高考数学总复习 课时作业39 新人教版

课时作业(39)

1．已知F1、F2是双曲线－y＝1的左、右焦点，P、Q为右支上的两点，直线PQ过F2且

2倾斜角为α，则|PF1|＋|QF1|－|PQ|的值为

A．8 C．42 答案 C

解析 由双曲线定义知： |PF1|＋|QF1|－|PQ|

＝|PF1|＋|QF1|－(|PF2|＋|QF2|) ＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|) ＝4a＝42.

2．与双曲线－＝1有共同的渐近线且经过点A(－3，32)的双曲线的一个焦点到它

916的一条渐近线的距离是

A.2 C．1 答案 B

B.32 4

( )

B．22

D．随α的大小而变化

( )

x2

2

x2y2

D．4

x2y2

解析 设此双曲线方程为－＝1，

9m16m1

代入点A(－3,32)得m＝－. 8∴方程为－＝1.

29

8

∵焦点到渐近线的距离为b， ∴d＝b＝932＝. 84

y2x2

3．双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是( ) A．[42－4,4] C．(42－4,2) 答案 D

B．[42－4,2] D．[42－4,2)

x2y2

解析 设双曲线的方程为2－2＝1(a>0，b>0)，

ab其中a＋b＝c.

∵2a＋2b＋2c＝8，∴a＋b＋c＝4. ∵(a＋b)≤2(a＋b)，

∴(4－c)≤2c?c＋8c－16≥0?c≥42－4或c≤－42－4(负根舍去)．

2

2

2

2

2

2

222

又∵a＋b＝c，∴a＋b>c.

而a＋b＋c＝4，∴c<2，即42－4≤c<2.

222

x2y2

4．设F1和F2为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1、F2、P(0,2b)是正三角形

ab的三个顶点，则双曲线的离心率

3A. 25C. 2答案 B

解析 设F1(－c,0)，F2(c,0)． 由△PF1F2为正三角形得2c＝c＋4b. ∴3c＝4b＝4(c－a)． ∴c＝4a，e＝4，e＝2.

5．△ABC的顶点为A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是

A.－＝1 916C.－＝1(x>3) 916答案 C

解析 设△ABC的内切圆与x轴相切于D点，则D(3,0)．由于AC、BC都为圆的切线． 故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6.

再由双曲线第一定义知所求轨迹为－＝1(x>3)．

916故选C.

B.D.

－＝1 169

－＝1(x>4) 169

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

B．2 D．3

( )

x2x2

y2y2

x2x2

y2y2

x2y2

x2y2

6．已知点F1、F2分别是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以线段F1F2为一边的

ab等边三角形PF1F2与双曲线的两交点M、N恰为等边三角形PF1F2两边的中点，则该双曲线的离心率e＝

A.3＋1 C.3

B.3＋2 D.2＋1

( )

答案 A

解析 设点M、N分别是△PF1F2的边PF1、PF2的中点，连接MF2.因为|F1F2|＝2c，△PF1F2

为等边三角形，所以|MF1|＝c，所以|MF2|＝2a＋c.又易知|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以c＋(2a＋c)＝4c，化简得e－2e－2＝0，得e＝1±3，因为e>1，故取e＝3＋1.故选A.

2

2

2

2

2

2

2

x2y2

7．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)，点F是其左焦点，点E是其右顶点，过点F且垂直

ab→→

于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若AE·BE＝0，则该双曲线的离心率为

A．2 C．4 答案 A 解析

B．3 D．5

→→

根据题意画出如图所示的简图．由AE·BE＝0，可知∠AEB为直角．由双曲线的几何性质

b2b2

可知∠AEF＝45°.又AF＝，EF＝a＋c，三角形AEF为等腰直角三角形，所以＝a＋c，整理

aa得c－ac－2a＝0，即e－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．

8.

2

2

2

x2y2

8. (2012·浙江)如图，F1、F2分别是双曲线C：2－2＝1(a，b>0)的左、右焦点，B是虚

ab轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是

A.23

3

( ) B.6 2

C.2 答案 B

D.3

解析 不妨设c＝1，则直线PQ：y＝bx＋b，两渐近线为y＝±x. 因此有交点P(－

baaa＋1a＋1

，b)，Q(，)，设PQ的中点为N，则点N的坐标为(2，1－a1－a1－aaba2

b1－a2

)．

因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M的坐标为(3,0)． 1－a因此有kMN＝2

－0

1222

＝－，所以3－4a＝b＝1－a.

ab2－31－a2

b262

所以a＝，所以e＝. 32

9．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心

916到双曲线中心的距离是______．

答案

16 3

x2y2

解析 由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心1647??

的横坐标为4，故圆心坐标为?4，±?，易求它到中心的距离为3.

3??

10．双曲线C：x－y＝1的渐近线方程为_______；若双曲线C的右顶点为A，过A的直→→

线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且PA＝2AQ，则直线l的斜率为_______．

答案 x±y＝0 ±3

解析 双曲线C：x－y＝1的渐近线方程为x－y＝0，即y＝±x；双曲线C的右顶点

??x＝my＋1，

A(1,0)，设l：x＝my＋1，联立方程，得?22

?x－y＝0，?

2

2

2

2

2

2

消去x得(m－1)y＋2my＋1＝0(*)，

22

→→

方程(*)的根为P、Q两点的纵坐标，设P(xP，yP)，∵PA＝2AQ，∴yP＝－2yQ.

2my＋y＝，??1－m又?1

yy＝??m－1，PQ2

PQ2

11

解得m＝±，直线l的斜率为，即为3或－3.

3m11．求两条渐近线为x＋2y＝0和x－2y＝0且截直线x－y－3＝0所得的弦长为曲线的方程．

83

的双3

1

解析 渐近线方程为y＝±x，

2

xy??－＝1，xy可设双曲线方程为－＝1，则?4mm4mm??x－y－3＝0.

2

2

22

可得3x－24x＋36＋4m＝0， 36＋4m∴x1＋x2＝8，x1x2＝.

3由弦长公式|AB|＝1＋k·|AB|＝2·

48－16m. 3

2

2

x1＋x2

2

－4x1x2，得

83

又∵|AB|＝，∴m＝1.

3∴双曲线方程为－y＝1.

4

x2

2

x2y2

12．(2011·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分

ab1

别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.

5

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双→→→

曲线上一点，满足OC＝λOA＋OB，求λ的值．

x2y2

解析 (1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线2－2＝1上，

abx2y200

有2－2＝1. ab由题意又有

2

1c30222222

＝，可得a＝5b，c＝a＋b＝6b，则e＝＝.

x0－ax0＋a5a5

·2

2

y0y0

?x－5y＝5b，?

(2)联立?

??y＝x－c，

得4x－10cx＋35b＝0.

22

5cx＋x＝，??2

设A(x，y)，B(x，y)，则?35bxx＝.??4

1

2

1

1

2

2

2

12

①

?→→→→?x3＝λx1＋x2，

设OC＝(x3，y3)，OC＝λOA＋OB，即?

?y3＝λy1＋y2.?

因为C为双曲线上一点，所以x3－5y3＝5b， 有(λx1＋x2)－5(λy1＋y2)＝5b.

化简得λ(x1－5y1)＋(x2－5y2)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b.② 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上， 所以x1－5y1＝5b，x2－5y2＝5b.

由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c＝10b， 由②式得λ＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

y2

13．(2013·上海徐汇高三模拟)已知点F1，F2为双曲线C：x－2＝1(b>0)的左、右焦点，

b2

过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且∠MF1F2＝30°，圆O的方程为x＋y＝b；

(1)求双曲线C的方程；

2

2

2

(2)过圆O上任意一点Q(x0，y0)作切线l交双曲线C于A，B两个不同点，AB中点为N，求证：|AB|＝2|ON|；

→→

(3)过双曲线C上一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2，求PP1·PP2的值． 解析 (1)设F2，M的坐标分别为(1＋b，0)，(1＋b，y0)(y0>0)，

2

2

y202

因为点M在双曲线C上，所以1＋b－2＝1，即y0＝b.

b2

所以|MF2|＝b.

在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b，所以|MF1|＝2b. 由双曲线的定义可知|MF1|－|MF2|＝b＝2， 故双曲线C的方程为x－＝1.

2(2)证明 ①当切线l的斜率存在时，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线l的方程为y＝kx＋n(k≠±2)， 代入双曲线C中，化简得(2－k)x－2knx－(n＋2)＝0. 所以|AB|＝1＋k·|x1－x2| ＝1＋k·2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y2

8n－8k＋16

22. －k|n|

222221＋k2

因为直线l与圆O相切，所以＝2，代入上式，得|AB|＝·k＋4. 22

|2－k|1＋k设点N的坐标为(xN，yN)， 则xN＝

x1＋x2

2

＝kn2n2，yn＝kxN＋n＝2. 2－k2－k所以ON＝kn22－k2

2n＋22－k2

2·1＋k2

＝·k＋4， 2|2－k|

2

即|AB|＝2|ON|成立．

②当切线l的斜率不存在时，A(2，－2)，B(2，2)或A(－2，－2)，B(－2，2)，此时|AB|＝22，|ON|＝2，即|AB|＝2|ON|成立．

(3)由条件可知：两条渐近线分别为l1：2x－y＝0；l2：2x＋y＝0. 设双曲线C上的点P(x0，y0)， 则点P到两条渐近线的距离分别为 →|2x0－y0||2x0＋y0|

|PP1|＝，|PP2|＝.

33

|2x0－y0||2x0＋y0||2x0－y0|

所以|PP1|·|PP2|＝·＝.

333因为P(x0，y0)在双曲线C：x－＝1上，所以2x0－y0＝2.

2|2x0－y0|2

故|PP1|·|PP2|＝＝.

33设PF1和PF2的夹角为θ， |2·2＋－

则cosθ＝

3·3

→

→

→

→

1＝. 3

→

→→

→

2

2

2

→

→→

22

y2

22

212

所以PF1·PF2＝|PF1|·|PF2|·cosθ＝·＝. 339

x22

1．设双曲线C：2－y＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两点A、B.

a(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

→5→

(2)设直线l与y轴的交点为P，且PA＝PB，求a的值．

12

??x－ay－a＝0，

解析 (1)联立?

??x＋y＝1，

2

22

2

消y得

x2－a2(1－x)2－a2＝0，

(1－a)x＋2ax－2a＝0.

2

2

2

2

??得?－2axx＝??1－a.22

12

2

－2ax1＋x2＝2，

1－a2

∵与双曲线交于两点A、B，

??1－a≠0，∴?422

?4a＋8a－a?

2

?0

2

2

∴e的取值范围为(6

，2)∪(2，＋∞)． 2

??(2)由(1)得?－2axx＝??1－a.22

12

－2ax1＋x2＝2，

1－a

→5→5

∵PA＝PB，∴x1＝x2.

121217－2a则x2＝2，① 121－a52－2ax2＝2.② 121－a①2892

得，a＝. ②16917结合a>0，则a＝.

13

2．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x－y＝1的右支交于不同的两点A、B. (1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出

2

2

2

2

2

k的值；若不存在，说明理由．

解析 (1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x－y＝1后，整理得(k－2)x＋2kx＋2＝0.①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，

2

2

2

2

?Δ＝k－?2k故?－>0，

k－22??k－2>0，

2

22

k2－2≠0，

k2－

，

解得k的取值范围为－2

(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 2kx＋x＝，??2－k则由①式得?2

x·x＝??k－2

1

2

2

1

2

2

.②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得

(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.

即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0. 整理得(k＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c＋1＝0.③ 把②式及c＝

62

代入③式化简得5k＋26k－6＝0. 2

2

2

6＋66－6

解得k＝－或k＝?(－2，－2)(舍去)．

55

6＋6

可知k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．

5

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