2018年高考理科数学试题（含全国1卷、2卷、3卷）带参考答案 - 图文

2018年普通高等学校招生全国统一考试

（全国一卷）理科数学及参考答案

1

2018年普通高等学校招生全国统一考试

（全国一卷）理科数学

一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z=

，则∣z∣=（ ）

C.1 D.

A.0 B.

2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则A =（ ）

A、{x|-12} D、{x|x≤-1}∪{x|x ≥2}

3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该

地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是（ ）

A. 新农村建设后，种植收入减少

B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3 = S2+ S4，a1 =2，则a5 =（ ）

A、-12 B、-10 C、10 D、12

5、设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax .若f（x）为奇函数，则曲线y= f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）

2

A.y= -2x B.y= -x C.y=2x D.y=x

6、在?ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（ ）

A.

7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）

A. 2B. 2

+

-

B.

+

-

C.

D.

C. 3 D. 2

8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则

·

=( )

A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）=范围是( )

A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞）

10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )

A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3

11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近

3

g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值

线的交点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) A. B.3 C.

D.4

12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x，y满足约束条件

则z=3x+2y的最大值为 .

B.

C.

D.

14.记Sn为数列｛an｝的前n项和. 若Sn = 2an+1，则S6= .

15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有

种.（用数字填写答案）

16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 .

三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5. （1）求cos∠ADB； （2）若DC =

4

，求BC.

18.（12分）

如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把?DFC折起，

使点C到达点P的位置，且PF⊥BF .

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

19.（12分）

设椭圆C： + y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）. （1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB.

20、（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，

5

如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P （0

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（P），求f（P）的最大值点（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的

。

作为P的值，

已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

21、（12分） 已知函数

.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1 , x2 , 证明：

6

.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C?的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为

（1） 求C?的直角坐标方程:

（2） 若C?与C?有且仅有三个公共点，求C?的方程.

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.

（1） 当a=1时，求不等式f（x）﹥1的解集；

（2） 若x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.

7

2 +2cos -3=0.

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案

8

一、选择题 1．C 7．B

二、填空题 13．6

三、解答题 17．解：

（1）在△ABD中，由正弦定理得由题设知，

BDAB. ?sin?Asin?ADB

2．B 8．D

3．A 9．C

4．B 10．A

5．D 11．B

6．A 12．A

14．?63 15．16 16．?33 2252. ?,所以sin?ADB?5sin45?sin?ADB

由题设知，?ADB?90?， 所以cos?ADB?1?223?. 255（2）由题设及（1）知，cos?BDC?sin?ADB?在△BCD中，由余弦定理得

BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC?25?8?2?5?22??25.252. 5

所以BC?5. 18．解：

（1）由已知可得，BF?PF，BF?EF，所以BF?平面PEF. 又BF?平面ABFD，所以平面PEF?平面ABFD.

（2）作PH?EF，垂足为H. 由（1）得，PH?平面ABFD.

uuuruuur以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz. 由（1）可得，DE?PE. 又DP?2，DE?1，所以PE?3. 又PF?1，EF?2，故PE?PF. 可得PH?33，EH?. 22

则H(0,0,0)，P(0,0,uuuruuur33333), D(?1,?,0)，DP?(1,,)，HP?(0,0,)为平面ABFD的法向量.

22222 9

3uuuruuurHP?DP3设DP与平面ABFD所成角为?，则 sin??|uuu. ruuur|?4?43|HP||DP|所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 19．解：

（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x?1. 由已知可得，点A的坐标为(1,所以AM的方程为y??22). )或(1,?223. 4

22x?2或y?x?2. 22

（2）当l与x轴重合时，?OMA??OMB?0?.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以?OMA??OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k?0)，则x1?2，B(x2,y2)，A(x1,y1)，x2?2，直线MA，MB的斜率之和为kMA?kMB?由y1?kx1?k，y2?kx2?k得

kMA?kMB?2kx1x2?3k(x1?x2)?4k.

(x1?2)(x2?2)y1y2?. x1?2x2?2

x2将y?k(x?1)代入?y2?1得

2(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0.

4k22k2?2所以，x1?x2?2. ,x1x2?22k?12k?14k3?4k?12k3?8k3?4k则2kx1x2?3k(x1?x2)?4k??0. 22k?1从而kMA?kMB?0，故MA，MB的倾斜角互补. 所以?OMA??OMB. 综上，?OMA??OMB.

20．解：

218（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)?C220p(1?p). 因此 18217217 f?(p)?C220[2p(1?p)?18p(1?p)]?2C20p(1?p)(1?10p).

,1)时，f?(p)?0.所以f(p)的最大值点令f?(p)?0，得p?0.1. 当p?(0,0.1)时，f?(p)?0；当p?(0.1为p0?0.1.

B(180,0.1)，X?20?2?25Y，即

（2）由（1）知，p?0.1.

（ⅰ）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知YX?40?25Y.

10

所以EX?E(40?25Y)?40?25EY?490.

（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX?400，故应该对余下的产品作检验. 21．解：

1ax2?ax?1（1）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??2?1???.

xxx2（ⅰ）若a≤2，则f?(x)≤0，当且仅当a?2，x?1时f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)单调递减.

a?a2?4a?a2?4（ⅱ）若a?2，令f?(x)?0得，x?或x?.

22a?a2?4a?a2?4)U(,??)时，f?(x)?0； 当x?(0,22a?a2?4a?a2?4a?a2?4a?a2?4,)时，f?(x)?0. 所以f(x)在(0,)，(,??)单调递减，当x?(2222a?a2?4a?a2?4,)单调递增. 在(22

（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a?2.

由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2?ax?1?0，所以x1x2?1，不妨设x1?x2，则x2?1. 由于 f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2lnx1?lnx2?2lnx21， ???1?a??2?a??2?a1x1?x2x1x2x1?x2x1?x2?x2x2所以

f(x1)?f(x2)1?a?2等价于?x2?2lnx2?0.

x1?x2x2

设函数g(x)?g(x)?0.

1?x?2lnx，由（1）知，g(x)在(0,??)单调递减，又g(1)?0，从而当x?(1,??)时，x所以

f(x1)?f(x2)1?x2?2lnx2?0，即?a?2. x2x1?x2

22．解：

（1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为

(x?1)2?y2?4. （2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆.

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|?k?2|4?2，故k??或k?0. 经检

3k2?1 11

4验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.

3当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?4综上，所求C1的方程为y??|x|?2.

3|k?2|k2?1?2，故k?0或k?4. 经检34时，l2与C2没有公共点. 3

23．解：

??2,?（1）当a?1时，f(x)?|x?1|?|x?1|，即f(x)??2x,?2,?x≤?1,?1?x?1, x≥1.1故不等式f(x)?1的解集为{x|x?}.

2

（2）当x?(0,1)时|x?1|?|ax?1|?x成立等价于当x?(0,1)时|ax?1|?1成立. 若a≤0，则当x?(0,1)时|ax?1|≥1； 若a?0，|ax?1|?1的解集为0?x?综上，a的取值范围为(0,2].

22，所以≥1，故0?a≤2. aa

12

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国2卷）

13

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国2卷）

本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。 1?2i1．?

1?2i43433434A．??i B．??i C．??i D．??i

555555552．已知集合A?{(x,y)|x2?y2?3,x?Z,y?Z}，则A中元素的个数为

A．9 B．8 C．5 D．4

ex?e?x3．函数f(x)?的图象大致为

x2

4．已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)? A．4

22B．3 C．2 D．0

5．双曲线

xy??1(a?0,b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为 22abB．y??3x

C．y??2x 2A．y??2x 6．在△ABC中，cosA．42 D．y??3x 2C5?，BC?1，AC?5，则AB? 25开始N?0,T?0D．25 i?1是1ii?100否B．30 C．29 111117．为计算S?1??????，设计了右侧的程

23499100在空白框中应填入

序框图，则

N?N?

14

S?N?T输出S结束T?T?1i?1A．i?i?1 B．i?i?2 C．i?i?3 D．i?i?4

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30?7?23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

1111 B． C． D． 121415189．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，AA1?3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为

A．

551A． B． C．

65510．若f(x)?cosx?sinx在[?a,a]是减函数，则a的最大值是

D．2 2ππ3π B． C． D．π 42411．已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数，满足f(1?x)?f(1?x)．若f(1)?2，

A．

则f(1)?f(2)?f(3)??f(50)? A．?50 B．0 C．2 D．50

3x2y212．已知F1，F2是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为6ab的直线上，△PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，则C的离心率为 211 B． C． 323二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y?2ln(x?1)在点(0,0)处的切线方程为__________．

A．D．

1 4?x?2y?5≥0,?14．若x,y满足约束条件?x?2y?3≥0,则z?x?y的最大值为__________．

?x?5≤0,?15．已知sinα?cosβ?1，cosα?sinβ?0，则sin(α?β)?__________． 16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为

面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

15

7，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的8

17．（12分）

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1??7，S3??15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,年的数据（时间变量t的值依次为1,2,???30.4?13.5t；,17）建立模型①：y根据2010年至2016

??99?17.5t． ,7）建立模型②：y（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）

设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8． （1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 20．（12分）

如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22，

PA?PB?PC?AC?4，O为AC的中点．

P（1）证明：PO?平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M?PA?C为30?，面PAM所成角的正弦值． 21．（12分）

已知函数f(x)?e?ax．

（1）若a?1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；

x2求PC与平

ABOMC 16

（2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

?x?2cosθ,?x?1?tcosα,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（θ为参数），直线l的参数方程为??y?4sinθ,?y?2?tsinα,（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数f(x)?5?|x?a|?|x?2|．

（1）当a?1时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≤1，求a的取值范围．

17

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题 1．D 7．B

2．A 8．C

3．B 9．C

4．B 10．A

5．A 11．C

6．A 12．D

二、填空题 13．y?2x 三、解答题 17．解：

（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1?3d??15． 由a1??7得d=2．

所以{an}的通项公式为an?2n?9． （2）由（1）得Sn?n2?8n?(n?4)2?16． 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为?16． 18．解：

（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

14．9

15．?1 216．402π

???30.4?13.5?19?226.1(亿元)． y利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

??99?17.5?9?256.5(亿元)． y（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y??30.4?13.5t上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋

18

势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年

??99?17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因的数据建立的线性模型y此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：

（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y?k(x?1)(k?0)． 设A(x1,y1),B(x2,y2)，

?y?k(x?1),由?2得k2x2?(2k2?4)x?k2?0． ?y?4x2k2?4??16k?16?0，故x1?x2?． 2k24k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?．

k24k2?4?8，解得k??1（舍去）由题设知，k?1． 2k因此l的方程为y?x?1．

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y?2??(x?3)，即y??x?5． 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则

?y0??x0?5,?x0?3,?x0?11,?2解得?或? ?(y0?x0?1)2y?2?16.?0?y0??6.?(x0?1)??2因此所求圆的方程为(x?3)?(y?2)?16或(x?11)?(y?6)?144． 20．解：

（1）因为AP?CP?AC?4，O为AC的中点，所以OP?AC，且OP?23．

2222 19

连结OB．因为AB?BC?且OB?AC，OB?2AC，所以△ABC为等腰直角三角形， 21AC?2． 2由OP2?OB2?PB2知PO?OB． 由OP?OB,OP?AC知PO?平面ABC．

uuur（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O?xyz．

uuur由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,?2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP?(0,2,23),取平面PAC的法uuur向量OB?(2,0,0)．

uuur设M(a,2?a,0)(0?a?2)，则AM?(a,4?a,0)．

设平面PAM的法向量为n?(x,y,z)．

uuuruuur??2y?23z?0由AP?n?0,AM?n?0得?，可取

??ax?(4?a)y?0n?(3(a?4),3a,?a)，

uuur所以cosOB,n?23(a?4)23(a?4)?3a?a222．由已知得uuur3． |cosOB,n|?2所以23|a?4|23(a?4)2?3a2?a2=43．解得a??4（舍去），a?．

32uuuruuur834343所以n?(?． ,,?)．又PC?(0,2,?23)，所以cosPC,n?3334所以PC与平面PAM所成角的正弦值为

3． 4 20

21．解：

（1）当a?1时，f(x)?1等价于(x2?1)e?x?1?0．

设函数g(x)?(x2?1)e?x?1，则g'(x)??(x2?2x?1)e?x??(x?1)2e?x． 当x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(0,??)单调递减． 而g(0)?0，故当x?0时，g(x)?0，即f(x)?1． （2）设函数h(x)?1?ax2e?x．

f(x)在(0,??)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,??)只有一个零点．

（i）当a?0时，h(x)?0，h(x)没有零点； （ii）当a?0时，h'(x)?ax(x?2)e?x．

当x?(0,2)时，h'(x)?0；当x?(2,??)时，h'(x)?0． 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,??)单调递增． 故h(2)?1?4ah(x)在[0,??)的最小值． 2是e 21

e2①若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)没有零点；

4e2②若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)只有一个零点；

4e2③若h(2)?0，即a?，由于h(0)?1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，

433316a16a16a1?1??0． 由（1）知，当x?0时，ex?x2，所以h(4a)?1?4a?1?2a2?1?4e(e)(2a)a故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,??)有两个零点．

e2综上，f(x)在(0,??)只有一个零点时，a?．

422．．解：

x2y2（1）曲线C的直角坐标方程为??1．

416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程

(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0．①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1?t2?0． 又由①得t1?t2??23．解：

4(2cos??sin?)，故2cos??sin??0，于是直线l的斜率k?tan???2．

1?3cos2??2x?4,x??1,?（1）当a?1时，f(x)??2,?1?x?2,

??2x?6,x?2.?可得f(x)?0的解集为{x|?2?x?3}． （2）f(x)?1等价于|x?a|?|x?2|?4．

而|x?a|?|x?2|?|a?2|，且当x?2时等号成立．故f(x)?1等价于|a?2|?4．

22

由|a?2|?4可得a??6或a?2，所以a的取值范围是(??,?6][2,??)．

21（12分）

已知函数f(x)?ex?ax2．

（1）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a． 解：

（1）f?(x)?ex?2x，f??(x)?ex?2．

当x?ln2时，f??(x)?0，当x?ln2时，f??(x)?0，所以f?(x)在(??,ln2)单调递减，在(ln2,??)单调递增，故f?(x)?f?(ln2)?2?2ln2?0，f(x)在(??,??)单调递增．

因为x?0，所以f(x)?f(0)?1．

ex（2）当x?0时，设g(x)?2?a，则f(x)?x2g(x)，f(x)在(0,??)只有一个零点等价于g(x)在

x(0,??)只有一个零点．

ex(x?2)g?(x)?，当0?x?2时，g?(x)?0，当x?2时，g?(x)?0，所以g(x)在(0,2)单调递减，

x3e2?a． 在(2,??)单调递增，故g(x)?g(2)?4e2若a?，则g(x)?0，g(x)在(0,??)没有零点．

4e2若a?，则g(x)?0，g(x)在(0,??)有唯一零点x?2．

4ex1e2x2若a?，因为g(2)?0，由（1）知当x?0时，e?x?1，g(x)?2?a?2?1?a，故存在

4xxx1?(0,1)?(0,2)，使g(x1)?0． a?1e4ae4ag(4a)??a??a

16a216a2ex?x2，

23

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国3卷）

24

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国3卷）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1，2?，则A1．已知集合A??x|x?1≥0?，B??0，A．?0? 2．?1?i??2?i?? A．?3?i

B．?3?i B．?1?

B?

2? C．?1，1，2? D．?0，C．3?i D．3?i

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

14．若sin??，则cos2??

387A． B．

992??5．?x2??的展开式中x4的系数为

x??57C．?

98D．?

9A．10 B．20 C．40 D．80

26．直线x?y?2?0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆?x?2??y2?2上，则?ABP面积的取值范围是

6? A．?2，8? B．?4，?C．??2，32? ?D．??22，32?

7．函数y??x4?x2?2的图像大致为

25

8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX?2.4，P?X?4??P?X?6?，则p?

D．0．3

a2?b2?c29．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若?ABC的面积为，则C?

4ππππA． B． C． D．

2346C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，?ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱10．设A，B，A．0．7 B．0．6 C．0．4

锥D?ABC体积的最大值为

B．183 C．243 D．543

x2y2b?0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近11．设F1，F2是双曲线C：2?2?1（a?0，ab线的垂线，垂足为P．若PF1?6OP，则C的离心率为 A．5

B．2

C．3 D．2

A．123 12．设a?log0.20.3，b?log20.3，则

A．a?b?ab?0 B．ab?a?b?0 C．a?b?0?ab D．ab?0?a?b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a=?1,2?，b=?2,?2?，c=?1,λ?．若c∥?2a+b?，则??________．

1?处的切线的斜率为?2，则a?________． 14．曲线y??ax?1?ex在点?0，π??π?的零点个数为________． 15．函数f?x??cos?3x??在?0，6??1?和抛物线C：y2?4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若16．已知点M??1，∠AMB?90?，则k?________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

26

17．（12分）

等比数列?an?中，a1?1，a5?4a3． （1）求?an?的通项公式；

（2）记Sn为?an?的前n项和．若Sm?63，求m． 18．（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

第一种生产方式 第二种生产方式 超过m 不超过m （3）根据（2）中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

2PK≥k?0.0500.0100.001?2附：K?，．

k3.8416.63510.828?a?b??c?d??a?c??b?d?n?ad?bc?219．（12分）

如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面

垂直，

M是CD上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥M?ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成角的正弦值． 20．（12分）

二面

27

x2y2m??m?0?． 已知斜率为k的直线l与椭圆C：??1交于A，B两点．线段AB的中点为M?1，431（1）证明：k??；

2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP?FA?FB?0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差． 21．（12分）

已知函数f?x??2?x?ax2ln?1?x??2x．

（1）若a?0，证明：当?1?x?0时，f?x??0；当x?0时，f?x??0； （2）若x?0是f?x?的极大值点，求a．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

?x?cos?，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为?（?为参数），过点0，?2且倾斜角为?的

y?sin??????直线l与⊙O交于A，B两点．

（1）求?的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数f?x??2x?1?x?1． （1）画出y?f?x?的图像；

???， f?x?≤ax?b，求a?b的最小值． （2）当x∈?0， 28

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国3卷）

理科数学试题参考答案

一、选择题

1 C 二、填空题

13．17．解：

（1）设{an}的公比为q，由题设得an?qn?1．

由已知得q4?4q2，解得q?0（舍去），q??2或q?2． 故an?(?2)n?1或an?2n?1． （2）若an?(?2)n?12 D 3 A 4 B 5 C 6 A 7 D 8 B 9 C 10 B 11 C 12 B 114．?315．316．2 21?(?2)nm，则Sn?．由Sm?63得(?2)??188，此方程没有正整数解．

3m若an?2n?1，则Sn?2n?1．由Sm?63得2?64，解得m?6．

综上，m?6． 18．解：

（1）第二种生产方式的效率更高． 理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8

29

大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知m?列联表如下：

第一种生产方式 第二种生产方式 279?81?80． 2超过m 15 5 不超过m 5 15 40(15?15?5?5)2?10?6.635，（3）由于K?所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

20?20?20?2019．解：

（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．

因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以 DM⊥CM． 又 BC

CM=C，所以DM⊥平面BMC．

而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．

（2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz．

当三棱锥M?ABC体积最大时，M为CD的中点．

由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)，

AM?(?2,1,1),AB?(0,2,0),DA?(2,0,0)

30

设n?(x,y,z)是平面MAB的法向量，则

??n?AM?0,??2x?y?z?0,即? ???n?AB?0.?2y?0.可取n?(1,0,2)．

DA是平面MCD的法向量，因此

cosn,DA?n?DA5， ?|n||DA|525， 525． 5sinn,DA?所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是20．解：

x12y12x22y22??1,??1． （1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则4343两式相减，并由

y1?y2?k得

x1?x2x1?x2y1?y2??k?0． 43由题设知

x1?x2y?y2?1,1?m，于是 22k??3．① 4m由题设得0?m?31，故k??． 22（2）由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则

(x3?1,y3)?(x1?1,y1)?(x2?1,y2)?(0,0)．

由（1）及题设得x3?3?(x1?x2)?1,y3??(y1?y2)??2m?0． 又点P在C上，所以m?于是

333，从而P(1,?)，|FP|?． 422 31

x12x|FA|?(x1?1)?y?(x1?1)?3(1?)?2?1．

422212同理|FB|?2?x2． 21(x1?x2)?3． 2所以|FA|?|FB|?4?故2|FP|?|FA|?|FB|，即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列． 设该数列的公差为d，则

2|d|?||FB|?|FA||?将m?11|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2．② 223代入①得k??1． 4712所以l的方程为y??x?，代入C的方程，并整理得7x?14x??0．

44故x1?x2?2,x1x2?1321，代入②解得|d|?． 2828所以该数列的公差为21．解：

321321或?． 2828（1）当a?0时，f(x)?(2?x)ln(1?x)?2x，f?(x)?ln(1?x)?设函数g(x)?f?(x)?ln(1?x)?x． 1?xxx，则g?(x)?． 21?x(1?x)当?1?x?0时，g?(x)?0；当x?0时，g?(x)?0．故当x??1时，g(x)?g(0)?0，且仅当x?0时，g(x)?0，从而f?(x)?0，且仅当x?0时，f?(x)?0．

所以f(x)在(?1,??)单调递增．

又f(0)?0，故当?1?x?0时，f(x)?0；当x?0时，f(x)?0．

（2）（i）若a?0，由（1）知，当x?0时，f(x)?(2?x)ln(1?x)?2x?0?f(0)，这与x?0是f(x)的极大值点矛盾．

（ii）若a?0，设函数h(x)?f(x)2x?ln(1?x)?．

2?x?ax22?x?ax2 32

由于当|x|?min{1,1}时，2?x?ax2?0，故h(x)与f(x)符号相同． |a|又h(0)?f(0)?0，故x?0是f(x)的极大值点当且仅当x?0是h(x)的极大值点．

12(2?x?ax2)?2x(1?2ax)x2(a2x2?4ax?6a?1)． h?(x)???1?x(2?x?ax2)2(x?1)(ax2?x?2)2如果6a?1?0，则当0?x??大值点．

如果6a?1?0，则ax?4ax?6a?1?0存在根x1?0，故当x?(x1,0)，且|x|?min{1,226a?11，且|x|?min{1,}时，h?(x)?0，故x?0不是h(x)的极4a|a|1}时，|a|h?(x)?0，所以x?0不是h(x)的极大值点．

x3(x?24)如果6a?1?0，则h?(x)?．则当x?(?1,0)时，h?(x)?0；当x?(0,1)时，22(x?1)(x?6x?12)h?(x)?0．所以x?0是h(x)的极大值点，从而x?0是f(x)的极大值点

综上，a??22．解：

（1）O的直角坐标方程为x2?y2?1． 当??当??1． 6?时，l与O交于两点． 2?2|?1，解时，记tan??k，则l的方程为y?kx?2．l与O交于两点当且仅当|221?k???)． 24得k??1或k?1，即??(,)或??(,??42???综上，?的取值范围是(,)．

44?????x?tcos?,(t为参数，???)． （2）l的参数方程为?44??y??2?tsin?设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP?tA?tB ，且tA，tB满足t2?22tsin??1?0．

2 33

??x?tPcos?, 于是tA?tB?22sin?，tP?2sin?．又点P的坐标(x,y)满足?y??2?tsin?.??P?2x?sin2?,?????2(?为参数，???)． 所以点P的轨迹的参数方程是?44?y??2?2cos2???2223．解：

1??3x,x??,?2?1?（1）f(x)??x?2,??x?1,y?f(x)的图像如图所示．

2??3x,x?1.??

（2）由（1）知，y?f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a?3且b?2时，f(x)?ax?b在[0,??)成立，因此a?b的最小值为5．

34

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/355w.html