圆的讲义

名思教育盛泽校区教研中心

圆

从难度上看，需掌握垂径定理、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距间的关系定理，直径与圆周角的性质的简单运用。所以，教师复习时，要在难易方面有所体现。

一、【知识网络】

点和圆的位置关系 圆的定义 不在同一直线上的三点确定一个圆

对称性 垂径定理 圆周角定理 圆的性质 圆心角、圆周角、弧、弦、 弦心距间的关系定理 相交 直线与圆的有关性相切 相离 内含 内切d=R-r 相切 圆与圆的位置关相交 外离 圆周长、弧长 圆的有关计算 圆、扇形、弧开面积 圆柱、圆锥展开图 1、理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。

2、探索圆的性质：垂径定理，圆心角、圆周角、

1 切线的判定 切线的性质 内、外心 圆 外切d=R+r

二、【考点分析】

名思教育盛泽校区教研中心

弧、弦、弦心距间的关系定理，直径与圆周角的性质。

3、探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线。

4、了解三角形的内心、外心。 5、a、h、r、d中，知二求二

6、会计算弧长及扇形的面积，阴影图形面积，圆锥的侧面积和全面积。

7、试题分布

1、圆中角度、线段计算、位置关系的判定多以选择题出现.

2、圆的证明与综合计算分布在第22题.

8、考点解读

1、与圆有关位置关系的判定； 2、与圆有关的计算，重点是考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理，并能综合运用勾股定理、三角函数、全等、相似等知识；

3、与圆有关的证明，重点是切线的证明，注意与圆有关的角的转化；注意在图中去发现寻找基本图； 4、圆常见辅助线的作法：（1）作弦心距；（2）直径所对圆周角；（3）连接圆心和切点.

三、【技能方法】

1、能正确利用用辅助线解决圆的证明和计算（已知r，作弦；与弦有关作弦心距；与切线有关作半经）

2、能用比较、分析、综合、数形结合、化归、建模等数学思想方法解答比较简单的综合性、实际性问题。

3、充分感受数学与现实生活的紧密联系。

四、【重要定理】垂径定理分析

知识考点：

1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。这五

个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。

2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。

精典例题：

【例1】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：

（1）CD的长；

（2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。

分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，

所以连半径、作弦心距是圆中的一D种常见辅助线添法。

解：（1）过点O作OF⊥CDF于F，连结DO AGEO?HB ∵AE＝2cm，BE＝6cm，C∴AB＝8cm

∴⊙O的半径为4 cm

∵∠CEA＝300，∴OF＝1

例1图 cm

∴DF?OD2?OF2?15cm

由垂径定理得：CD＝2DF＝215cm （2）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，易求EF＝3cm

∴DE＝(15?3)cm，CE＝

(15?3)cm

∴

CGDH?CEDE?15?315?3?3?52 【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆C心O的距离等于1，则AB2?CD2＝（ ）

O?NA、28 B、26

AEMB2 D例2图 名思教育盛泽校区教研中心

C、18 D、35

分析：如图，连结OA、OC，过O分别作AB、CD的垂线，垂足分别为M、N，则AM＝MB，CN＝ND。

∵OM⊥MN，ME⊥EN，CN＝ND

∴OM2?ON2?OE2

从而OA2?AM2?OC2?CN2?OE2

即22?(AB2CD2)?22?(22)?12

∴AB2?CD2?28

故选A。

【例3】如图，等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O，AB＝AC，tanB＝

13。求： （1）BC的长；

（2）AB边上高的长。

??分析：（1）已知AB＝AC，可得AB?AC，?则A为BC的中点。已知弧的中点往往连结这点和圆心，从而可应用垂径定理；（2）求一边上的高（或垂线段）可考虑用面积法来求解。

解：（1）连结AO交BC于D，连结BO

?? 由AB＝AC得AB?AC，又O为圆心

由垂径定理可得AO垂直平分BC

∵tanB＝13，设AD＝xcm，则BD＝3xcm

∴OD＝(5?x)cm 在

Rt

△

BOD

中

，

52?(3x)2?(5?x)2，解得x1?1，x2?0（舍

去）

∴BD＝3 cm，BC＝6 cm。

（2）设AB边上的高为h，由（1）得：AD＝1 cm，AB＝10cm

∵

S?ABC?12BC?AD?12AB?h ∴h?BC?AD310AB?5 探索与创

新：

【问

C题一】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两

O?N点，AB是⊙O的直

于E，BF⊥AEMB径，AE⊥ll于（1）DF。

面三个圆例2图 如图，在下

中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；

（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；

（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。

ABDCO?例3图 ?①

3 名思教育盛泽校区教研中心

?AO?BECHDFl② 问题一图3

?③

分析：这是一道开放性试题，首先要根据直线l与AB的不同位置关系画出不同的图形（如下图），①直线l与AB平行；②直线l与AB相交；③直线l与AB或BA的延长线相交。其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论，结论也是开放的，这也是近几年中考命题的热点。

解（1）如下图所示。

BO?AECHDFl问题一图1 BO?ECHFDlA问题一图2

（2）EC＝FD或ED＝FC （3）以①图为例来证明。过O作OH⊥l于H

∵AE⊥l，BF⊥l，∴AE∥OH∥BF 又∵OA＝OB，∴EH＝HF，再由垂径定理可得CH＝DH

∴EH－CH＝FH－DH，即EC＝FD 【问题二】如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A任作一直线与⊙

OOE1交于M，与⊙2交于N，问什么时候MN最长？为什么？

MPCAQN解析：任作两条过A的线段

DEF、MN，比较MN与EF的大O1OF2小，不好比较，根据垂径定理，

分别过OB1、O2作弦心距，易知

CD＝1问题二图 2EF，PQ＝12MN，比较

PQ与CD的大小即可（PQ＝O1O2）。发现O1O2是直角梯形的斜腰，大于直角腰，如果MN的一半正好是O1O2，则MN最长。

答案：当MN∥O1O2时，MN最长。

跟踪训练：

一、选择题：

1、下列命题中正确的是（ ）

A、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平C分弦；

C、若两段弧的度数相等，则它们是等

弧；

?OD、弦的垂线平分弦所对的弧。

M2、如图，⊙O中，直径CD＝15cm，弦ABABD⊥CD于点M，OM∶MD＝3∶2，则AB选择第2题图 的长是（ ）

3、已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB

＝12 cm，CD＝16 cm， 4

名思教育盛泽校区教研中心

C、A、D三点在一条直线上，CD的延长线交O1 O2的延长线于P，∠P＝300，

则AB和CD的距离是（ ）

A、2cm B、14cm

C、2cm或14cm D、2cm或12cm 4、若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高长为1，则圆的半径长为（ ）

O1O2?23，则CD＝ 。

三、计算或证明题： 31、如图，Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC

A、1 B、

2C、2 D、52

二、填空题：

1、在半径为5cm的⊙O中，有一点P满足OP＝3 cm，则过P的整数弦有 条。

2、如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE＝2，EB＝6，ED＝3，则⊙O的半径为 。 3、等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝1200，BC＝10 cm，则△ABC的外接圆半径为 。 4、圆内一弦与直径相交成300的角，且分直径为1 cm和5 cm两段，则此弦长为 。 5、如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，BD交OC于E，若AC＝4，AB＝5，则BE＝ 。

DAEB?OC第2题图 CDEAO?B第5题图

CADO?1O?2PB第6题图

6、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，

＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。

C?EADB第1题图

2、如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。

CEAGO?BFD第2题图

3、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，且AC＝6，AB＝8，求CE的长。

5

名思教育盛泽校区教研中心

AO?BDCE第3题图

4、如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC于E，CF⊥AB于F，交AD于G，BE＝3，CE＝2，且tan∠OBC＝1，求四边ABDC的面积。

AFG?OBECD第4题图

跟踪训练参考答案

一、选择题：BCCD 二、填空题：

1、4条；2、652；3、1033cm；4、42cm；5、

2133；6、6 三、计算或证明题： 1、AB＝5，AD＝

185； 2、解：连结OC，过点O作OM⊥CD于M，则CM＝MD

∵CD＝16，AB＝8，在Rt△OMC中，因OC＝10 ∴OM＝

OC2?CM2?102?82?6

∵AE⊥CD，BF⊥CD，OM⊥CD，∴AE∥OM∥BF

∴AEAGBFBGOM?OG，OM?OG ∴AE?BFAGOM??BG2OGOG?OG?2

∴AE－BF＝2OM＝12

??3、提示：连结OE，由BE?EC得OE垂直平分BC于F，AB为直径，则∠ACB＝900，BC＝

AB2?AC2?27。∴CF＝7，EC

＝(7)2?12?22

4、解：过点O作OM⊥BC于M，ON⊥AD于N，连结AO

∵BE＝3，CE＝2，∴BC＝5，BM＝

52 又∵tan∠OBC＝1，∴∠OBM＝450 在Rt△OBM中，OB＝

522，∴6 名思教育盛泽校区教研中心

分线的交点，若∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）

在Rt△AON中，AN＝A．100° B．115°

7C．130° D．150°

OA2?AN2?

例3、如图3，以正方形ABCD的AB边为直径2 ∵ON⊥AD，∴AN＝ND，∴AD＝作⊙O，过点C作直线切⊙O于F，交AD7 于E，若△CDE的周长为12，则直角梯形

∴ABCE的周长为（ ）

A. 12 B. 13 C. 11135SABDC?BC?AE?BC?DE?BC?AD?222214 D. 15

例4、如图4，△ABC的外接圆⊙O的半径为1， D、E分别为AB、AC的中点，则sin∠BAC 的值等于线段（ ） A．BC的长 B．DE的长

C．AD的长 D．AE的长

五、【针对性例题分析】 例5、如图5，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC（一）与圆有关位置关系的判定 内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB 于点M，则sin∠例1、如图，是一个五环图案，它由五个圆组成.CBD的值等于（ ） 下排的两个圆的 A.OM的长 B.2OM的

位置关系是（ ） 长 C.CD的长 D.2CD的长.

（A）内含. （B）外切 . （C）相EAAAFB 交. （D）外离.

例2、⊙O1和⊙O2的半径分别为3、r，两圆的FDOD 圆心距d ＝ 8，若⊙O1

OCC B和⊙O2外离，则r满足（ ） BE（图1） （图2） （A）r＞5 （B）0＜r＜8 （C）r ＝

（图3） （图4） （图5） 5 （D）0＜r＜5

【评析】： 【评析】： 主要考查与圆有关位置关系：（1）点与圆；（2）（1）圆中角度计算问题主要考查圆周角定理及直线与圆；（3）圆与圆. 其推论，注意在圆中转化角的基本方法： 判断方法：利用距离与半径的大小关系；也可由角到弧，由弧到角； 通过观察公共点的个数来判断. （2）圆中线段计算问题主要考查垂径定理，注 意通过弦、弦心距、半径或直径所对圆周 （二）与圆有关角度、线段计算 角构造直角三角形,以及解直角三角形等 知识解决问题； 例1、如图1，在⊙O中，弦BE与CD相交于（3）圆与三角函数的结合，主要借助圆将相应

点F，CB、ED的延长线相交于点A，若 的角度、线段加以转化和集中，常借助直∠A＝30°，∠CFE＝70°，则∠CDE的度径所对圆周角，垂直弦于半径构造直角三数为（ ） 角形，从而解决角的三角函数问题，综合A．20° B．40° C．50° 性较强. D．60° （三）面积、弧长计算 例2、如图2，点D是线段AB、BC的垂直平例1、圆锥的底面半径为3cm，母线为9cm，ON＝ME＝

B1 2DC

7 MQPOA 名思教育盛泽校区教研中心

则圆锥的侧面积为（ ） ①已知直线与圆公共点类：连圆心与公共

A．6лcm2 B．9лcm2 点，证明半径与直线垂直； C．12лcm2 D．27лcm2 ②不知直线与圆公共点类：过圆心作直线例2、如图,梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，的垂线，证垂线段等于半径. 以AB为直径的⊙O （2）在切线的证明中，应多注意圆中角的方法：

切CD于E点，交BC于F，若AB＝4cm，半径所对圆周角；同弧所对圆周角与圆心AD＝1cm， 则图中阴 角间的转化；利用平行线、全等三角形等

影部分的面积是 cm2. 知识构造角度的关系； 【评析】： （3）在计算中，一般涉及求具体线段长，线段（1）主要考查学生对圆中弧长公式，面积公式，比值，图形面积，锐角三角函数. 主要考圆锥侧面展开图面积的运用； 查学生的化归思想、方程思想；而问题往（2）一般涉及与圆在关的面积问题时需将阴影往需由半径解决，可结合全等三角形，相部分中的弧转化到其所在的扇形中解决. 似三角形，解直角三角形等知识构造出含（四）切线的证明与计算 半径的直角三角形解决问题；同时要掌握例1、如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB一些基本图形的转化方法. 为直径作⊙O交AC边于点 C（五）圆中的综合证明

例1、盼盼同学在学习正多边形时，D，E是边BC的中点，连接DE.

D （1）求证:直线DE是⊙O的切线； E发现了以下一组有趣的结论：

①如图1，若P是圆内接正三角F （2）连接OC交DE于点F，若OF＝CF，

?上一点，则形ABC的外接圆的BCA求tan∠ACO的值. BOPB?PC?PA；

②如图2，若P是圆内接正四边形

?上一点，则ABCD的外接圆的BC

PB?PD?2PA；

③如图3，若P是圆内接正五边形ABCDE

BC?上一点，的外接圆的BC请问PB?PE与

D DPA有怎样的数量关系，写出结论，并加 OO以证明； ACE ④若P是圆内接正n边形A1A2A3?An的外接ABM

A2A3上一点，圆的?请问PA2?PAn与PA1

又有怎样的数量关系，写出结论，不要

求证明A. DDAA例2、如图，已知△ABC，以边BC为直径的圆 与边AB交于点D，点E为

EEBD的中点，AF

AAAOOBP

BOCPBBOOCPCO为△ABC的角平分线，且AF⊥EC。

（1）求证AC与⊙O相切；

（2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长。

【评析】：

（1）切线的证明作为圆中一个最重要也是最基

本的证明，是中考的传统保留题，从近几年中考来看，切线的证明难度不大.

PBBCP 图1 图2

图3 图4

【评析】：

综合运用圆的相关性质、定理以及全等、相似、图形的变换等知识解决较为复杂的几何问题；将圆与正多边形、动态几何问题结合于

8 名思教育盛泽校区教研中心

在体，重在考查学生综合运用的能力，类比分析能力，以及由特殊到一般的思想方法.

1. 己知：⊙Ｏ１和⊙Ｏ２直径分别是１０和8， 2. Ｏ１Ｏ２＝７，则两圆的位置关系

是： ；

注解：在圆与圆的位置关系中，是半径与圆心距之间的关系，此题给出的是直经。

2.己知⊙Ｏ１和⊙Ｏ２内切，且⊙Ｏ１的半经为6 cm，两圆的圆心距为3 cm，那么⊙Ｏ２的半径长为：

；

注解：内切时，d =R - r ，当不明确O1是大圆或是小圆时，应该考虑两种情况。

3.己知：直角三角形的两直角边分别为3和4cm，求以一条直角边为轴旋转所得图形的表面积。

注解：以一条直角边轴旋不明确，可能是3，也可能是4，因此而出现两种情况。 4．如图，AB是⊙O的一条弦，

OC⊥AB于点C，OA = 5，AB

O= 8，求OC的长。

ACB

5．如图，AB是的直径，BD

A是的弦，延长BD到C，使

CA = AB。BD与CD的大小O有什么关系？为什么？

CDB分析：此例是“直径所对的圆周角是直角”及等腰三角形“三线合一”定理的综合应用。

六、【练习拓展】

3．1 车轮为什么做成圆形

1.⊙O外一点P和⊙O上一点的距离最小3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_________． 2.⊙O的半径为5，圆心O的坐标为O（0，0），点A的坐标为A（4，2）则点A与⊙O的位置关系是（ ）

（A）点A在⊙O内 （B）点A在⊙O上

（C）点A在⊙O外 （D）点A在⊙O内或在⊙O上

3.如图，一根绳子长4m ，一端拴着一只羊，另

一端拴在墙BC边A处的柱子上，请画出羊的活动区域． D C 小羊 A

B

4.如图，已知在同心圆O中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：∠AOC＝∠BOD．

O

A C D B

3．2 圆的对称性（一）

1.若⊙O的直径为10厘米，弦AB的弦心距为3

厘米，则弦AB的长为__________．

2.已知⊙O的半径为8cm，OP=5cm，则在过点P的所有弦中，最短的弦长为_________ ，最长的弦长为___________． 3.已知⊙O的半径为5cm，则垂直平分半径的弦长为__________．

4.已知圆的两弦AB、CD的长分别是18和24，且AB∥CD，又两弦之间的距离为3，则圆的半径长是（ ）

（A）12 （B）15 （C）12或15 （D）21

5.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，求

9 名思教育盛泽校区教研中心

水的最大深度CD．

3．2 圆的对称性（二）

1.在⊙O中，60°的圆心角所对的弦长为5cm，则这个圆的半径为_________．

2.若⊙O的弦AB的长为8cm，O到AB的距离为43cm，弦AB所对的圆心角为__________． 3.下列结论中正确的是（ ）

（A）长度相等的两条弧相等 （B）相等的圆心角所对的弧相等 （C）圆是轴对称图形 （D）平分弦的直径垂直于弦

4.如图，三点A、B、C在⊙O上． B （1）已知：∠ABC=∠ACB， A 求证：AB=AC；

O C

（2）已知：AB=AC，求证：∠ABC

=∠ACB．

3．3 圆周角和圆心角的关系（一）

1.如图，点A、B、C在⊙O上．（1）若∠AOB=70°，则∠ACB=_____°； （2）若∠ACB=40°，则∠AOB=________°． 2.如图，⊙O 的直径AB和弦CD的延长线相交于点P，∠AOC=64°，∠BOD=16°， 则∠APC的度数为______°． 3.如图，⊙O的直径AD=6，∠BAC=30°，则弦BC的长为 （ ） （A）3 （B）33

（C）6 （D）23 A C D B O A O B P C （第1题） （第2题） （第3题） 4.在同圆或等圆中，同一弦所对的两个圆（ ） （A）相等 （B）互补 （C）互余 （D）相等或互补 3．3 圆周角和圆心角的关系（二）

1.如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，?AC所

对的圆心角是100°，弧AB所对的圆心角是50°．则 ∠AEC=_______． D B

E O A C

(第1题)

2.下列命题中，①顶点在圆上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤同弧或等弧所对的圆周角相等．正确的个数为 （ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

3．4 确定圆的条件

1.____________________的三个点确定一个圆．

2.锐角三角形的外心位于三角形的_______，直角三角形的外心在_________，钝角三角形的外心位于三角形的__________．

3.等腰直角三角形外接圆半径为3，则这个三角形三边的长为_____________________． 4.直角三角形两条直角边长为6和8，则外接圆面积为________． 5.下列四个命题中，①直径是弦；②经过三点可以作圆；③三角形的外心到各顶点的距离都相等；④钝角三角形的外心在三角形的外部.正确的有 （ ） （A）个 （B）2个 （C）3个

（D）4个 6. 如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙D，⊙O的弦AB与⊙D相交于点C，已知AB=20，求AC的长． A O D

B C

3．5 直线和圆的位置关系（一） 1.在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，

以A为圆心，4cm为半径作圆，则：（1）直线BC与⊙A的位置关系是_________；（2）直线AC与⊙A的位置关系是_________．（3）以C为圆心，半径为________的圆与直线AB相切． 10

名思教育盛泽校区教研中心

2.半径等于3的⊙P与x轴相切，且OP与x轴

正半轴的夹角为30°，则点P的坐标为_____________．

3.如果直线l与⊙O有公共点，那么直线l与⊙O的位置关系是 （ ）

（A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）相切或相交

3．5 直线和圆的位置关系（二）

1.如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，D、E、F分别是切点，∠ACB=90°，∠BOC=115°，则∠A=______，∠ABC=_______．

2.如图，⊙I是Rt△ABC的内切圆，D、E、F分别是切点，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的半径IE的长为_______．

A A

D D E O E I C F B C F B （第1第2题

3.如图，直线l1、l2、 l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路距离相等，则可选择的地址有 （ ）

（A）一处 （B）两处 （C）三处 （D）四处

l1

l2 l3

（第3题）

4.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的

切线，切点为B，OC C 平行于弦AD．求证： D DC是⊙O的切线． A B

O

3．6 圆和圆的位置关系

1.课本上的奥运五环图中，红环与绿环的位置关系是______，红环与黑环的位置关系是______．

2.已知两圆的半径分别是2，3，圆心距是d，若

两圆有公共点，则下列结论正确的是（ ）

（A）d＝1 （B）d＝5 （C）1≤d≤5 （D）1＜d＜5 3.半径分别为1和2的两个圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3的圆的个数有（ ）

（A）1个 （B）3个 （C）5个 （D）6个

4.如图，⊙O1和⊙O内切于点A，AB为⊙O的

直径，点O1在OA上，⊙O的弦BC切⊙O1于点D，两圆的半径R=4，r=3． （1）求BD的长

（2）求CD的长 C D

A O1 O B

3．7 弧长及扇形的面积

1.如图，当半径为30cm的转动轮转过120?的角时，传送带上的物体A平移的距离为________cm．

2.水平放置的一个水管的截面 半径为10厘米，其中有水部分 的水面宽103厘米．求截面上

有水部分的面积．

3.如图，AB是半⊙O的直径，C、D是半圆的三

等分点，半圆的半径为R．

（1）CD与AB平行吗？为什么？ （2）求阴影部分的面积．

C D

A O B O

4.如图，⊙O1和⊙2外切于点C，并且分别与

⊙O内切于A、B，若⊙O的半径为3，⊙O1和⊙O2的半径都为1．求阴影部分的面积和周界长． A

O1 C B O11 O 2 ·

名思教育盛泽校区教研中心

3．8圆锥的侧面积

1.粮仓的顶部是一个底面直径为4m，母线长为

3m的圆锥，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为 （ ） （A）6m2 （B）6πm2 （C）12m2 （D）12πm2

2.用铁皮做一个圆锥形的烟囱帽（图中上部），它的底面直径是80cm，高是30cm，不计

加工余料，求需用铁皮的面积．

3.如图，在半径为40米的圆形广场中央点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面（经过圆锥的轴的截面）ASB的顶角为60°，求光源离地面的高度SO（精确到0.1米）． S

A O B

4.如图，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若滚珠轴承的内外半径分别为6cm和8cm，那么该轴承内最多能放________颗半径为1cm的滚珠． 5.如图，在正方形纸板上剪下一个扇形和圆，围成一个圆锥模

型，设围成的圆锥底面半径为r，母线长为R，

则r与R之间 的关系为 （ ）

（A）R?2r （B）4R?9r 圆锥 （C）R?3r （D）R?4r A

O1 C B O O2 ·

6.如图，A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为A（1，0），B（3，0），C（0，1）．求△ABC绕y轴旋转一周所得几何体的表面积．

y | C | | | | | | | | | | O A B x |

7.如图，⊙P与扇形OAB的半径OA、OB分别

相切于点C、D，与弧AB相切于点E，已知OA=15cm，∠AOB=60°，求图中阴影部分的面积． A C E P O D B

8.如图，一根木棒（AB）的长为2米，斜靠在与地面（OM）垂直的墙壁（ON）上，与地面的倾角为60°，若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，

于是木棒的中点

N

P也随之运动，

A 已知A端下滑 A′ ·P

到A′时，AA′ ·P ′

=3?2．求中点

O B B′ M P随之运动的路线有多长．

七、【习题归类强化训练】 圆的基本性质

一、点与圆的位置关系

1. 决定圆的大小的是圆_____;决定圆位置的

是_____.

2. 在Rt△ABC中∠C=90O

,AC=4,OC=3,E、F分别为AO、AC的中点,以O为圆心、OC为半

径作圆,点E在⊙O的圆_____,点F在⊙O的

12 名思教育盛泽校区教研中心

O

圆_____. 知∠EAD=114，求∠CAD在度数。 3. 如图;AB、CD是⊙O的两条直

径,AE∥CD,BE与CD相交于P点, 则OP∶AE=____. 13. 已知⊙ O的直径为16厘米，点E是⊙O内任

4. 经过A、B两点的圆的圆心在________,这样

的圆有______个.

5. 如图;AB是直径,AO=2.5,AC=1.CD⊥AB,则

CD=_______.

6. 一已知点到圆周上的点的最大距离为m ,最

小距离为n .则此圆的半径_____. 7. 有个长、宽分别为4和3的矩形ABCD,现以

点A为圆心,若B、C、D至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则⊙A半径r 的范围是_________.

8. ⊙O的半径为15厘米,点O到直线l的距离

OH=9厘米,P,Q,R为l上的三个点,PH=9厘米,QH=12厘米,RH=15厘米,则P,Q,R与⊙O的位置关系分别 为 .

9. 若点A(a,-27)在以点B(-35,-27)为圆

心,37为半径的圆上,a= .

10. 在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,以点A为圆心作

圆,若B,C,D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则⊙A的半径R的取值范围是

11. 在直角坐标系中,⊙O的半径为5厘米,圆心

O的坐标为(-1,-4),点P(3,-1)与圆O的位置关系是 .

12. 如图⊙O是是等腰三角形ABC的外接

圆,AB=AC,D是弧AC的中点，已

意一点，（1）作出过点E的最短的弦；（2）若OE=4厘米，则最短弦在长度是多少？

14. 如图7-4，已知在△ABC中，∠CAB=900

，AB=3

厘米，AC=4厘米，以点A为圆心、AC长为半径画弧交CB的延长线于点D.求CD的长。

15. 试问:任意四边形的四个内角的平分线相交

的四个点在同一个圆上吗？又问：任意四边形各外角在平分线所相交在四边形在同一圆上吗？为什么？

16. 如图7-6，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于

点P，（1）已知CD=8厘米，AP:PB=1:4,求⊙O的半径；（2）如果弦AE交CD于点F。

求证：AC2

=AF?AE.

17. 已知四边形ABCD是菱形，设点E、F、G、H

是各边的中点，试判断点E、F、G、H是否在同一个圆上，为什么？又自AC、BD的交点O向菱形各边作垂线，垂足分别为M、N、P、Q点，问:这四点在同一个圆上吗?为什么？

18. ⊙O中有n条等弦A1B1、A2B2、???AnBn ,它们

的中点分别是P1、P2、???Pn,试问：P1、P2、???Pn这n个点在同一个

圆上吗？请证明你的判断。又若⊙O上有一点A，自点A引n条弦A1B1、A2B2、???AnBn,,若它们的

13 名思教育盛泽校区教研中心

中点分别为Q1、Q2、???Qn，试问：Q1、Q2、???Qn，这n 个点在同一圆上吗？请证明你的判断。 二、垂径定理

19. ⊙o中等于1200

劣弧所对的弦是123厘米,

则⊙O的半径是 厘米.

20.过⊙o上一点A,作弦AB、AC、分别等于该圆的半径R，连结BC，则点O到BC的距离=_______，BC=_______。

21.如图7-7，在⊙O中，弦AB=2a，点C是弧AB的中点，CD⊥AB,CD=b,则⊙O的半径R=______.

22.如图7-8，ABCD是⊙O1的内接矩形，边AB平行y轴，且AB∶BC=3∶4，已知⊙O1 的半径为5，圆心O1的坐标是（10，10），矩形四个顶点A、B、C、D的坐标是A______;B______;C______;D_______.

23.在⊙O中，弦AB=40厘米，CD=48厘米，且AB∥CD,AB与CD距离是22厘米，则圆的半径为________厘米

24.四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥BC,对角线AC、BD相交于点E.求证：OE平分∠BEC. 25.如图7-9，在⊙O中，已待AC=BD.求证：（1）OC=OD; （2）AE??BF?

26. ⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD∥O1O2 ,分别交两圆于点C、D.求证:CD= 2O1O2

27.如图7-10，⊙O1、⊙O2是两个等圆，点P是O1O2的中点，过点P的直线交⊙O1、⊙O2于点A、B、C、D。求证：AB=CD.

28.如图7-11，⊙O的半径为5，P是圆外一点，PO=8，∠OPA=30O,求AB、PB的长。

29.如图7-12，圆管内，原有积水平面宽CD=10厘米，水深GF=1厘米，后水面上升1厘米（即EG=1厘米），问：些时水面宽AB为多少?

30.在⊙O的弦AB上取AC=BD，过点C、D分别

作AB的垂线CE、DF交圆于点E、F，并使E、F在AB的同旁。求证：CE=DF.

31.如图7-13，在⊙O的直径MN上任取一点P，过点P作弦AC、BD，使∠APN=∠BPN.求证：PA=PB.

14 名思教育盛泽校区教研中心

32.AB、CD是⊙O的两条相交于点P的弦，且AB=CD，又点E、F分别是AB、CD的中点，求证:△PEF是等腰三角形。

33.如图7-14，AB是半圆O的直径，CD是弦，AE⊥CD,BF⊥CD,点E、F是垂足，若BF交半圆于点G，求证：（1）EC=FD;(2)AC??DG?

34.如图7-15，在△ABC中，AB=AC，以点A为圆心、小于AB长的线段为半径作圆交BC于D、E两点（但半径必须大于BC边上的高）。求证:BD=EC.

35.如图7-16，已知在⊙O中,AB??CD?,BA、DC延长后相交于点E，求证：（1）OE平分∠BED;(2)EA=EC.

36.如图7-17，AB是⊙O的直径，割线l 交

⊙O于点M和N，AC⊥l ,且交⊙O于点E，BD⊥l ,点C、D是垂足。（1）求证：OC=OD; (2)若AB=10厘米，AC=7厘米，BD=1厘米，求OC的长。

37.点P是⊙O外一点，PAB、PCD分别交⊙O于点A、B和点C、D,求证:(1)若AB=CD,则PA=PC；（2）若PA=PC，则AB=CD.

38.如图7-18，AB为⊙O的弦，取AG=BH,∠DGB=∠FHA,求证：CD=EF.

39.如图7-19，⊙O半径为10厘米，G是直径AB上一点，弦CD经过G点，CD=16厘米，过点A和点B分别向CD引垂线段AE和BF.问：AE-BF是多少？

40.AB为⊙O的弦，C、D在AB上，且AC=CD=DB,OC与OD的延长线分别交⊙O于点E、F. 求证：（1）∠AOC=∠BOF; (2) ∠COD>∠AOC; (3)AE??BF??EF?

41.如图7-20，点B、C三等分半圆直径EF，点A在这个半圆上。求证：AB+AC≤

103EF. 15

名思教育盛泽校区教研中心

42.如图7-21，已知⊙O内两条弦AB、DC的延长相交于点P,且∠P=90O

.求证：S△OAD=S△OBC .

三、圆心角、圆周角 43.如图7-22，设⊙O的半径的为R,且AB=AC=R,则∠BAC=_______.

44.如图7-23，AB为⊙O的弦，∠OAB=75O

,则此弦所对的优弧是圆周的______。

45.如图7-24，（1）∠?=_______；（2）∠?=_______。

46.如图7-25，在△ABC中，∠C是直角，∠A=32O18’ ，以点C为圆心、BC为半径作

圆，交AB于点D,交AC于点E,则BD?的度数是______。

47.如图7-26，点O是△ABC的外心，已知

∠ACB=100O

,则劣弧AB?所对的∠AOB=______度。

48.如图7-27，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E, ∠ACD=60O , ∠ADC=50O,则∠AEC=______度。

49.如图7-28，以等腰△ABC的边AB为直径的半圆，分别交AC、BC于点D、E,若AB=10,

∠OAE=30O

,则DE=______。

50.在锐角△ABC中，∠A=50O ,若点O为外心，则∠BOC=_____;若点I为内心，则∠BIC=______；若点H为垂心，则

16 名思教育盛泽校区教研中心

∠BHC=________.

51.若△ABC内接于⊙O，∠A=nO

,则∠BOC=_______.

52.如图7-29，已知AB和CD是⊙O相交的两条直径，连AD、CB，那么?和?的关系是（ ） (A)?=? (B) ?>

12? (C) ?<

12? (D) ?=2?

53.如图7-30，在⊙O中，弦AC、BD交于点E，

且

AB??BC??CD?，若∠BEC=130O,则∠ACD

的度数为（ ） (A) 15O (B) 30O (C)80O (D)105O

54.如图7-31，AB为半圆的直径，AD⊥AB,点C为半圆上一点，CD⊥AD,若CD=2,AD=3,求AB的长。

55.如图7-32，AO⊥BO,AO交⊙O于点D，AB交⊙O于点C, ∠A=27O ,试用多种方法求DC?、

BC?的度数。

56.求证：如果AB和CD为⊙O内互相垂直的两条弦，那么∠AOC和∠BOD互补。

57.如图7-33，设AB是⊙O的任意直径，取AO上一点C,若以点C为圆心，OC为半径的圆与⊙O相交于点D,DC的延长线与⊙O相交于点E,求证：BE??3AD?.

58.如图7-34，AB为⊙O的直径，OC⊥AB,过点

C任引弦CD、CE分别交AB于点F、G。求证：△CED∽△CFG.

59.如图7-35，设点P是⊙O的直径AB上的一点，在AB的同侧由点P到圆上作两条线段PQ、PR，若∠APQ=∠BPR.求证：△APQ∽△RPB.

60.如图7-36，在△ABC的外接圆中，若∠B、

∠C所对弧的中点分别为点P、Q.求证：直线PQ与AB、AC相交成等腰△ADE;若△ADE为等边三角形，求证：弧BC?的长等于该圆

17 名思教育盛泽校区教研中心

周长的三分之一。

61.如图7-37，AB是⊙O的直径，CD⊥AB,AD、DB是方程x2-5x+4=0的两个根，求CD的长。

62.已知A、B、C为圆上三点，

AB?∶BC?∶CA?=3∶2∶1,BC=5厘米，求弦AB、AC的长。

63.已知AB是⊙O的直径，C为半圆上一点，连CA、CB,M为AB上的点，且MB=3,过点M作MN⊥AB,交BC于点N,MN=3,BC=73,求⊙O的半径。

64.如图7-38，AB是⊙O的直径，D是AB?的中点，CD交AB于点E，（！）求证：AD2

=CD?DE; (2)若AC=6,BC=3,求BE的长。

65.如图7-39，△ABC的高AD、BE交于点M，延

长AD，交△ABC外接圆于点G,求证：D为GM的中点。

66.如图7-40，以AB为直径的半圆上任取两点M和C,过点M作MN⊥AB,交AC延长线于点E,交BC于点F.求证：MN是NF和NE的比例中项。

67.如图7-41，△ABC为圆内接三角形，AP为直

径，H为垂心，求证：∠BHC= ∠BPC.

68. △ABC内接于⊙O，AH⊥BC,垂足为H,AD平分∠BAC，D在圆上，求证：AD平分∠HAO.

69.AB、AC、AD是同一圆O的三条弦，且AC平

分∠BAD,自点C向AB、AD作垂线，垂足分别为E、F.求证：DF=BE.

70.已知AB是⊙O的直径，OC是垂直于AB的半径，过AC?上一点P作弦PE,分别交OC和

BC?于点D、E,若PO=PD,求证：

∠AOP=

13∠BOE. 71.C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE,使CD=CO.求证：BE??3AD?.

72.已知AB是⊙O的直径，P是OA上的一点，C是⊙O上一点，求证：PA

73.如图7-42，在⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条直径，过点C任作两条弦CF、CE,交AB于点H、G，求证：

CFEF?CGGH. 18 名思教育盛泽校区教研中心

74.如图7-43，在△ABC中，∠A=90O

,AD⊥BC,BE平分∠ABC,由A、D、E三点确定的圆，交BE于点M,求证：BM=MD=FM.

75.如图7-44，已知⊙O与⊙O1相交于点A、B，点P是⊙O上的一点，引割线PAC、PBD，交⊙O1 于点C、D，连结CD。（1）作PE⊥CD,求证：PE必过⊙O的圆心O；（2）连结PO，求证：PO必垂直于CD.

76.如图7-45，两圆相交于点A、B，过点A引割线ACD，交一圆于点C,另一圆于点D,又点G为CD的中点，直线GB义两圆于点E、F.求证：四边形EDFC是平行四边形。

77.如图7-46，设AB是⊙O上的两定点，且不

是直径的两端点，若过点A的任意弦AC与过A、B、O三点的圆相交于点P.求证：PB=PC.

78.设

为90O的弧，点B、C将三等分，

连AD与半径OB、OC分别交于点E、F.求证：AE=DF=BC

79.证明下列各题：

(1)已知△ABC内接于⊙O，AD⊥BD于点D，AE是直径，求证：AB?AC=AD?AE;

(2)已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线

交BC于点D,交⊙O于点E,求证：AB?AC=AD?AE;

(3)已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点A的

任一弦AE交BC于点D,求证： AB?AC=AD?AE

80.设锐角△ABC的各顶点向对边作垂线AD、BE、CF，垂足分别为点D、E、F,并延长AD、BE、CF各△ABC的外接圆分别交于点P、Q、R.求证：△ABC的垂心是△PQR的内心。 81.在△ABC中，AB=AC,过A点直线与△ABC外接圆交于点E,与BC的延长线交于点D。求证：AD2-AC2=AD?ED

82.如图7-47，已知⊙O的直径AB垂直弦CD,垂足为G,F为CD延长线上的一点，AF交⊙O于点E。求证：AC2=AE?AF

83.如图7-48，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB,D为

上任一点，E为BD弦上一点，且AD=BE.

求证：△CDE为等腰直角三角形。

84.如图7-49，等边△ABC的外接圆

上任一

点P，CP的延长和AB的延长线交于点D，求

证：（1）∠D=∠CBP; (2)AC2=CP?CD

19 名思教育盛泽校区教研中心

85. ⊙O的直径BE与弦AC互相垂直，垂足为点F,延长AB到点D,使BD=AB,已知BE=20厘米，AB=11厘米，求CD的长。

86.如图7-50，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD,垂足为点E，

∶

=3∶1，

DF交AC于点G,且

AF?AB=AG?AE,BE=2,ED=3,(1)求证：△AFG≌△DFB;(2)求：S四边形ABCD的值；（3）求sin∠ADC的值

87.点P为正方形ABCD的外接圆上的任意一

点，连结PA、PB、PC.求证：

PA?PCPB的值为常数。

88.如图7-51，六边形AGBHCK内接于⊙O，⊙I内切于△ABC，点D、E、F为⊙I与△ABC各边相切的切点，若∠EDF=65O, ∠DEF=60O,求∠G、∠H、∠K的度数。

89.如图7-52，△ABC内接于⊙O，∠BAD=∠CAD,DE∥AB,DE交AC于点P。求证：（1）OD垂直平分BC; (2)AC=DE; (3)PO平分∠APD.

90.AB是⊙O的直径，CD是此圆内长度一定的动

弦，自点A、B分别向CD所在的直线作垂线AH、BK、H、K为垂足。（1）若点C、D在AB的同旁，问：AH + BK的值会变化吗？为什么？（2）若C、D在AB的两侧，问：AH?BK的值也会变化吗？并证明你的结论。

91.已知以AB为直径的半圆上有C、D两点，∠DCB=120O, ∠ADC=105O,CD=1.试求四边形ABCD的面积。

92.已知AB、CD为圆O的两条互相垂直的直径，P为半圆上的一点，求证： S12

四边形ADPC=

2AP四、圆的内接四边形

93.圆上四点，A、B、C、D分圆周为四段弧，

:

:

:

=1:2:3:4,则圆内接四边形

的最大内角为______。

94.在锐角△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H，在该图中，四点共圆共有_______组。 95.如图7-53，四边形ABCD是正方形，点P是AC上的任一点，过点P作EF∥BC,交AB、CD于点E、F,过点P作GH∥AB,交BC、AD于点G、H.在该图中，四点共圆共有_______组。

96.如图7-54，在梯形ABCD中，AB∥DC,AD=DC=BC, ∠ADC=138O,E是梯形外一点，若点E在梯形

20

名思教育盛泽校区教研中心

ABCD的外接圆上，则∠AEB=________

97.如图7-55，在梯形ABCD中，AD∥BC,过B、C两点作一圆，AB、CD的延长线交该圆于点E、F。求证：A、D、E、F四点共圆。

98.在△ABC中，∠A=60O，BD、CE是∠ABC、∠ACB的平分线，它们相交于点I。求证：A、E、I、D四点共圆。

99.在梯形ABCD中，DC∥AB,过DC作圆，交BC于点E,交AD于点F，求证：A、B、E、F四点共圆。

100.如图7-56，在△ABC中，AD=AE,BE与CD交于点P,DP=EP,求证：B、C、E、D四点共圆。

101.从圆内接四边形ABCD的顶点C，作对角线BD的平行线，交AD的延长线于点E，求证：DE?AB=BC?CD.

102.证明：钝角三角形三边中点与夹钝角一边上的高的垂足共圆。

103.如图7-57，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC, ∠1=∠2=∠3,CE交AB于点G,连GF.求证：（1）G、F、C、B四点共圆；（2）GF∥BE.

104.如图7-58，在△ABC中，∠C=90O,BD是∠CBA的平分线，BE为△ABD外接圆的直径，求证：

CDBDDA?BE.

105.在△ABC中，AD⊥BC,点O在AD上，以点O

为圆心、OA为半径的圆交AB、AC于点F、E.求证：F、B、C、E四点共圆。

106.在四边形ABCD中，AC⊥BD,AC与BD相交于O,OM⊥AB,ON⊥BC,OP⊥DC,OQ⊥AD 求证：M、N、P、Q四点共圆。

107.如图7-59，在ABCD中，E是对角线BD上的一点，EC⊥BC,EF⊥AB,又FG交DC的延长线于点H.求证：E、G、H、D四点在同一个圆上。

108.如图7-60，已知△ABC，AB、AC的垂直平分线交AC、AB的延长线于点F、E。 求证：E、F、C、B四点共圆。

21 名思教育盛泽校区教研中心

109.如图7-61，在⊙O中，AB∥CD,点P是AB的中点，CP的延长线交⊙O于点F，又点E为

上任上点，连EF交AB于点G.求证：P、

G、E、D四点共圆。

110.如图7-62，在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC,BM=MC,过M、C任作一圆，与AC交于点E，BE与圆交于F点，求证：AF⊥BE.

111.如图7－63，在ABCD的对角线上，任取

一点P，过点P作AB、CD的公垂线EG，又作AD、BC的公垂线FM。求证：EF//GM.

112.如图7－64，P△ABC外接圆一任意一点，点P到△ABC三边的垂足分别为D、E、F三点成一直线。

113．如图7-65，在ABCD中，过D、B两点作一圆，交平行四边形四条边(或它们的延长线)于点E、F、G、H．求证：EF//GH.

114．如图7-66，四边形ABC0是⊙O的内接四

边形，DE⊥AC，AF⊥BD，点E、F是垂足．求证：EF//BC.

115．如图7-67，AB为半圆的直径，弦AC、BD相交于点H，HP⊥AB.求证：∠1＝∠2．

116．在锐角△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H．求证：点H是△DEF的内心。 117．如图7－68，四边形ABCD是正方形，点E为BC上的任一点，AE⊥EF，EF交∠BCD的外角平分线于点F．求证：EA=EF.

118．在△ABC中，∠BAC＝90O，又四边形BCDE是正方形，它的中心为点O，连结OA．求证：OA平分∠BAC．

119．四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，点M是月BC的中点．求证：OM＝12AD．

22 名思教育盛泽校区教研中心

120．圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P， 求证：(1)PB?AC＝PC?BD；

(2)点P到AD的距离与点P到BC的距离之比等于AD:BC.

121.如图7-69，已知AB为半圆O的直径，C、D

为半圆上的两点，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F,DG⊥OC于点G。求证：CE=GF.

122. ⊙O中弦AB//CD，M为CD中点，BM延长

相交⊙O于点E.求证：A、E、M、O四点共圆。

123.四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线相

交于点E，BA、CD的延长线相交于点F, ∠E、∠F的平分线交AB、CD、BC、AD于点G、M、H、N,连结GH、HM、MN、NG.求证:四边形GHMN是菱形。

124.如图7－70，AB是⊙O的直径，弦BD、CA

的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F。求证：（1）A、D、E、F四点共圆；（2）AB2=BE?BD-AE?AC.

125.四边形ABCD内接于圆O,AB=4,CD=2,且∠A

＝90O, ∠B=60O.求：（1）AD及BC的长；（2）四边形ABCD的面积。

126.如图7-71，△ABC内接于圆O，AB=AC,

∠A=30O。圆O的半径为10厘米，又弦KN//BC,交AB、AC于点L、M，且KL=LM=MN.求弦KN的长。

直线和圆的位置关系

五、直线和圆的位置关系：

127.在直角△ABO中，∠AOB=90O，OC⊥AB,垂足

为点C,已知OA＝43，OB=26,那么以点O为圆心、4为半径的圆与AB这条直线的位置关系是______.

128.在Rt△ABC中，∠C=90O

,AC=5,AB=13. (1)以点A为圆心、4为半径的圆A与直线BC的位置关系是_____; (2)以点B为圆心、以AB的长为半径的圆B与直线AC的位置关系是_____;

(3)以点C为圆心，当半径为______时，圆C与直线AB相切。

129.⊙O的半径是6，⊙O的一条弦AB长为

63，以3为半径的同心圆，与AB的位置关系是_______.

130.⊙O的直径是8，直线l 和⊙O相交，圆心

O到直线l的距离是d，则d应满足________. 131.⊙O的半径为r，⊙O的一条弦AB长也等于

r，则以O为圆心、

32r为半径的圆与AB的位置关系是_________.

132.如图7－72，在△ABC中，∠C=90O, ∠A=30O

,点O为AB上的一点，BO=m, ⊙O

的半径r为

12，当m在什么范围内取值时，BC与⊙O相离？相切？相交？

23 名思教育盛泽校区教研中心

133.已知∠BAC＝30O，点D是AC边上的一点，

AD=5,则以点D为圆心，且与射线AB相交两点的圆半径R的取值范围怎样？

134.在△ABC中，AB=4厘米，AC=3厘米，∠BAC

＝60O，AD为∠BAC的平分线，试问：以点D为圆心、R为半径的圆，当R满足什么条件时，⊙D与AB相交？相切？相离？此时⊙D与边AC又有怎样的位置关系？

135.已知⊙O外一点P，若⊙O的半径为R，

PO=2R，又过点P作一射线PA，且∠APO=30O，则PA与⊙O的位置关系怎样？为什么？ 136.已知某圆的半径等于5厘米，圆心到三条

直线的距离分别是3厘米、5厘米和7厘米，那么这三条直线与该圆的交点一共有多少个？为什么？ 六、圆的切线

137.如图7－73，在⊙O中，AO为半径，AB为

弦，BC为切线，且OA＝AB=BC,则弧BD的度数为_____；弧DE的度数为_______.

138.如图7－74，PA、PB切⊙O于点A、

B,BD⊥AP,BD交弧AB于点C, ∠CAD=25O ,则∠P的度数为_______.

139.如图7－75，AB为⊙O的直径，∠PAB=45O

,

∠ABC=75O,TC为⊙O的切线，则∠TCP=_____,弧AP∶弧PC=_______.

140.如图7-76，直线MN切⊙O于点T，AB//MN,

弧AT=2弧AB，则∠MTB=_______, ∠ATB=________.

141.如图7-77，在Rt△ABC中，∠C＝

90O ,AC=3,BC=5,以点A为圆心、1为半径作⊙A，又BD切⊙A于点D，则切线BD的长是_______.

142.如图7－78，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、

B、C,若PO=13厘米，⊙O的半径r=5厘米，则△PDE周长为______;若∠APB=50O,则∠DOE=_____.

143.如图7－79，直线AB切⊙O于点C，DE是

⊙O的直径，EF⊥AB,垂足为F，DC的延长

线与EG的延长线交于点G，若∠G＝56O

,则∠E＝______.

144. 在△ABC中，∠C＝90O，半圆直径MN在AB

上，半圆分别与AC切于点D，与BC切于点E,已知AC＝12厘米，BC=16厘米，则半圆的直径MN＝_____

145.如图7－80，在⊙O中，过弦AB的端点A

24 名思教育盛泽校区教研中心

和B分别作⊙O切线AP和BQ,在弧AB上取一点M,作MC//AP,交AB于点C,MD//BQ,交AB于点D,若AC=4厘米，BD=5厘米，则MC＝________.

146.如图7－81，⊙O的直径等于8，OA⊥OB,OC

是AB边上的高，OA=45,OB=25. 求证：AB与⊙O相切。

147.在△ABC中，AD是底边BC上的高，且等于

BC的一半，求证：以中位线EF为直径作半圆，必与BC相同。

148.已知A是⊙O外的一点，OA交⊙O于点C，

过⊙O上一点P作弦PE⊥OA,垂足为E，且∠EPC=∠CPA.求证：PA是⊙O的切线。 149.已知AB是⊙O的弦，BF与⊙O相切于点B，

OE⊥AB,E是垂足，延长OE交FB的延长线于M点，连结AM。求证：MA是⊙O的切线。 150.圆O1的半径为4厘米，圆O2的半径为3厘

米，这两个圆相交于A、B两点，且圆心距为5厘米。求证：过A点与圆O1相切的直线必经过O2点。

151.如图7－82，在Rt△ABC中，∠ACB＝90O，

AC＝BC，点D是三角形内一点，且∠ADC＝135O

.求证:AB是△ADC外接圆的切线。

152.PA切半圆于点A，割线PBC过圆心O,AD⊥BC,

垂足为点D.求证：

OBCD?OPCP .

153. 在△ABC中，AB=28,BC=26,CA=30,半圆O

切AC、BC于点D、E,点O在AB上。求半圆的半径r.

154.如图7－83，DA⊥AB,AB是半圆的直径，E

是AD的中点，BD交半圆于点C。若

CE=

3213,BC=4,求OE的长。

155.AB是半圆O的直径，点C是AB延长线上一

点，CD切半圆于点D，DE⊥AB,点E是垂足。

已知BE=

145AB,AE=5AB,CD=2,求BC的长。 156.如图7－84，过△ABC的两顶点B、C的圆

与AB、AC分别交于点M、N,又EF切△ABC的外接圆于点A。求证：EF//MN.

25

名思教育盛泽校区教研中心

157.如图7－85，⊙O和⊙O1相交于点A、B两点，

且∠ABC＝∠ABD，AB2=BC?BD.求证：AC是⊙O的切线。

158.如图7－86，在等腰直角△ABC中，∠ABC

＝90O，AB＝BC,沿∠C的平分线CF对称，使点B落在AC边上的E点。求证：以EF为直径的圆必与AC相切于点E.

159.如图7－87，在Rt△AOB中，

∠AOB=90O,AO=BO,点D在AB上，且BD=BO,又点M是AB的中点，以点O为圆心，OM为半径作⊙O，交OA于点E.求证：AB和DE都是⊙O的切线。

160.如图7－88，△ABC内接于⊙O，点P为弧

BC的中点，AP交BC于点D,EF切⊙O于点A,BE//PA1交EF于点E,连结ED。求证：∠ABC=∠AED.

161.如图7－89，在△ABC中∠A的内、外角平

分线AE、AF分别交直线BC及延长于点E、F，又过点A作△ABC的外接圆O的切线，交BC于点D.求证：DF=DE.

162.PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，

OP交AB于点D,且AC＝4，PD=3.求BC的长。 163.如图7－90，△AOB是直角三角形，

∠AOB=90O,以点O为圆心作圆，切斜边AB于点C，又AD、BE是⊙O的切线，切⊙O于点D、E。求证：D、O、E三点在一条直线上。

164.如图7－91，AB是⊙O的直径，C是圆上一

点，过C点的切线与过A、B两点的切线分别交于E、F两点，AF、BE相交于P点。求证：CP//AE.

165.如图7－92，AB是⊙O的直径，BP切⊙O于

点B，⊙O的弦AC平行于OP。(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)如果切线PC和BA的延长线相交于点D，且DA等于⊙O的半径，

26 名思教育盛泽校区教研中心

求证：

PBDP?ACOP.

166.如图7－93，AB是⊙O的直径，AB=AC,DE⊥AC,

连BE交⊙O于点F。求证：(1)DE为⊙O的切线；(2)AE?EC=BE?EF.

167.如图7－94，AT切⊙O于点T，CB为⊙O直

径，∠BCT=30O,CT=3，求BC、AC、S△ABT .

168.如图7－95，已知在△ABC中，AB＝AC，以

AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E,连结CE，过点D作⊙O的切线交AB于点

M.求证：(1)DM//CE; (2) DC2

=AC?BM.

169.如图7－96，⊙O的半径为5，OP?10,PM

为⊙O的切线，切点为M。求(1)切点M的

坐标；（2）MA的长。

170.O是正方形ABCD一边BC的中点，AP与以

点O为圆心、OB为半径的半圆切于T点，求AT∶TP的值。

171.在△ABC中，∠C＝90O，⊙O分别切AC、BC

于点M、N,圆心O在AB上，且AO＝15厘米，BO=20厘米，求⊙O的面积。

172.如图7－97，△ABC内接于⊙O，AB=AC,过

点B作⊙O的切线交AC的延长于点D，又DE⊥AB于点E。求证：CD=2BE.

173.如图7－98，AB是⊙O的直径，点C是BA

延长线上的一点，CD切⊙O于点D，∠BCD的平分线交BD于点E，又CA＝1，CD是⊙O

半径的3倍，求DE和EB的长。

174.如图7－99，CD切⊙O于点D，CA是过圆心

O的割线，过点B作⊙O的切线交CD于点

E,DE=

12EC.求证：CA=3CD.

175.如图7-100，△ABC是⊙O的内接三角形，

27 名思教育盛泽校区教研中心

AD是∠A的平分线，AD的延长线交⊙O于点M，过点M作PQ//BC,分别交AB、AC的延长线于点P、Q.求证：(1)PQ是⊙O的切

线；(2)PMPB?QMQC.

176.如图7－101，⊙O在∠ACB内部，且切CA

于点T，OH⊥CB，点H为垂足，又HP切⊙O于点P。求证：CT2=CH2+HP2

177.如图7－102，PB、PC切⊙O于点B、C，作

直径BA并延长与PC的延长线相交于点D，

若弧BC为120O

，求证：(1)AC=AD; (2)PO等于⊙O的直径。

178.AB为半圆O的直径，DA⊥AB,CB⊥AB,垂足

为点A、B，DC切⊙O于点E,又点F是DC的中点，如果AD＝13厘米，BC=25厘米，求EF和ABR 长度。 179.如图7－103，BD、CE分别是△ABC两边AC、

AB上的高，O是△ABC的外心，求证：OA⊥DE.

180.如图7－104，弦CD平行于直径AB，BE切

⊙O于点B，交AD的延长线于点E，EF⊥AC,F为垂足。求证：FC=AC.

181.如图：7－105，直线AF切△ABC外接圆O

于点A，交△ABC的高CE的延长线于点F，BD⊥AC.求证：AD∶DC=EF∶EC.

182.如图7－106，由正方形ABCD的顶点A引一

条直线，与BD、CD及BC的延长线分别交于点E、F、G。求证：CE和△CGF的外接圆O相切。

183.如图7－107，直线DF平分△ABC中∠A的

外角，交△ABC外接圆于点E，FB为△ABC外接圆的切线。求证：AD?EF=BF?DC.

28 名思教育盛泽校区教研中心

184.如图7－108，AB为⊙O的直径，AD是切线，

FB和DB是割线。求证:BE?BF=CB?DB

185.如图7－109，C是⊙O直径AB上一点，D在⊙O上，DC⊥AB,DF切

⊙O于点D，CE⊥DF于点E，求证：AB?CE=AC?BC + DC2 .

186.在Rt△ABC中，∠A＝90O，以AB为直径作

半圆交BC于点D,过点D作半圆的切线交AC于点E。求证：(1)AE=CE; (2)

CD?CB=4DE2

.

187.PA为⊙O的切线，A是切点，PBC为割线，

E是AB的中点，PE的延长线交AC于点F.

求证：PA2PC2?AFFC 188.如图7－110，直线L在⊙O外，过圆心作

OA⊥L，A为垂足，过点A作割线交⊙O于点B、C，过B、C两点作⊙O的切线，交L于点E、F。求证：AE=AF.

189.如图7－111，CD为半圆O的直径，P为半

圆外一点，PA、PB切半圆O于点A、B，AC与BD相交于点E，PC交半圆于点F。求证：

(1) △BPE∽△BOC; (2)PE2

=PF?PC .

190.如图7－112，AB是⊙O的直径，AD是⊙O

的弦，过点D作⊙O的切线交AB的延长线交于点C,过点C作AB的垂线交AD的延长线于点E，已知AB=5厘米，AD=4厘米。（1）求BD的长；（2）求证：△CDE是等腰三角形；（3）求△CDE的面积。

191.如图7－113，在等腰梯形ABCD中，

AB//CD(AB>CD),AD=BC,以AD为直径的⊙O交AB于点E，⊙O的切线EF交BC于点F，

且cosA=

35。(1)求证：△ADE∽△BEF; (2)当

DCAB?37时，求证△BEF的面积与△ADE的面积的比值；(3)当DC与AB两底长满足什么关系时，DF与⊙O相切？

29 名思教育盛泽校区教研中心

192.已知OA、OB是⊙O的两条互相垂直的半径，

过弧AB上的任一点M作⊙O的切线，分别交OA、OB的延长线于点S、T；又MP⊥OS,P为垂足，求证：△AOB的面积是△MOP的面积与△SOT面积的比例中项。

七、三角形的内切圆

193.一个直角三角形的斜边为10厘米，内切圆

半径为1厘米，则这个三角形的周长是_______。

194.如图7－114，⊙O是△ABC内切圆，⊙O1

与BC相切且与AB、AC的延长线分别切于P、Q两点，若∠APQ＝70O，则∠A＝_____; ∠BOC=_______; 若BC=7厘米，AC＝8厘米，AB＝5厘米，则AP=_____.

195.等腰梯形ABCD外切于⊙O，AD＝3厘米，BC

＝7厘米，则⊙O的直径为____厘米。 196.如图7－115，在⊙O的外切四边形ABCD中，

若AB＝4，BC=5,CD=3,则S△BOC:S△COD: S△AOD:S△AOB=_______

197.半径是r的圆外切正三角形的边长与它的

内接正方形边长的比值是______.

198.在△ABC中，AB=AC=39,BC=30,则内切的直

径为______.

199.已知圆的半径为R，那么这个圆的内接正三

角形的内切圆半径为______.

200.在圆的外切四边形ABCD中，

AB=(m+n)?,CD=(m-n)2,则AD+BC用m、n可表示为______.

201.已知直角三角形的斜边和一条直角边的比

为25 ：7，它的内切圆的半径r=1.2厘米，则这个直角三角形各边长分别为______. 202.已知半圆的圆心O在Rt△ABC的斜边BC上，

且半圆分别与AB、AC切于D、E,AB=4，AC=5，则半圆半径R＝_______.

203.如图7－116，在△ABC中，AB＝20厘米，

BC＝22厘米，AC＝14厘米，⊙O为△ABC内切圆，切各边于点F、D、E，又直线MN切⊙O于点G，分别交AB和BC于点M、N，则△BMN的周长为_____厘米。

204.三角形内切圆与三边的切点分圆为10:9:5

的三条弧，则这个三角形最小角的余切等于_______。 205．△ABC的内切圆切各边于点D、E、F,则△ABC

必定是_________三角形。

206.三角形的内心是以各边与内切圆的切点为

顶点的三角形的______（填:外心、内心、重心、垂心）

207.三角形的垂心是这个三角形三条高的垂足

所成三角形的_______(填：外心、内心、重心、垂心)

208. △ABC的内切圆被三个切点分成三段弧，

在每段弧上取一点，分别过这些点作内切圆的切线，截原三角形得三个小三角形，

设这三个小三角形的周长分别为p1、

p2、p3 ，则△ABC的周长为________.

209.在△ABC中，∠A＝60O，内切圆I在BC边

上的切点分BC为2和5两段，则AB和AC的长分别为________.

30

名思教育盛泽校区教研中心

210.如果O是△ABC内一点，且△OAB、△OBC、

△OCA的面积比为AB:BC:CA,那么O是△ABC的______（填：外心、内心、重心、垂心)

211.在△ABC中，∠A＝60O，内切圆I在BC边

上的切点为D,若BD=2,DC=5，则AB和AC的长分别为________

212.直角三角形两条直角边为m和n，它的外接

圆直径为P，内切圆直径为q，则m、n、p、q之间的关系为 . 213如图7－117，在⊙O的外切直角梯形ABCD

中，AB//CD，∠A＝90，E、F、G、H分别为各边上的切点，若CD＝4厘米，AB＝8厘米，则内切圆直径是( )．

214.如图7－118，⊙O是边长为2的正方形ABCD

的内切圆，EF切①O于P点，交AB、BC于点E、F，则△BEF的周长是 ．

215.等腰三角形的腰被内切圆的切点分为7：

5(由顶点开始)两部分，求腰与底边之比． 216.已知点P为⊙O外的一点，PA、PB切⊙O于

点A、B，OP与AB交于点C，⊙O的半径为

3厘米，∠APB＝60O

，求OP、PA、AB、AC、OC和CP的长.又设PO交⊙O于点E，问：点E是△ABC的什么“心”?

217.已知等腰梯形两底之和为10厘米，两底之

差为6厘米，且有内切圆，用两种方法求内切圆的半径．

218.在Rt△ABC中，C=90，内切圆I切AB于点

D．求证:S△ABC =AD·BD．

219.四边形ABCD是⊙O的外切四边形，AD//BC，

⊙O切AD、BC于点M、N．求证：AM·BN=DN·CN． 220.在△ABC中，AB=AC，点I是内心．求证：

AB、AC都与△IBC的外接圆相切．

221.如图7－119，点I是△ABC的内心，过点I

且垂直于AI的直线交AB、AC于点D、E.求证：BID＝C．

222．等腰△ABC，腰长为10厘米，底边长为12

厘米，求三角形内切圆的半径． 223.如图7-120，已知一等腰直角三角形的外接

圆和内切圆半径分别为R和r，求斜边AB和直角边AC的长．

224.⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=9O，三边分别为a、b、c，求(1)内切圆半r；(2)外接圆半径R(3)若三边分别为6、8、10，则r、R各等于多少?

225.圆的半径为5厘米，它的外切四边形的面

积为120cm2并且四边形的三边依次为1：2：3，求这四边形各边的长．

226．⊙O是梯形ABCD的内切圆，⊙O的面积是3?厘米，梯形ABCD的中位线长

是3.8厘米，且∠B＝60，求梯形ABCD的两腰AB、CD的长．

227．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，⊙O内切于梯形ABCD，AD＝2?1,

BC＝2+1，求(1)AB的长；(2)内切圆半径r．

228．在△ABC中，∠C＝90O

，内切圆I与AB、

BC、CA分别切于点D、E、F，若⊙I的半径为r，BE=n，试用r和n表示△ABC的面积

31 名思教育盛泽校区教研中心

得____．

229．已知△ABC三边长为6、8、10，则它的内

心、外心间的距离为___；若三边长为5、5、8，则内心、外心间的距离为_____;内心、重心间的距离为___，外心与重心 间的距离为______．

230．△ABC的外心在AB上，且△ABC是直角三

角形，△ABC的周长为30厘米，重心G离

C点的距离为4

14厘米，求△ABC重心G到AB边的距离．

231．若斜边为13的直角三角形的两条直角边

分别是一元二次方程x2

－(m－1)x+3(m+2)＝0的两根，求(1)m的值； (2)直角三角形内切圆的面积． 232．如图7-121，△ABC的面积是103，∠A

＝60O

，AB ∶ AC＝5∶2，求这个三角形内切圆半径r (用最简根式表示)．

233．已知等腰三角形的顶角为120O

，它的内切

圆的周长为12?，求这三角形的周长与面积．

234．如图7-122，等腰三角形的腰长AB＝AC＝

5，内切圆的两腰上两切点间的距离EF为2.4，求(1)BC的长；(2)S△ABC．

235．△ABC的内切圆切AC于点E，且AE＝2厘

米，EC=5厘米，已知∠B＝

12(∠A+∠C)，求(1)AB与BC的长；(2)内切圆面积. 236.如图7-123，⊙I为△ABC的内切圆，切点

为D、E、F，∠A＝62O

，求(1)∠BIC (2)

∠DIE；(3)若BG、CG分别为∠B、∠C的外角平分线，求∠BGC．

237．如图7-124，△ABC的内切圆O，切各边于

点D、E、F，MN切⊙O于点P，且MN∥BC，AB＝15，BC=14，AC=13，求(1)△AMN周长；(2)MN之长．

238．⊙O是任意三角形ABC的内切圆，三边分别为a、

b、c，且三角形面积为S，求(1)内切圆半径r；(2)外接圆半径R；(3)若a＝17，b＝21,c＝10，S＝84，问：r、R各等于多少？ 239．已知⊙O的半径是r，作⊙O的外切三角

形ABC，使BC>AC>AB，⊙O分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，(1)用a、b、c表示AD的长；(2)求证：如果△ABC是直角三角形，

那么r＝

b?c?a2；(3)如果△ABC是钝角三角形，那么b+c-a的值应在什么范围内变化?(只要求写出结论，不要求说明理由，也不要求给出证明)

240．如图7-125，在△ABC中，∠C＝90O，内

切圆I切AB于点E，已知⊙I的半径为5，且IA=13，求BE的长．

241．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1:2:3，

点O是△ABC的内心，求S△BOC:S△AOC:S△

32

名思教育盛泽校区教研中心

AOB．

242．已知圆外切直角梯形的周长为18厘米，

其中不垂直于底边的腰长为5厘米，求圆的半径． 243．如图7-126，△ABC的内切圆I分别切BC

和AC于点D、E，ED的延长线交∠A的平分线于点F．求证：BF⊥AF．

244．如图7-127，在△ABC中，AB＝AC，AD

⊥BC于点D，△ABC的内切圆交AD于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于点M、N．求证：(1)OM⊥OB；(2)DE2=BC?MN．

245．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于

点D．求证：CD等于△ABC、△BCD和 △ACD的内切圆半径之和．

246．如图7-128，△ABC的三边AB、AC、BC

与其内切圆分别切于D、E、F点，FG⊥ DE，G是垂足．求证：

DGBFEG?CF

247．如图7-129，Rt△ABC的内切圆O与斜边

AB切于点D，与BC、AC切于点E、G，

DE与AC的延长线交于点F．(1)求证：BD=CF；(2)若AD＝10，BD=3，求⊙O的半径r及S△BDE:S△CEF的值．

248．如图7-130，已知Rt△ABC的三边AB、

BC、CA的长为15、17、8，其内切圆O在

各边上的切点为F、D、E，另外，在内切

圆的弧EF的两边CA、AB之间再作一个与

它们相切的⊙O1、，求⊙O及⊙O1的半径．

249．如图7-13Rt△ABC中，∠C=90°，CA=5，

BC=12，在三角形内作两个互相外切的等圆⊙O1与⊙O2，并且⊙O1切边AB、BC，⊙O2切边AB、CA，求这两个等圆的半径之长。

250．在下列各图7-132中，设AC⊥CB，BC=a，CA＝b，AB=c，求⊙O的半径R。

33 名思教育盛泽校区教研中心

251．在△ABC中，中线BE、CF相交于点G，并且△BGF与△CGE的内切圆相等．试 证：△ABC是等腰三角形．

252．如图7-133，在△ABC中，∠C＝90°，内切圆I分别切边AB、AC、BC于点D、F、 E，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，AF＝m，

BE＝n，内切圆半径为r．(1)求证：△ABC的面积为mn；(2)证明:m、n是关于x的方程2x-2cx+ab=0的两个根；(3)若AB边上的

中线为1，△ABC的周长为2+6，求△ABC的内心I与外心间的距离；(4)证明：tan

A2?tanB2rc2=

ab

253．如图7-134，在边长为a的等边△ABC中，半圆O的直径在BC上，又分别与

AB、AC相切于点Q、R，点P是弧QR上(不包括Q、R点)任意一点，过点P的切线 分别与AB、AC相交于点D、E．(1)求△

ADE的周长；(2)求∠DOE的大小；(3)求

证：△BOD∽△CEO；(4)当DE＝5?12a时，求BD、EC的长．`

254．如图7-135，在△ABC中，⊙I是它的内

切圆，切AB、BC、CA于点F、D、E。 △ABC的周长为2m．又GH∥BC，G、H分别在AB、AC上，且GH切⊙I于点 K．问：GH的最大值是多少?

八、弦切角

255．如图7-136，在⊙O中，AC是弦，AD是

切线，CB⊥AD，垂足为B，CB与圆相交 于点E，如果AE平分∠BAC，则∠

ACB=____

256．如图7-137，⊙O的两条直径AB与CD，

BT是过B点的切点，且弧BD＝45°，则 ∠BAD＝____；∠CBT=____

257．如图7-138，MN切⊙O于点p，AB∥MN，

34 名思教育盛泽校区教研中心

PA交⊙O于点C，PB交⊙O于点D．求证：C、D、B、A四点共圆．

258．如图7-139，AB是⊙O的弦，C是弧AB

的中点，BD是切线，CD∥AB．求证：DC= DB．

259．如图7-140，PA、PC分别切⊙O于点A、

C，D为弧AC上任一点，连结CD交AP于点E，∠P＝30°，则∠ADE＝____

260．如图7-141，CD为⊙O的直径，AE切⊙O

于点B，DC的延长线交AB于点A， ∠DBE=62°，则∠A＝____度．

261．如图7-142，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，CE切⊙O于点C，BE⊥ AC，则∠E＝_____ 度.

262．如图7-143，AD是切线，点D是切点，BC是半圆O的直径，AB=BC＝2，则AD=___ DC:DB＝____ ；DB=____，DC＝____，S△ABD＝____．

263．如图7-144，∠ACB＝90°，MN切△ABC的外接圆于点C，AE⊥MN，BF⊥MN，

垂足分别是点E、F，AC＝3，BC＝4，则四边形AEFB的面积等于____.

264．如图7-145，PA、PB切⊙O于点A、B，CE⊥AD，垂足为点E，交BD于点C，且 CE过圆心O，则图中与∠D相等的角共有( )．

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

265．如图7-146，PA切⊙O于点A，C为弧AB上任一点，∠PAB=42°，则∠C的度数 为( )． (A)116° (B)132° (C)138° (D)159°

35

名思教育盛泽校区教研中心

266．如图7-147，割线PAB过⊙O的圆心，交

⊙O于A、B两点，PC切⊙O于C点,且PC=BC

CD⊥PB，垂足为D，求CD ：BC．

267．如图7-148，BC切⊙O于C点，DF∥BC，延长BD交⊙O于点A，AC交DF于 点E．求证：BD:CE＝BC:CF.

268．如图7-149，已知△ABC是⊙O内接三角

形，BM、CN是圆的切线，AD∥CN，AE//BM,求证：AD2=BE?CD

269．半圆O的直径AB＝2，C是半圆上的一点，

且弧AC：弧CB＝1：2，过点B、C的切线交于点P，PA交⊙O于点E，求PE的长．

270．AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝

12AB，自点C作CD切⊙O于点

D，连结AD．求证：△DAC是等腰三角形． 271．已知在⊙O的内接四边形ABCD中，∠

A=73°，∠B=92°，且弧DC=弧BC，过各顶点作⊙O的切线，围成的四边形为PQMN，求⊙O外切四边形PQMN各内角的度数．

172．设⊙Ol与⊙O2。相交于A、B两点，⊙O1

的弦CA切⊙O2于点A，且∠CAB=60°若

⊙O2的半径为33，求AB的长． 173．BC为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D．已知AD：AB=2：5，且AC＝10厘米，求(1)BC的长；(2)tanB的值． 274．如图7-150，在△ABC中，∠CAB及它的

外角的平分线与BC及其延长线分别交于点D、E，若外接圆过点A的切线AF与CE的交点为点F．求证：DF＝EF．

275．如图7-151，圆内相交两弦AB、CD的交

点为点P，作△APC外接圆的切线PT，求证；PT∥BD．

276．如图7-152，AB、AC切⊙O于点B、C，

BC与AO相交于点D，过点C作弦CE，又自点A向EC引垂线，垂足为点H．求证：△ADH∽△CBE．

277．如图7-153，在⊙O中，弦AE和CF相交

于点B，AD∥CB，DC∥AB，MN切⊙O

36 名思教育盛泽校区教研中心

于点D．求证：MN∥EF．

278．P为两同心圆的大圆上的一点，过点P作

大圆的弦PA、PB，且都与小圆相切，又CD切大圆于点P．试用两种方法证明；CD∥AB．

279．如图7-154，△ABC内接于⊙O，过点C

的切线与AB的延长线相交于点D，且DC=DE．求证：CE平分∠ACB．

280．如图7-155，若AF是△ABC外接圆的切线，AD⊥BC，DE⊥AB，求证：AF∥EC．

281．如图7-156，AB为⊙O的直径，DC切⊙O

于点C，过点D作DE⊥AB，交AC于点F，E是垂足，试用两种方法证明：△DFC是等腰三角形。

282．如图7-157，△ABC内接于⊙O，DE∥BC，

点D在AB上，点E在AC上，且DE

的延长线交过点A的切线于点P．求证：

PA2＝PD?PE．

283．如图7-158，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

⊙O过点C，且切AB的中点于点D，交 AC于点E，F为弧EC上任意一点．求证：

∠CFD=2∠DFE．

284．△ABC内接于⊙O，BD⊥AC，CE⊥AB，

又MN切⊙O于点A．求证：MN∥ ED．

285．如图7-159，PA是△ABC外接⊙O的切线，

DE∥AC，PD＝PE，若AB＝7厘米，AD＝2厘米，求DE的长．

286．如图7-160，AB、AC分别切⊙O于点B、

C，P是⊙O上一点，PD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．求证：PD2＝PE?PF．

287．如图7－161，设∠A(A为锐角)为等腰△

37 名思教育盛泽校区教研中心

ABC的顶角，过点C作三角形外接圆的切线，交AB的延长线于点D，又过点D作AC的垂线，E为垂足．求证：(1)BD＝2CE：(2)若顶角A为钝角时，试证之(如图7-162)．

288．如图7-163，在梯形ABCD中，已知CD

＝a，AD＝b，AB＝c，AD⊥AB，以BC为直径作⊙O交AB于点E，切AD于点F，连BF、CF，设∠ABF＝?，求证；关于x的方程ax2-bx+c＝o有两个相等的实数根，且这两个等根都等于cot?.

289．⊙O直径AB垂直弦CD于点E，EF⊥AC，

求证：AC?FC＝AE?BE．

290．已知AB为⊙O直径，EF切⊙O于C点，

AE⊥EF，BF⊥EF，E、F为垂足．求证：EF2＝4AE?BF．

291．如图7-164，在直角坐标系中，⊙M的圆

心M在y轴上，⊙M与x轴交于点T、R,与y轴交于点A、B，过点T作⊙M的切线TP交y轴于点P，若⊙M的半径为5，点T的坐标为(-4，0)，求(1)点M的坐标；(2)tan∠PTA的值；(3)直线PT的解析式．

292．如图7-165，△ABC内接于⊙O，过点B、

C分别作⊙O的切线L1、L2、，又作AD∥L2，交BC于点D，作AE∥L1，交

BC于点E．求证：BEAB2CD?AC2

293．如图7-166，设正△ABC的内切圆与三边

BC、AB、CA的切点分别为点D、E、F，若弧EF上任一点P到三边AB、BC、CA的距离分别为P、q、r．求证：

p?r?q

294．如图7-167，⊙Ol与⊙02相交于A、B两

点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点D，过点A作⊙O2的切线交⊙O1于点C，如果⊙Ol的半径为r，⊙O2的半径为R，求 △ABC与△ABD的面积之比．

38 名思教育盛泽校区教研中心

九、与圆有关的比例线段 295．如图7-168，⊙O中半径OC与弦AB相交

于点P，AP＝3，BP=5，CP＝1，则⊙O的半径为___；如果另一条弦CD平分AB，C到AB中点的距离为2，则CD=____.

296．如图7-169，已知△ABC内接于⊙O，过

A点作⊙O的切线AE，并作BD∥AE交AC于点D，且AC＝6，AD＝4，则AB＝____.

297．如图7-170，在Rt△ABC中，∠B=90°，

AC切①O于点D，割线CFG过圆心，已知①O的直径EB=6厘米，AD＝4厘米，则AE＝____ ；CO＝_____

298．如图7-171，在⊙O中，弦AB和直径CD

相交于点P，M是DC延长线上的一点，MN是⊙O切线，N是切点，若AP＝8，PB=6，PD＝4，MC=6，则MN=____.

299．如图7-172，在⊙O中，半径R＝6，OM⊥CD，CD=6，BM=9，则AM=_____; AB=___;

ACBD?____O;到AB的距离OH＝____·

300．△ABC内接于⊙O，过A点作圆的切线，

交BC的延长线于P点，∠APB的平分线与AB、AC分别相交于点E、F，则( )等式成立．

(A)AE?AF＝BE?CF (B)AE?CF＝AF?BE

(C)AE?BE＝AF?CF (D)AE?AB＝AF?AC

301．如图7-173，已知⊙01交⊙02于点C、F，

EF切⊙02于点F，交⊙O1于点E，AD过点，交两圆于点A、D，AB＝3厘米，BC=4厘米，CD=5厘米，求EF的长．

302．在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PA=PB=4，又PC =

14PD，求CD的长． 303．已知PA与⊙O切于点A，线段PO交⊙O

于点D，过点P作割线交⊙O于B、C两点，如果PD=OD＝4，BC=2，求PA与

39 名思教育盛泽校区教研中心

PC的长．

304．如图7-174，在⊙O中，弦AB和直径CD

相交于点P，M 是DC延长线上的一点，MN是⊙O的切线，N是切点，若AP＝8，PB=6，PD=4，MC＝8，求①O的半径r及CP、MN的长．

305．如图7-175，AB为⊙O的弦，点P在AB

上，且∠OPC＝90°．求证：PC是PA和PB的比例中项．

306．如图7-176，已知半径为r的⊙Ol与半径

为R的半圆内切于点E，又⊙01切半圆的直径AB于点C，CD⊥AB于点C，且交AB于点D．求证：CD2＝2Rr．

307．如图7-177，⊙O分别与△ABC的AB、

AC边分别切于点M、N，交BC边于点E、F，且BE＝EF=FC．求证：∠B=∠C．

308．如图7-178，已知⊙O的两条直径AB与

CD垂直，OE=OF，BE的延长线交DF于点G．求证：FO?FB=FG?FD

309．在Rt△ABC中∠C=90°，射线AD交BC

于点D，以AC为直径的圆交AB、AD于点E、F．求证：AE?AB＝AF?AD

310．如图7-179，△ABC的内切圆把BC边上

的中线AD三等分，AN=MN=MD，且与AB、BC、CA分别相切于点G、E、F，若AG＝2，求DE，并求出BC：AC的值．

311．如图7-180，设AB、CD是⊙O的两条平

行弦，过点B作⊙O的切线与CD的延长线相交于点G，在CD上任取一点P，连结PA、PB，与弦CD相交于点E、F．求 证:EF?FG＝CF?FD．

312．如图7-181，AB为半圆O的直径，D为

AB上任意一点，以AD为直径在已知半圆外部作小半圆Ol，又CD⊥AB，交大半圆于点C，BE切小半圆于点E，F是CE的中点．求证：BF⊥CE．

313．如图7-182，AD为⊙O直径，AB是⊙O

的切线，过点B的割线BMN交AD的延长

40

名思教育盛泽校区教研中心

线于点C，且BM=MN=NC，若AB＝2厘米，求⊙O的半径．

314．如图7-183，已知⊙O直径为4厘米，P

是弧AB的中点，Q是弧CD的中点，弦

PQ为23厘米，求∠1、∠2以及AB和CD延长线交角的度数．

315．如图7-184，已知在⊙O中，AP为⊙O的

切线，户为切点，ABC为割线，AB：BC=1：3，AP=6，∠A=45°，求⊙O的半径．

316．如图7-185，A、B为圆上两点，经过B

点作⊙O的切线BC，经过A点作弦AD，延长AD交切线BC于C点，∠DAB=∠OAB，已知BC＝4，CD＝2，求AB的长．

317．如图7-186，PAB为圆的割线，PC为圆的

切线，C为切点，由A、B向切线PC及其延长线作垂线，E、F为垂足，且CD⊥BP．求

证：CD是AE与BF的比例中项．

318．EA切⊙O于点A，AD是直径，EF切⊙O

于点F，交AD延长线于点C求证:CE?CD=CF?CO

319．已知PAB是⊙O割线，PD是⊙O切线，

D是切点，C是圆内一点，若PC＝PD，求

证：

CAPCCB?PB

320．’如图7-187，已知CA、CB切⊙O于点

A、B，割线CPQ交⊙O于点P、Q，CO交

AB于点N，延长QN交⊙O于点E．求证：

(1)C、E、O、Q四点共圆；(2)∠?＝∠?

321．如图7-188，在△ABC中，AM是BC边

上的中线，AD是∠BAC的平分线，△AMD的外接圆交AB于点L，交AC于点N．求证：BL＝CN．

322．如图7-189，AD是⊙O的弦，AD＝8厘

米，半径OH⊥AD，交AD于点B，HB＝2厘米，AC是直径，求BC的长。

41 名思教育盛泽校区教研中心

324．如图7-191，C为线段AB的中点，BCDE

是以BC为一边的正方形，以点B为圆心、BD为半径的圆与AB及其延长线相交于点H及K．求证：(1)HC?CK=AC2；(2)AH?AK=2AC2．

325．如图7-192，AB是⊙O直径，AC、BC是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足是D，F是AB 的中点，连结CF交AB于点E，且AC、

BC的长(AC

326．如图7-193，已知在△ABC中，AB=BC，

以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连结AE，交①O于点F．求证：BE?CE=AE?EF

327．如图7-194，⊙O中弦AB垂直平分半径

OM，P为优弧AB上一点，C为AP延长

线上一点，且PC=PB，BC交⊙O于点D．求证: △OPD是等边三角形．

328．如图7-195，已知⊙O1与⊙02相交于点A、

B，AC、AD分别为⊙O1与⊙O2的直径，求证：AB上的任意一点P与C、D距离平方差等于两圆的直径平方差．

329．如图7-196，PA、PB切⊙O于点A、B，

C为优弧AB上 任一点，CD⊥PA于点D，DC的延长线交PO的延长线于点E，CF⊥PB于点F，且交PE于点C．求证：EG?PA=CG?AB。

330．由圆外一点引两条割线PBA、PCD，且

PB=PC=2米，BC=2．4米，AD=6米，求四边形ABCD的面积和圆的半径． 331．如图7-197，AB是⊙O的直径，AB=10，

DE切①O于C点，AD⊥DE，BE⊥DE,DE=8,AC和BD交于点F，AG和BD交于点H。求(1)AD的长；(2)DF的长。

42 名思教育盛泽校区教研中心

332．PA切⊙O于点A，PCB是⊙O割线，PDE经过圆心O，∠BPA=30°，PA=23，PC=1，求(1)CB的长，(2)PD的长．

333．如图7-198，AB与CD是⊙O中两条互相垂直的直径，P为弧AD上任意一点，PC、PB分别交AD于点M、N．求证：

MAND?PAPCPB?PD

334．如图7-199，已知点G是△ABC的重心，过点A、G作圆切BG于点G，延长CG交此圆于点D．求证：AG2＝CG?DG．

335．如图7-200，已知PA、PB切⊙O于点A、B，过AB与PO的交点M作弦CD． (1)求证:

PCODCM?OM；(2)若∠APB=60°，AB＝43，DM=4．8，求CP的长．

336．如图7-201，⊙O1与⊙O2外切于点P，过

⊙O1的直径EF的端点的弦EP、FP的延长线分别交⊙O2于B、A两点，⊙O1的切线FD交⊙02于点C、D，且与EB、AB相交于点H、G，F为切点．求证：(1)AB

垂直平分CD，(2) AG2HPAF2?HE

337．过⊙O外一点A，作圆的切线，切点为B，连OA，交⊙O于点C，若AC=n·OC，求证：△ABC的外接圆直径等于(n+1)?BC．

圆和圆的位置关系

十、圆和圆的位置关系

338．已知两圆的圆心距是10厘米，其中一个圆半径为4厘米，如果两圆相切，那么另一个圆的半径是______

339．如果两圆的直径为16厘米和6厘米，圆心距为4厘米，那么这两圆的位置关系是_____． 340．两个等圆的半径为R，其中一个圆的圆心在另一个圆上，则它们的公共弦的长为_____. 341．如图7-202，∠AOB=60°，⊙O1内切于

⊙O，切点为C，且与OA、OB相切于D、E，⊙O1的半径为3厘米，则⊙O的半径为______．

342．如图7-203，互相外切的两圆⊙O1和⊙O2都与∠MPN的两边PM、PN相切，若∠MPN=

60°，则小圆半径r1和大圆半径r2的比值为______．

43 名思教育盛泽校区教研中心

343．如图7-204，⊙O1与⊙O2外切于T点，过

点了的直线分别交两圆于点A、B，∠AO1T＝80°，C是⊙O2上任一点，则∠TCB=_____．

344。⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切，⊙A

的半径是26?2，⊙B的半径是2，⊙C的半径是22?6，∠BAC＝60°，则BC的长为______．

345．在单位圆(即半径为1的圆)中，内接四边形的最短边的最大值是______． 346．两个相交圆的半径分别是

7?1和

7+1，圆心距为d，则d可取的整数的个数是

_____．

347．半径为2厘米、1厘米的⊙O1和⊙O2相交

于A、B两点，且AO1⊥A02，那么公共弦AB的长为_____厘米．

348．已知a、b为两圆的半径(且a≠b)，c是两

圆的圆心距，若方程x2-2ax+b2＝c(b-a)有等根，则以a、b为半径的两圆的位置关系是_____． 349．边长为a的正△ABC中有两两外切的三个

等圆，每个等圆都和△ABC的两边相切，那么三角形中等圆的半径等于____．

350．如图7-205，⊙O和⊙O1相交于A、B两

点，一直线CEDF依次交⊙O于点C、D，交⊙O1于点E、F，则∠EAD+∠CBF＝_____度．

351．有若干个等圆相外切，正好在围成的空隙

中可作一个同样大小的圆，与这若干个等圆相外切，则这若干个等圆的个数是( )．

(A)4个 (B)5个 (C)6个 (D)8个

352．⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，若AB＝

48，两圆的半径分别为30与40，则S△AO1O2的值为( )．

(A)600 (B)168 (C)300或168 (D)600或168

353．如图7-206，三个半径为1的圆两两外切，

且△ABC的每一边都与其中两个圆相切，那么△ABC的周长是( )． (A)12+3

2 (B)12+23

(C)12+33 (D)6+63

354．若两圆的半径分别是R和r(R>r)，其圆心

距为d，且R2+d2-r2＝2Rd，则两圆的位置关系是( )．

(A)内切 (B)内切或外切 (C)外切 (D)相交

355．①O的圆心在坐标系的原点，半径为3，

⊙P的圆心坐标为(-3，1)，半径为2，那么两圆的位置关系是( )．

(A)外切 (B)相交 (C)内切 (D)内含

356．如图7-207，AB是⊙O的弦，过A、O两

点任作一圆交AB于点C，再交⊙O于点D．求证：BC=CD．

44 名思教育盛泽校区教研中心

357．如图7-208，两个同心圆与第三个圆相交

于A、B、C、D四点，顺次连结这四点．求证：四边形ABCD是一个等腰梯形．

358．如图7-209，以⊙O上一点O’为圆心作圆

O’，交⊙O于A、B两点，在⊙O上取一点P，直线PA、PB交圆O’于C、D两点．求证：(1)PA=PD；(2)PB=PC．

359．如图7-210，⊙O1和⊙O相交于点A、B，

BT是⊙O1的直径，过点T的切线交BA的延长线于点P，又割线PCD交⊙O于点

C、D，且BT=DC＝2，PA=33，求PT和AT的长．

360．若两圆有一个公共点不在连心线上，求证：

这两个圆一定还有另一个公共点．

361．如图7-211，⊙O和⊙01相交于点A、B，

若过点A的割线和两圆的交点分别为点C、D，连结BD的直线和⊙O的交点为E．连结CE并延长，和⊙Ol的交点为 F．求证：∠DFE=∠DBF．

45 名思教育盛泽校区教

研中心

46

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/353r.html