐标系中球的

222

方程为（x﹣a）+（y﹣b）+（z﹣c）=r

4．（5分）设a∈R，若函数y=e+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（） A． a＜﹣1

B． a＞﹣1

C．

D．

x

5．（5分）已知x∈R，命题p：x＞0，命题q：x+sinx＞0，则p是q的（） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 6．（5分）如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（）

A．

B． C． D．

7．（5分）过抛物线y=4x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点．若线段AB的中点的横坐标为3，则AB的长度为（） A． 8 B． 7 C． 6 D．5 8．（5分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）

2

A．

B． C． D．

9．（5分）如图所示，在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，则向量

的坐标为（）

，

A． （﹣ D． （

10．（5分）已知抛物线方程为y=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（） A．

11．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为（）

B．

C．

D．

2

，﹣，，1，

）

） B． （﹣，﹣1，） C． （﹣，﹣，）

A． B． C． D．

12．（5分）定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足

，则下列不等式成立的是（）

A． 3f（2）＜2f（3） B． 3f（4）＜4f（3） C． 2f（3）＜3f（4） D．f（2）＜2f（1）

二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知命题“彐x∈R，2

14．（5分）由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=分）的面积是．

所围成的平面图形（下图中的阴影部

x2+ax

≤”是假命题，则a的取值范围是．

15．（5分）如图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f（n），则： （Ⅰ）f（5）=； （Ⅱ）f（n）=．

16．（5分）直线y=kx+2与双曲线x﹣y=6的右支交于不同两个点，则实数k的取值范围是．

三．解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

22

17．（10分）已知命题p：?x∈，x﹣a≥0，命题q：?x0∈R，x0+2ax0+2﹣a=0；若命题￢（p∧q）是假命题，求实数a的取值范围． 18．（12分）如图，飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30°的方向上，相距4km，P为航天员着陆点．某一时刻，在A地接到P的

2

2

求救信号，由于B，C两地比A距P远，因此4s后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s．求∠BAP的大小．

19．（12分）函数f（x）=lnx++ax（a∈R） （1）a=0时，求f（x）最小值；

（2）若f（x）在，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．

湖北省宜昌市三峡中学、金东方中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一.选择题：（共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）在复平面内，复数

对应的点位于（）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限

考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数．

分析： 直接由复数代数形式的除法运算化简，求出复数所对应点的坐标，则答案可求．

解答： 解：∵∴复数

=，

对应的点的坐标为（﹣1，1），

位于第二象限．

故选：B．

点评： 本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

2．（5分）方程mx+ny=1不可能表示的曲线为（） A． 圆 B． 椭圆 C． 双曲线

考点： 圆锥曲线的共同特征．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

22

D．抛物线

分析： 根据方程mx+ny=1中不含有x（或y）的一次项，即可得出结论．

22

解答： 解：∵方程mx+ny=1中不含有x（或y）的一次项，

22

∴方程mx+ny=1不可能表示抛物线， 故选：D．

点评： 本题考查圆锥曲线的共同特征，考查抛物线方程，比较基础． 3．（5分）下面几种推理中是演绎推理的序号为（）

A． 半径为r圆的面积S=πr，则单位圆的面积S=π B． 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电 C． 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

222

D． 由平面直角坐标系中圆的方程为（x﹣a）+（y﹣b）=r，推测空间直角坐标系中球的

222

方程为（x﹣a）+（y﹣b）+（z﹣c）=r

考点： 演绎推理的意义． 专题： 综合题；推理和证明．

分析： 根据演绎推理，归纳推理和类比推理的概念，判定每一个选项是否符合条件即可．

2

解答： 解：对于A，根据演绎推理的三段论知，大前提是半径为r圆的面积S=πr，小前提是单位圆是半径为1的圆，结论是单位圆的面积S=π，∴A是演绎推理； 对于B，是由特殊到一般，是归纳推理；

对于C，是由一类事物的特征，得出另一类事物的特征，是类比推理； 对于D，是由一类事物的特征，得出另一类事物的特征，是类比推理． 故选：A．

点评： 本题考查了演绎推理，归纳推理和类比推理的应用问题，解题时应根据演绎推理，归纳推理和类比推理的概念，对每一个选项逐一判定即可，是基础题．

22

2

4．（5分）设a∈R，若函数y=e+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（） A． a＜﹣1

B． a＞﹣1

C．

D．

x

考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 压轴题；数形结合．

分析： 先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围．

x

解答： 解：∵y=e+ax，

x

∴y'=e+a．

xx

由题意知e+a=0有大于0的实根，令y1=e，y2=﹣a，则两曲线交点在第一象限， 结合图象易得﹣a＞1?a＜﹣1， 故选A．

点评： 本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即函数取到极值时一定有其导函数等于0，但反之不一定成立． 5．（5分）已知x∈R，命题p：x＞0，命题q：x+sinx＞0，则p是q的（） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．

分析： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解答： 解：设f（x）=x+sinx，则f′（x）=1+cosx≥0， 则函数f（x）为增函数，

∵则当x＞0时，f（x）＞f（0）， 即x+sinx＞0， 反之，也成立，

故p是q的充要条件， 故选：C．

点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据导数研究函数的性质是解决本题的关键． 6．（5分）如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（）

A．

B．

C．

D．

考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题．

分析： 由题意知，空间几何体是底面边长为2，斜高为2的正四棱锥，由此能求出它的体积．

解答： 解：∵空间几何体的主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形， 俯视图对应的四边形为正方形，

∴空间几何体是底面边长为2，斜高为2的正四棱锥， 它的高h=∴它的体积V=

=

，它的底面积S=2=4，

=

．

2

故答案为 C．

点评： 本题考查由三视图求空间几何体的体积，是基础题．解题时要认真审题，仔细观察，注意合理地判断空间几何体的形状．

7．（5分）过抛物线y=4x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点．若线段AB的中点的横坐标为3，则AB的长度为（） A． 8 B． 7 C． 6 D．5

考点： 抛物线的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．

解答： 解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4， 设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2， 由抛物线的定义知：

2

|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8． 故选：A．

点评： 本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法． 8．（5分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）

A．

B． C． D．

考点： 函数的图象． 分析： 利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的

体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较． 解答： 解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口， 当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不

会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．

故选B

点评： 本题考查函数图象，还可以正面分析得出结论：圆柱液面上升速度是常量，则V（这里的V是漏斗中剩下液体的体积）与t成正比（一次项），根据圆锥体积公式V=兀rh，可以得出H=at+bt中，a为正数，另外，t与r成反比，可以得出H=at^2+bt中，b为正数．所以选择第二个答案．

9．（5分）如图所示，在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，则向量

的坐标为（）

，

2

2

A． （﹣ D． （

，﹣，，1，

）

） B．

（﹣

，﹣1，

） C． （﹣，﹣

，）

考点： 空间向量的概念． 专题： 空间向量及应用．

分析： 通过求出点D在平面yOz上坐标，利用空间直角坐标系，求出D的坐标，再利用

向量的坐标运算即可求出．

，

解答： 解：因为在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），

点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，BO=1，

所以BD=1，∠DBC=60°，D在平面yOz上坐标（﹣，所以D的坐标为：（0，﹣，∴

=（﹣

，﹣1，

），

），

）

故选：B．

点评： 本题考查空间直角坐标系，求解点的坐标的求法，考查计算能力．

10．（5分）已知抛物线方程为y=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（） A．

B．

C．

D．

2

考点： 抛物线的简单性质． 专题： 计算题．

分析： 如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．

解答： 解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离， 从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．

过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2﹣1最小，

∵F（1，0），则|PF|+d2=则d1+d2的最小值为故选D．

．

=，

点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用．解此列题设和先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．

11．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为（） A．

B．

C．

D．

考点： 异面直线及其所成的角．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量的夹角公式即可得出． 解答： 解：如图所示， 建立空间直角坐标系． C（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，1，2）， B1（1，0，2），

=（1，﹣1，﹣2），

=（1，0，2）．

∴===﹣．

∴异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为故选：D．

．

点评： 本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角，考查了计算能力，属于基础题． 12．（5分）定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足

，则下列不等式成立的是（）

A． 3f（2）＜2f（3） B． 3f（4）＜4f（3） C． 2f（3）＜3f（4） D．f（2）＜2f（1）

考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 计算题；导数的综合应用．

分析： 依题意，f′（x）＜0，（x）=

?＞0?′＜0，利用h

为（0，+∞）上的单调递减函数即可得到答案．

解答： 解：∵f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数， ∴f′（x）＜0， 又∵

＞x，

∴＞0?＜0?′＜0，

设h（x）=∵

，则h（x）=＞x＞0，f′（x）＜0，

为（0，+∞）上的单调递减函数，

∴f（x）＜0． ∵h（x）=∴

＞

为（0，+∞）上的单调递减函数， ?

＞0?2f（3）﹣3f（2）＞0?2f（3）＞3f（2），

故A正确；

由2f（3）＞3f（2）＞3f（4），可排除C； 同理可判断3f（4）＞4f（3），排除B； 1?f（2）＞2f（1），排除D； 故选A．

点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，求得′＜0是关键，考查等价转化思想与分析推理能力，属于中档题．

二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知命题“彐x∈R，2

x2+ax

≤”是假命题，则a的取值范围是（﹣2，2）．

考点： 特称命题．

专题： 函数的性质及应用；简易逻辑．

分析： 根据命题与命题的否定真假性相反，写出该命题的否定命题，由此求出a的取值范围．

解答： 解：∵命题“彐x∈R，2∴该命题的否定“?x∈R，

2

x2+ax

≤”是假命题，

＞”是真命题，

∴x+ax＞﹣1恒成立，

2

即x+ax+1＞0恒成立；

2

△=a﹣4＜0， 即﹣2＜a＜2；

∴a的取值范围是（﹣2，2）． 故答案为：（﹣2，2）．

点评： 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，也考查了指数函数的图象与性质的应用问题，考查了不等式的恒成立问题，是综合性题目．

14．（5分）由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=分）的面积是2

﹣2．

所围成的平面图形（下图中的阴影部

考点： 余弦函数的图象．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 三角函数的对称性可得S=2，求定积分可得．

解答： 解：由三角函数的对称性和题意可得S=2

=2（sinx+cosx）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2

故答案为：2﹣2

点评： 本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题． 15．（5分）如图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f（n），则： （Ⅰ）f（5）=41； （Ⅱ）f（n）=2n﹣2n+1．

2

考点： 归纳推理．

专题： 规律型；等差数列与等比数列．

分析： 先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解． 解答： 解：根据前面四个发现规律： f（2）﹣f（1）=4×1， f（3）﹣f（2）=4×2， f（4）﹣f（3）=4×3， …

f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）； 这n﹣1个式子相加可得：

f（n）=2n﹣2n+1． 当n=5时，f（5）=41．

2

故答案为：（Ⅰ）41；（Ⅱ）2n﹣2n+1

点评： 本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题．

16．（5分）直线y=kx+2与双曲线x﹣y=6的右支交于不同两个点，则实数k的取值范围是

．

2

2

2

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 计算题．

分析： 把直线方程与双曲线方程联立消去y，根据x1x2＞0和判别式大于0求得k的范围． 解答： 解：由直线y=kx+2与双曲线方程联立，消去y

22

（1﹣k）x﹣4kx﹣10=0 ∵x1x2＞0 所以﹣

＞0所以k＞1，即k＞1或者k＜﹣1

2

又x1+x2＞0，所以∴k＜﹣1

＞0，可得k＜0

又△=（4k）+40（1﹣k）＞0解得解得

22

，解得

又由题意，直线与右支交于两点，由图象知k的取值范围是故答案为

点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．当直线与圆锥曲线相交时 涉及交点问题时常用“韦达定理法”来解决．

三．解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

22

17．（10分）已知命题p：?x∈，x﹣a≥0，命题q：?x0∈R，x0+2ax0+2﹣a=0；若命题￢（p∧q）是假命题，求实数a的取值范围．

考点： 复合命题的真假． 专题： 简易逻辑．

分析： 先求出命题p，q为真命题时a的范围，据复合函数的真假得到p，q中均为真，即可求出a的范围．

解答： 解：p真，则a≤1，

2

q真，则△=4a﹣4（2﹣a）≥0， 即a≥1或a≤﹣2，

∵命题￢（p∧q）是假命题，

∴p∧q为真命题， ∴p，q均为真命题， ∴

，

∴a≤﹣2，或a=1

∴实数a的取值范围为a≤﹣2，或a=1．

点评： 本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围，属于基础题． 18．（12分）如图，飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30°的方向上，相距4km，P为航天员着陆点．某一时刻，在A地接到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，因此4s后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s．求∠BAP的大小．

考点： 解三角形的实际应用． 专题： 应用题；解三角形．

分析： 以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，易判断P在以A，B为焦点的双曲线的左支上，从而可确定双曲线的方程，再与BC的垂直平分线的方程联立，可求P的坐标，从而问题得解．

解答： 解：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，…（2分） 因为|PC|=|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上． 又因为|PB|﹣|PA|=4，|AB|=6，

所以P在以A，B为焦点的双曲线的左支上．…（6分）

又BC的垂直平分线方程为x+y﹣7=0…（8分） 联立两方程解得x=﹣8．

所以P（﹣8，5）…（10分）

所以kPA=tan∠PAB=﹣，得∠PAB=120°．…（12分）

点评： 本题主要考查了解三角形的实际应用．解此类题的要点是建立适当的三角函数模型，利用三角函数的基本公式和定理进行求解．

19．（12分）函数f（x）=lnx++ax（a∈R）

（1）a=0时，求f（x）最小值； （2）若f（x）在

在正△SAB中，AB=2，SE=，E为AB的中点，∴SE=

，SE⊥AB

∵BC=2，AD=1，E，F分别为AB，CD的中点，∴EF= ∵等边△SAB与直角梯形ABCD垂直，SE⊥AB ∴SE⊥面ABCD，∴SE⊥EF 直角△SEF中，|SF|=∴|

|=2

=

；

=

，

（2）建立如图所示的直角坐标系，

则S（0，0，

），D（1，1，0），C（﹣1，2，0）

=（x，y，z），则由

）

，可得

设面SCD的法向量为取x=1，可得

=（1，2，

∵面SAB的法向量为

∴cos＜＞===．

点评： 本题考查面面垂直，考查线面垂直，考查向量知识的运用，考查面面角，考查学生

分析解决问题的能力，属于中档题．

21．（12分）已知椭圆G：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，右焦点为（2

，0），斜

率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）． （Ⅰ）求椭圆G的方程； （Ⅱ）求△PAB的面积．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （Ⅰ）根据椭圆离心率为

2

2

2

，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，

再根据b=a﹣c求出b的值，即可求出椭圆G的方程；

（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得，c=解得a=

，又b=a﹣c=4，

．

2

2

2

，，

所以椭圆G的方程为

（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，

2

2

由得4x+6mx+3m﹣12=0．①

设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0）， 则x0=

=﹣

，

y0=x0+m=，

因为AB是等腰△PAB的底边， 所以PE⊥AB，

所以PE的斜率k=，

解得m=2．

2

此时方程①为4x+12x=0． 解得x1=﹣3，x2=0， 所以y1=﹣1，y2=2，

所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）． 到直线AB：y=x+2距离d=所以△PAB的面积s=|AB|d=．

点评： 此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．

22．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）． （Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；

（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；

（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．

，

考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．

分析： （Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；

（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间； （Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞）， 当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣

=

，

令f′（x）=0，解得x=， 当0＜x＜时，f′（x）＜0； 当x≥时，f′（x）＞0 又∵f（）=2ln

=2﹣2ln2

∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值． （Ⅱ）f′（x）=

﹣

+2a=

，

当a＜﹣2时，﹣＜，

令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣或x＞， 令f′（x）＞0 得﹣＜x＜； 当﹣2＜a＜0时，得﹣＞， 令f′（x）＜0 得 0＜x＜或x＞﹣， 令f′（x）＞0 得 ＜x＜﹣；

当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，

综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；

当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；

当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间上单调递减， 当x=1时，f（x）取最大值； 当x=3时，f（x）取最小值；

|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣=﹣4a+（a﹣2）ln3， ∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立， ∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3 整理得ma＞﹣4a， ∵a＜0，∴m＜

﹣4恒成立，

＜

﹣4＜﹣

，

∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣∴m≤﹣

．

点评： 考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/35rg.html