2 重积分在直角坐标系下

§2 重积分在直角坐标系下的表示和计算

一、二 重积分在 直角坐标 系下的计 算和表示二、三重 积分在直 角坐标系 下的表示 和计算

1。二重积分的几何意义 2。直角坐标系下的积分微元 3。积分区域的不等式表示 4。化二重积分为二次积分 1。分割法

2。截面法

1。二重积分的几何意义1 曲顶柱体的体积 曲顶柱体：设有一立体 , 它是以 xOy 面上的有界闭区域 D 为底 , 以 D 的边界曲线为准线, 母线平行于 oz 轴 的柱面为侧面 , 以曲面z f ( x , y( ) f ( x, y) 0 且 在 D 上连续)为顶 , 这种立体叫做曲顶柱体.

1。二重积分的几何意义求法如下： 先分割曲顶柱体的底， 再取典型小区域， 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， x 得到曲顶柱体的体积：n

z

z f x, y

o

y i

i , i

lim f ( i , i ) i 0i 1

f ( x, y )d D

2 直角坐标系下的积分微元我们利用直角坐 标网分割D

。

yj 让分割充分细，取D 的被坐标网割出的 yj 1 一个典型子区域 Δ σ ,设它是如图 的矩形，其面积为

xk 1 xk xk yj

xk yj ,其中

2 直角坐标系下的积分微元

。

xk xk xk 1, yj yj yj 1因此，二重积分的面积微元dσ 自然地可记成

d dxdy此时有

f x, y d f x, y dxdyD D

3 积分区域的不等式表示x型域:(图见下页) 若积分区域D由两条连续曲线Y=y1(x)和Y= y2(x)(a≤x≤b)及两条直线x=a和x=b所 界定。[a,b]为区域D到ox轴的投影， 任一条直线x=x0(a≤x0≤b)与曲线 Y=y1(x)和Y= y2(x)都只交于一点， 则D可以用不等式表示为

。

D:y1 x y y2 x , a x b

3 积分区域的不等式表示

。

x 型域

3 积分区域的不等式表示y型域:(图见下页)

。

若积分区域D由两条连续曲线X=x1(y)和X= x2(y)(c≤y≤d)及两条直线y=c和y=d所界定。 [c,d]为区域D到oy轴的投影， 任一条直线y=y2(c≤y0≤d)与曲线 X=x1(y)和X= x2(y)都只交于一点，则D可以用不等式表示为：

D : x1 y x x2 y , c y b

3 积分区域的不等式表示

。

y型域

3 积分区域的不等式表示 例1.积分区域D为直线y=2x和抛物线y=x 所围，写出区域D的不等式表示。2

。

3 积分区域的不等式表示[解 ] y 2x 解方程组 得交点为 0, 0 和 2, 4 2 y x

。

0, 当把D投影到ox轴时得到区间 2 上侧边界曲线为 y 2 x, 下侧边界曲线为 y x2 , 故D可表示为：x 2 y 2 x,0 x 2

0, 当把D投影到oy轴时得到区间 4

3 积分区域的不等式表示左

侧边界曲线为 x y , 右侧边界曲线为 x 2 y,

。

y x 故D可表示为： 2

y ,0 y 4

对于不是x型域和y 型域的闭区域D, 一般可以利用与坐 标轴平行的直线将 其分割成若干个x 型域或y型域。

4 化二重积分为二次积分假定 D 是 x 型域它的不等式表示为 yz

。

z f ( x, y)

y1 x y y2 x

Dy y2 ( x )

a x b

a

x

b

x

y y1 ( x )

在区间 a , b 任取一点x,过 x,0,0 作平行 于 yOz 面的平面，所截为一曲边梯形，

4 化二重积分为二次积分截面面积 A x

。

y2 x

y1 x

f x , y dy

故曲顶柱体体积

V A x dx b a 记

b

dx a

b

y2 x

a

y1 x

f x , y dyb a

y2 x f x , y dy dx y1 x y2 x

则

f x, y dxdy D

dx

y1 x

f x , y dy

4 化二重积分为二次积分若区域 D 为 y 型域

。

D : x1 y x x2 y 则

c y dx2 y x1 y

f x, y dxdy D

d

cd

dy

f x , y dx

c

x2 y f x , y dx dy x1 y

2 y x 直线 y 2 x和抛物线 所围区域 .

x 2 y dxdy 例 2.计算积分 ,其中 D 是由D

[解]

区域D可表示为:

x2 y 2xD

0 x 2

x 2 y dxdy 2 2x dx x 2 y dy 0 x2

3 1 4 1 5 2 2x x x 5 3 4 5 0 5

[又解]

区域 D 也可表示为

x 2 y dxdy dy x 2 y dx4 y

y x 2

y

0 y 40 y 2

2 y 9y 2y y dy 0 8 2 4

D

y2 4 5 3 3 4 3 2 4 5y 8 y 0 5 5

例3. 计算 xydxdy,其中 D 是由直线 y x 1 D2 和抛物线 y 2 x 6所围成的闭区域。y

[解] 解方程组

2 和 5, 4 得交点 1,

y x 1 2 y 2x 6

x

1 2 y 6 2

5, 4

D2

x y 1

D1 1, 2

x

解法一：(先对 y 在对 x 积分) 先把 D 分割成两部分 D1 和 D2

围成，其上侧曲线为 y 2 x 6 ,下侧曲线为y 2x 6

D1 由直线 x 1和抛物线 y 2 2 x 6 所

故其不等式表示为：

2 x 6 y 2 x 6 , 3 x 1 D2 由直线 y x 1 和 x 1及抛物线 y 2 2 x 6 围成，它的不等式表示为：

x 2 y 2 x 6 , 1 x 5故

xydxdy xydxdy xydxdyDD1 D2

dx 3

1

2 x 6

2 x 6

xydy dx 1

5

2 x 6

x 1

xydy

1 5 2 0 x 2 x 6 x 1 dx 36 2 1

解法二：(先对x在

对y积分), 其不等式表式：

1 2 y 6 x y 1 , 2 y 4 2故xydx 36 xydxdy 2 dy 1 y 6 22

4

y 1

D

练习 : 计算下列重积分 2y (1) dxdy , D是由直线x 0, y 0, y x 1 1 x D 围成的闭区域; (2) ( y 2 x )dxdy , D是由抛物线x y 2 , x 3 2 y 2D

围成的闭区域;

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