高中数学北师大版必修四教学案：第一章 §7 第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质

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第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质

[核心必知]

1．正切函数

π

(1)定义：如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于

2点P(a，b)，唯一确定比值.根据函数的定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切π

函数，记作y＝tan_α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.

2

sin x(2)与正弦、余弦函数的关系：＝tan_x．

cos xbaba

(3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．

(4)正切值在各象限内的符号如图． 2．正切线

单位圆与x轴正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线AT，与角α的终边或其反向延长线交

于点T.则称线段AT为角α的正切线．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在．

3．正切函数的图像和性质 函数 y＝tan x 性质 图像 续表

函数 y＝tan x 性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 π{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z} 2R 最小正周期为T＝π 奇函数 ππ在(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增加22的 对称性

[问题思考]

1．你能描述正切曲线的特征吗？

π

提示：正切曲线是被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，是间

2断的，它没有对称轴，只有对称中心．

2．正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？

ππ

提示：不是．正切函数定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，正切曲线在每一个开区间(kπ－，22

图像的对称中心(单调性 kπ2，0)k∈Z kπ＋)(k∈Z)上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的．

π

3．函数y＝|tan x|的周期是吗？

2提示：不是．y＝|tan x|的周期仍为π.

π2

讲一讲

1．已知tan α＝2，利用三角函数的定义求sin α和cos α. [尝试解答] 在α的终边上取一点P(a，2a)且a≠0， 则有x＝a，y＝2a，r＝a＋4a＝5|a|. ∵tan α＝2>0，∴α在第一象限或第三象限． 当α在第一象限时，a>0，则r＝5a. ∴sin α＝＝2

2

yr2a5a＝

25xa5

，cos α＝＝＝. 5r5a5

当α在第三象限时，a<0，则r＝－5a. ∴sin α＝＝y2a25＝－，

r－5a5

xa5

cos α＝＝＝－.

r－5a5

1．若P(x，y)是角α终边上任一点，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，其中r＝x＋y.

2．当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论．

练一练

3

1．角α的终边经过点P(－b，4)且cos α＝－，求tan α的值．

5解：由已知可知点P在第二象限，∴b＞0. 3b3

∵cos α＝－，∴－2＝－，解得b＝3，

55b＋164

tan α＝－. 3

2

2

yrxryx

讲一讲

2．画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像写出使y≤1的x的集合． [尝试解答] ∵y＝|tan x|＝

?????

π

tan x， kπ≤x＜kπ＋，（k∈Z），

2

π

－tan x， kπ－＜x＜kπ，（k∈Z），

2

画出其图像，如图所示实线部分．

ππ

由图像可知x的集合为{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}．

44

1．三点两线画图法

ππ?π??π?“三点”是指?－，－1?，(0，0)，?，1?；“两线”是指x＝－和x＝.在三点、两

22?4??4?

?ππ?线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在?－，?上的简图，然后向右、

?22?

向左扩展即可得到正切曲线．

2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．

3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等． 练一练

2．[多维思考] 根据讲2中函数y＝|tan x|的图像，讨论该函数的性质． π

解：(1)定义域：{x|x∈R，x≠＋kπ，k∈Z}．

2(2)值域：[0，＋∞)．

(3)周期性：是周期函数，最小正周期为π. (4)奇偶性：图像关于y轴对称，函数是偶函数． (5)单调性：在每一个区间(－

ππ??＋kπ，kπ](k∈Z)上是减少的，在每一个区间?kπ，＋kπ?22??

(k∈Z)上是增加的．

(6)对称性：对称轴x＝

kπ

2

，k∈Z.

讲一讲

?1π?3．(1)求函数y＝tan?x－?的单调区间．

4??2

21π17π

(2)比较tan与tan的大小．

45

π?π?[尝试解答] (1)∵y＝tan x，在?－＋kπ，＋kπ?

2?2?π1ππ

(k∈Z)上是增加的，∴－＋kπ＜x－＜＋kπ，k∈Z.

2242π3π

∴2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，

22

?1π??π

即函数y＝tan?x－?的单调递增区间是?－＋

4??2?2

2kπ，

3π

＋2kπ??(k∈Z)． 2?

21ππ?π?(2)tan＝tan?＋5π?＝tan， 44?4?2π?17π2π?tan＝tan?3π＋?＝tan. 5?55?又∵函数y＝tan x在(0，17π

1．正切函数在每一个单调区间内都是增加的，在整个定义域内不是增加的，另外正切函数不存在减区间．

2．对于函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x的系数化为正值，再利用“整体代换”思想，求得x的范围即可．

ππ2πππ2π21π)内单调递增，而0<<<，∴tan

?ππ?3．比较两个正切函数值的大小，要先利用正切函数的周期性将正切值化为区间?－，?内

?22?

两角的正切值，再利用正切函数的单调性比较大小．

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