数学通性通法

通性通法

第一章 函数与导数

一、知识结构：

??解析式??函数的三要素?定义域??值域?????单调性???函数的性质?奇偶性?周期性???? 函数??列表、描点、连线??函数图象的画法?基本初等函数的图象背诵??图象变换?????二次函数???四种重要的函数?三次函数???指数函数??对数函数???

二：知识梳理：

一般说来，研究函数问题首先要研究函数的三要素，首先看有没有解析式，

没有解析式（自己要求，常见方法为待定系数法），题目直接给解析式，自己要识别名称（基本初等函数、复合函数、分段函数、抽象函数）或恒等变形，然后

自觉研究函数的性质，最后思考所要研究的问题与前面所研究内容之间的联系。

1．1、定义域

（！）概念；使解析式有意义的自变量的取值的集合； （2）确定函数的定义域需要注意的几种限制条件；

① 分母中的数不能为零； ② 在偶次根号下的数非负； ③ 对数的真数为正；

④ 实际问题中的量要有意义；

⑤ 同时有几个限制条件，求它们的交集；

（3）做函数题目一定要有定义域意识, 定义域意识应该贯穿于解函数题目的始终。

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1．2、求函数值域的方法(含最值问题的求法)

三个步骤：解此类问题先要求解析式，再求定义域， 在此基础上选择方法。 （！）画函数图像（如：基本初等函教①一元一次函数；②一元二次函数；③指数函数；

④对数函数；⑤三角函数的值域或是一切能够画出图象的函数值域的求法）。 （2）换元法（复合函数的值域或是能够换元解决的函数值域的求法）。 （3）平均值不等式。

（4）利用函数的单调性(思维的转向：需要转而判断函数的单调性)。 （5）利用式子的结构特点。 （6）求导。

1．3、函数的奇偶性

（1）概念；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(?x)??f(x)那么函数

f(x)是奇函数，以此迁移偶函数。

（2）判断方法；

① 用图像来判断； ② 用解析式判断：

在定义域关于原点对称的前提下，用f(?x)??f(x) 判断； 看见函数中含有指数式或对数式,转化为判断f(?x)?f(x)?0； 用几个函数的奇偶性来判断,如f(x)?g(x),f(x)g(x)等形式。 （3）性质应用。

① 关于图像(含定义域对称问题)； ② 关于解析式

对于定义域内的任意x，均有f(?x)??f(x)恒成立 (赋值型恒成立)； 奇函数在零点有定义时,f(0)?0；偶函数f(x)?f(x)。

1．4、函数的单调性

（1）概念；一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果对于属于定义域I内的某个区间

D上的任意两个自变量的值x1.x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说y?f(x)在区间D上是增函数，以此类推。 （2）判断方法；

① 用函数图像判断； ② 用解析式判断：

定义法(用于解答题,实质上是比较大小)；

依据函数的单调性的定义证明函数单调性的步骤有：取值、作差变形（一般都要分解到出

x2?x1为止）、定号（我们这一阶段主要出现过4种定号的方式：因式分解、配方、分子有

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理化、logab等）、判断。 复合函数的单调性。

分拆。 求导。

（3）性质应用。

① 用于画图像； ② 用于解析式：

比较大小(y?f(x)在D上是增函数，x1,x2?D，x1?x2?f(x1)?f(x2)； 解不等式(y?f(x)在D上是增函数，x1,x2?D，f(x1)?f(x2)?x1?x2)； 求函教的值城(或最值)。 求值域或最值。

等价转化为导函数恒大于（或小于）0。

1．5、函数的周期性

（1）判断方法；

① 用函数图像判断； ②用解析式判断：

对于定义域内的任意x，f(x?t)?f(x) (定义法)；

带有三角符号的函数,在求周期时一定要化成标准形式,即y?Af(?x??)?k。 （2）性质应用。

① 用于画图像；

②用于解析式：f(x?t)?f(x)恒成立(赋值型的恒成立问题)。

1．6、函数图象自身的对称性

对于函数f(x)，如果满足条件f(a?x)?f(b?x)，则函数y?f(x)的图像关于直线x?a?b对称；特殊地，如果满足条件f(a?x)?f(a?x)，则函数y?f(x)的2图像关于直线x?a对称，反之也成立。

1．7、图象

画函数图象常有三种方法。 （1）列表、描点、连线；

（2）基本初等函数的图像直接记忆：

① 一元一次函数； ② 反比例函数；

③ 一元二次函数(画一元二次函数的图像有三个要点：图像的开口方向；函数的对称

轴以及在对称轴时所取得的函数值；图像与x轴的交点坐标)；

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④ 指数函数(特征点：(0,1))； ⑤ 对数函数(特征点：(1,0))；

⑥ 三角函数（五点法）

（3）图像变换(两个函数解析式之间的联系导致函数图像间的关联)：

① 平移变换：（上下平移与左右平移） ② 对称变换： ③ 伸缩变换

④ 翻折（绝对值）变换：

1．8、重要函数

（1）一元二次函数；

求二次函数解析式的方法，待定系数法。根据所给条件的特点，可以选择一般式、顶点式、双根式中的一种来求：①已知三个点的坐标时，宜用一般式：y?ax?bx?c (a?0）；②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（最小）值有关，常用顶点式：

2y?a(x?m)2?n (a?0）；

③已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用双根式：y?a(x?x1)(x?x2)

(a?0）更方便。

（2）三次函数；一般都借助函数的图象进行研究，图象分a?0及a?0两种情况讨论 （3）指数函数；

做指数函数题目大多涉及变形，要变形就需要熟练掌握指数的运算性质：

分数指数幂概念：a?mnna,am?mn?1amn?1nam

有理指数幂运算性质：①ar?as?ar?s (a?0,r,s?Q)

②(a)?a (a?0,r,s?Q) ③(ab)?a?b (a,b?0,r?Q)

（4）对数函数。

做指、对数函数题目大多涉及变形，要变形就需要熟练掌握对数运算性质：

指数与对数的几个处理原则：①化为同底，②会指数式与对数式的互化，③关于对数式还要多思考一条：真数值为正。

N ① a?b?logab?N

rsrsrrr ② loganbm?logcbmloga，a?bb logab，logab?logcan第 4 页 共 30 页

③ logaM?logaN?logaMN，logaM?logaN?loga④ logab分四种情况考虑与0的大小。

M N若a?1,b?1,则logab?0, 若a?1,1?b?0,则logab?0

若0

1.9、函数的零点

（1） 从图象角度而言，是函数图象与x轴交点的横坐标； （2） 从解析式出发，是方程的根。

1.10、反函数

（1）原函数与反函数的图像关于直线y?x对称，反过来，如果两个函数图象关于直线

y?x对称，则这两个函数互为反函数； （2）(a,b)在f(x)的图象上，则(b,a)在f?1(x)的图象上。

1．11、恒成立问题的三种常见题型

（1）一元二次不等式的恒成立问题（与二次项系数及判别式有关）； （2）最值型恒成立问题

a?f(x)恒成立?a?f(x)max,a?f(x)恒成立?a?f(x)min a?f(x)不成立?a?f(x)min,a?f(x)不成立?a?f(x)max

存在x使不等式a?f(x)有解?a?f(x)min。

（3）赋值型的恒成立问题。

1．12、.导数的几何意义与切线方程

（1）由导数的定义求函数y?f(x)的导数的步骤；

①求函数的增量?y?f(x??x)?f(x)；②求函数的增量?y与自变量的增量?x的比值

?yf(x??x)?f(x)?y'；③求极限得导数y?lim。 ??x?0?x?x?x（2）曲线的切线。

①已知点是切点的处理：先求出导函数在切点处的函数值即该点处切线的斜率；利用点斜式可写出切线方程。

②已知点不是切点的处理：设切点为(x0,y0)，有k?f(x0)?'y1?y0。

x1?x0第 5 页 共 30 页

1．13、.用导数作工具研究函数

求简单初等函数的导数，牢记常见函数的导数公式是基础，掌握两个函数的四则运算求导法则和复合函数求导法则是关键。

（1）在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上单调递增（或递减）的充要条件：对于任意的

x?(a,b)，有f'(x)?0（或f'(x)?0，且f'(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于零。

这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内的个别点处有f(x0)?0,甚至可以在无穷多个点处有f(x0)?0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。 （2）求函数极值的一般步骤；

①确定函数的定义域；②求导数；③求方程f(x)?0的根，这些根也称为可能极值点； ④检查在方程的根的左右两侧的符号：如果在x0附近的左侧f(x)?0,（判断的方法有解不等式；画图像；代值算三种方法）右侧f(x)?0,则f(x0)是极大值（或直接利用二阶导数判断）；如果在x0附近的左侧f(x)?0,右侧f(x)?0,则f(x0)是极小值；如果在x0附近的左侧和右侧的导数同为正或同为负，则在x0处无极值，即导数为零的点不一定是极值点。 建议：确定极值点最好通过列表的方式。 （3）用导数处理最值。 （一）、求函数在闭区间上的最值的步骤：

①解方程f(x)?0得可能极值点；②将y?f(x)的各可能极值与f(a)和f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 （二）、在解决实际应用问题时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。

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''''''''第二章 数列

一、知识结构：

??等差数列、等比数列找基本量???求数列通项公式的方法?由Sn可以求an???由递推关系可以求an??计算、归纳、猜想、证明????等差数列、等比数列找基本量??求数列前n项和的方法?错位相减???裂项相消????定义???数列??通项公式??等差数列?前n项和公式??等差中项??????常见性质??定义????通项公式???等比数列?前n项和公式 ??等比中项?????常见性质?二：知识梳理：

2．1、求数列通项公式的方法

（1）等差数列、等比数列给出基本量； （2）己知Sn可以求出an；

?S1,n?1an?? *S?S,n?2,.n?Nn?1?n注意：如果n?1时也满足Sn?Sn?1，那么an的表达式只写一个就可以了。

（3）由递推关系求an；

①

an?f(n)型的数列可用叠乘的手法； an?1 ② an?an?1?f(n)型的数列可用叠加的手法

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③ an?can?1?d型的数列可构造数列?an?X?是一个公比为c的等比数列； ④ 对an??1?an?1型的数列可构造数列??，它是一个公差为m的等差数列。

man?1?1?an?（4）采用计算----归纳-----猜想-----证明的思维方法得出an(处理数列问题有一种思维

方式,即将数列的前几项给出,进而猜测得出以后项的规律)。

2．2、求数列前n项和的方法

（1）等差数列、等比数列给出基本量； （2）倒序相加；

（3）错位相减((数列?cn?的前n项和，其中cn?anbn ?an?为等差数列,?bn?为等比数列)。 （4）裂项法(分为分式裂项和整式裂项两种，在用分式裂项法来处理问题时，一定要注 意

利用数列的通项来指导具体项的分解；另外，整式裂项法又称为分组求和法)。 常见的裂项公式：

an?111 ??n(n?1)nn?11111?(?)

n(n?d)dnn?d1n?n?1?n?1?n。

an?an?

2．3、等差数列

（1）定义；an?an?1?d(n?2,n?N) (可用来判断一个数列是不是等差数列；除此之

外,还可以用通项公式，或是如果Sn?an2?bn,(a,b?0)则数列也一定是.等差数列；三项是否成等差数列常用等差中项来判断)。 （2） 通项公式；an?a1?(n?1)d 。 （3） 前n项和公式；

*Sn?n(a1?an)n(n?1),或Sn?na1?d。 22a?b。 2（4） 等差中项；A=（5） 常见性质。

① 如果在等差数列中看见项与项的和,想起：m?n?i?j? am?an?ai?aj。

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② 对等差数列做有规律的变换仍可为等差数列：

amn?,a ?an?为等差数列,，则am,mn?2,?，或Sm,S2m?SmS,m3S?m2,?仍为等差数列。

③若?an?,?bn?均为等差数列,且公差分别为d1,d2，则数列?pan?,?an?q?，

?an?bn?也为等差数列，且公差分别为pd1,d1,d1?d2。

④ 一些结论：在等差数列中，若ap?q,aq?p,则ap?q?0;

若Sp?q,Sq?p,则Sp?q??(p?q)。

2．4、等比数列

(1) 定义；

an*=q(n?2,n?N) (隐含an,q都不为零)(可用来判断一个数列是不是等an?1比数列；还可以用通项公式判断；除此之外,三项是否成等比数列常用等比中项来判断)。 (2) 通项公式；an?a1qn?1。 (3) 前n项和公式；

当q?1时,数列为常数列.Sn?na1；

a1(1?qn)a1?anq当q?1时,an?或an?。

1?q1?q(4) 等比中项；G2?ab。 (5) 常见性质。

① 如果在等比数列中看见项与项的积,想起：m?n?i?j? aman?aiaj。 ② 对等比数列做有规律的变换仍可为等比数列：

amn?,a ?an?为等比数列,，则am,m③ 若

n?2,?，或Sm,S2m?SmS,m3S?m2,?仍为等比数列。

?an?,?bn?均为等比数列,且公比分别为q1,q2，则数列

?1??an?q11,pa,a?b,也为等比数列，且公比分别为。 ,q,q?q,????????nnn112q1q2?an??bn?④ 若?an?为等比数列,其公比为若q，则数列an也为等比数列，其公比为若q。

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??第三章 三角函数

一、知识结构：

????角的有关概念及三角函数的定义???角??三角函数?做三角函数题目离不开恒等变形?函数名称

??式子的结构????y=Asin(?x+?)+k???解答题中三种常见的题型?给值求值??解三角形问题??二、知识梳理

3．1、角的有关概念及三角函数的定义

（1）正角、负角、零角；象限角、终边相同的角；弧度制（弧度制下的扇形面积公式S?弧长公式l??r），

1lr，2?2与?所在象限的关系；

（2）三角函数的定义及应用

① 特殊角的三角函数值；300,450,600；00,900,1800,2700,3600；150,750； 逆向：已知三角函数值(结合角所在的范围)求角

② 不求角，能判断三角函数值的符号

逆向：知道三角函数的符号，也可以判断角所在的象限 ③ 诱导公式

④ 同角三角函数的基本关系式

3．2、做三角题目离不开恒等变形，在进行恒等变形时,需注意分析的三个要点

(1) 角；注意由角与角之间的联系入手，角的个数要尽量少；

(2) 函数名；注意由函数与函数之间的联系入手(函数名要尽量少,切割化弦是一种特殊情

况；

(3) 式子结构。注意由观察式子的结构特征入手，各种特殊情况如下： ① 两个角的和与差的三角函数

?的整数倍,考虑使用诱导公式。 2③ 看见1?cos?，或1?sin?，考虑升幂：

????1?cos??2cos2， 1?cos??2sin2, 1?sin??(sin?cos)2。

2222② 在①式中的角有一个是

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④ 看见平方,考虑降幂：

1?cos??1?cos?。 ,cos2?2222⑤ 看见asin??bcos?，想起辅助角公式

sin2?

?3．3、三角函数中三种常见题型

题型一：三角函数的图像与性质；

(1) 在研究带有三角符号的函数的最值、单调区间、周期时,建议将函数都化成标准型

（y?Af(?x??)?k).然后利用相应三角函数的性质求解

① 求y?Asin(?x??)?k(A?0)取得最大值时的x值： 由?x???2k???2，(k?Z)，解出x即可。

② 求y?Asin(?x??)?k(A?0,??0)的单调区间 2k???2??x???2k???2，(k?Z)，解出x即可。

③ 求y?Asin(?x??)在区间?a,b?上的值域或最值：

方法一：画出函数y?Asin(?x??)在区间?a,b?上的图像可解(要会用五点法画

y?Asin(?x??)或y?Acos(?x??)的图像：由?x???0,?3,?,?,2?22解出x)；

方法二：由求复合函数的值域方法可解。 ④ 在研究带有正、余弦符号的函数的对称轴时,还可以转化为在对称轴那里取得函数的

最值。 ⑤ 对称中心。

(2) 由图像定解析式。

先确定函数类型，再根据是第几个关键点进行计算。

题型二：给值求值；

在做三角函数给值求值题目时,一定要注意“所求角度”是“己知角度”这个顺序，如： （1）所求角度和己知角度是同角，考虑用同角三角函数的基本关系式；

基本题型为：三个三角函数值中只要知道其中一个，就能够求出其它两个的值（或用定义也行）。

（2）所求角度是己知角度的二倍角，考虑用二倍角公式 （3）所求角度是己知角度的一半，考虑用半角公式

题型三：解三角形问题。 想起：先画个图，

(1) A?B?C??(用于减少角的个数)。

(2) 涉及到边角关系的互化想起正、余弦定理(余弦定理有求角、边两种形式)。

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第四章 立体几何

一、知识结构：

???公理四?????几何法?线面平行的性质定理??怎样证明线线平行???面面平行的性质定理???线面垂直的性质定理??????代数法：四个步骤（建系、给点、计算、结论）?????勾股定理的逆定理?????共面垂直?等腰三角形三线合一????三垂线定理的逆定理??????几何法???怎样证明线线垂直?定义法?????异面垂直?逆用线面垂直的定义??????三垂线定理??????????代数法：四个步骤（建系、给点、计算、结论）?立体几何???线面平行的判定定理???几何法?面面平行的性质定理?怎样证明线面平行???线面垂直的性质定理?????代数法：四个步骤（建系、给点、计算、结论）?????线面垂直的判定定理?几何法??怎样证明线面垂直???面面垂直的性质定理????代数法：四个步骤（建系、给点、计算、结论）???面面平行的判定定理?几何法???怎样证明面面平行??线面垂直的性质定理????代数法：四个步骤（建系、给点、计算、结论）????定义法??几何法?怎样证明面面垂直???面面垂直的判定定理???代数法：四个步骤（建系、给点、计算、结论）?

二、知识梳理

4．1、平面的基本性质

4．2、直线与直线的位置关系

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??公理4???几何法?线面平行的性质定理??怎样证明两直线平行 ??面面平行的性质定理

???线面垂直的性质定理?????坐标法a??b???勾股定理的逆定理在同一个平面中?????等腰三角形三线合一??几何法??定义??怎样证明两直线垂直? ??在空间中逆用线面垂直的定义????三垂线定理及逆定理?????????坐标法a?b?0怎样求两条异面直线所成角

（1）几何法：

定义:在空间中,有意识地找一点(找的适当与否往往是解决问题的关键),过这个点分别作两条异面直线的平行线,则两条异面直线的两条平行线所成的锐角或直角叫做

两条异面直线所成角（0???90)

.（2）坐标法：

求两异面直线AB与CD的夹角：cos??00|AB?CD||AB|?|CD|（还要注意向量的方向）

4．3、直线与平面的位置关系 怎样证明线面平行 怎样证明线面垂直

怎样求线面所成角(其范围是00???900)

（1）几何法：关键是要找斜线在平面内的射影

（2）坐标法：建立空间直角坐标系，先算出法向量与斜线所成的角再来求线面所成角 或是直接利用公式：求直线l与平面(PM?l,M??,n为?的法向量)

?所成的角：|sin?|?|PM?n||PM|?|n|，

4．4、平面与平面的位置关系 怎样证明面面平行 怎样证明面面垂直

用 面面垂直的判定定理来证明面面垂直关键是哪一个平面内的哪一条直线垂直于另

一个平面内的两条相交直线.

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怎样求面面所成角

（1）几何法： ① 定义法 ② 典型模型 图:

（2）坐标法：建立空间直角坐标系，转化为两个面的法向量所成的角或其补角来求 求二面角的平面角?：|cos?|?|n1?n2||n1|?|n2|，（ n1，n2为二面角的两个面的法向量）

4．5、几种简单的几何体（棱拄、棱锥、球）

（1）、直棱柱、正棱柱、正棱锥、正四面体的概念及性质

?球的定义?432?S?4?R,V??R?球球（2）、? 3?球的截面圆的性质R2?r2?d2?22222??球的内接长方体的性质(2R)?l?a?b?c

第五章 解析几何

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?????????????直接法（找点和斜率）??直线?求直线方程的方法???待定系数法(三个步骤)????单条直线?????由直线的方程研究直线的性质?点与直线???直线与直线??????直接法（找圆心和半径）????求圆方程的方法??待定系数法(三个步骤)???圆??单个圆??????由圆的方程研究圆的性质?点与圆???直线与圆??????直接法（找a和b）?求椭圆方程的方法????待定系数法(三个步骤)?????单个椭圆?椭圆???由椭圆的方程研究椭圆的性质?点在椭圆上(满足定义、满足方程、焦点三角形面积公式）????直线与椭圆有两个交点（交点坐标是方程组的公共解）????????直接法（找a和b）求双曲线方程的方法?????待定系数法(三个步骤)??双曲线??单个双曲线???由双曲线的方程研究双曲线的性质?点在双曲线上(满足定义、满足方程、焦点三角形面积公式）?????直线与双曲线有两个交点（交点坐标是方程组的公共解）???????直接法（找p）?求抛物线方程的方法????待定系数法(三个步骤)???抛物线??单个抛物线???由抛物线的方程研究抛物线的性质?点在抛物线上(满足定义、满足方程）?????直线与抛物线有两个交点（交点坐标是方程组的公共解）??????????一、知识结构：

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2、知识梳理

解析几何的实质是用代数方法研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质，因此要掌握求曲线方程的思路和方法，它是解析几何的核心之一.求曲线的方程的常用方法有两类：一类是曲线形状明确，方程形式已知(如直线、圆的标准方程等)，常用直接法或待定系数法求方程.另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般采用以下方法：

（1）定义法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式.

（2）相关点法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标（x,y）表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程.

（3）参数法：通过一个（或多个）中间变量的引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程.

5．1、直线

??找点和斜率直接法??（1）如何建立直线的方程?； ?找点和点??间接法（待定系数法）待定系数法使用的三个步骤：①事先知道所求轨迹方程的类型；②恰当选择所设方程的形式；③在解题过程中一定要用到所设的方程。

?单条直线?（2）由直线方程研究直线的性质?两条直线。

?点与直线?① 单条直线：研究直线的斜率及倾斜角；找出直线在x,y轴上的截距(即x?0,y?0时相应的y,x，截距有正负)；

② 两条直线：研究两直线的平行与垂直(斜率不存在时需要单独考虑)；两条直线所成的角(在解析几何中给出角往往是与直线的斜率有联系)；两条直线的交点坐标； ③ 点与直线(点在直线上、点到直线的距离、两条平行线间的距离)。

5．2、圆

（1）如何建立圆的方程??直接法(直接找圆心和半径）?间接法（待定系数法）；

?单个圆??点与圆（2）由圆的方程研究直线的性质?。

?直线与圆?圆与圆?① 单个圆：确定圆心及半径(标准方程及一般方程及参数方程)；

② 点在圆上的用法：满足定义；满足点的坐标满足普通方程；点的坐标可以被设为三角形式；

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③ 涉及直线与圆的位置关系(含弦长及角)都应利用圆心到直线的距离。 ④ 圆及圆的位置关系，过两个圆交点的弦，过两圆交点的圆系方程。

5．3、椭圆（定义）

（1） 如何求椭圆的方程 ；

①直接法：直接找a和b； ②间接法（待定系数法）。

?单个椭圆?（2） 由椭圆的方程研究椭圆的性质?点在椭园上。

?直线与椭圆?①单个椭圆）范围（求范围问题尤其要注意）；对称性(以?x代x,或以?y代y,方程不变来判定方程所表示图像自身的对称性)；③顶点；④准线方程与离心率(离心率e是反映曲线形状的一个量)；

②点在椭圆上的用法：满足定义PF1?PF2?2a;:；点的坐标满足椭圆方程（特殊的，

b2?如果点在焦点的正上方，其综坐标为;焦点三角形的面积公式S?=b2tan；)；

a2如果是两个点都在椭圆上，而且题目条件又涉及中点及斜率，那么就用点的坐标满足椭圆方

程，然后两式相减，有些书上又把这种方法称为点差法； ③直线与椭圆的位置关系：直线与椭圆是否有交点等价于由它们的方程组成的方程组是否有解,进而等价于把x或y消去以后的一元二次方程是否有解的问题。

特别注意直线方程的三种给法：①直接给方程；②带一个字母k或b；③带两个字母k及b。 (附弦长公式:d=1?k2?)。 a

5．4、双曲线(定义)

（1） 如何求双曲线的方程??直接法?间接法：待定系数法；

?单个双曲线?（2） 由双曲线的方程研究双曲线的性质?点在双曲线上。

?直线与双曲线?① 单个双曲线：范围；对称性；顶点；准线方程与离心率；

渐近线（记忆方式:①只记当焦点在x轴上时,y??b； x②由方程中把1换为0得）

a②点在双曲线上的用法：满足定义，满足方程，焦点三角形的面积公式 ③直线与双曲线的位置关系：（交点问题特别要注意利用直线与渐近线的位置关系来判断)；

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5．5、抛物线(定义)

（1） 如何求抛物线的方程；

（2） 由抛物线方程研究抛物线的性质。

①单条抛物线：开口方向，焦点坐标，准线方程。 ②点在抛物线上的用法（点到焦点的距离可以转化为点到准线的距离；点的坐标可以被设为

b2(,b)； 2p③直线与抛物线相交??方程组的公共解?点的坐标满足方程2

p2特殊的，焦点弦问题：y1y2??p,x1x2?。

4

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第六章 概率与统计

1、知识结构

?几何概型?m??P(A)=（结果需要由分类或分步数的情况）??n概率? ?古典概型互斥事件（特殊情况为对立事件）???相互独立事件（特殊情况为独立重复试验）?????

2、知识梳理

6．1、（实际值）总数、频数、频率

m?古典概型（结果有限）（PA）?（条件看分母、结论看分子）?6．2（理论值）概率? n?几何概型（结果无限）：线段长度比或面积比?

在求某些稍微复杂事件的概率时，通常有两种方式：一是将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的较简单事件的概率之和，即利用分类思想求解；二是先求出对立事件的概率，再求此事件的概率，即间接法求解，

6．3、条件概率

6.4、离散型随机变量的分布列

（1） 概念； （2） 两个性质：

①Pi?0；②P1?P2???Pn?1； （3） 常见的离散型随机变量的分布。 ① 二项分布；② 几何分布。

6．5、离散型随机变量的期望与方差

（1）计算期望用公式E??x1P1?x2P2??xnPn??

随机变量的期望有如下性质：E(c)?c,E(c?)?cE?,E(a??c)?aE??c （2）计算方差用公式：

D??(x1?E?)?p1?(x2?E?)?p2???(xn?E?)?pn??

方差性质：①a,b为常数，D(a??b)?aD?，②D??E??(E?) 特殊的，若?服从二项分布，即?-B(n,p)，则E??np,D??np(1?p).

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222222??简单随机抽样??抽样方法?系统抽样??分层抽样?????用样本的频率分布估计总体的分布?统计?用样本估计整体?

?用样本的数字特征估计总体的数字特征??散点图?变量的相关性????最小二乘法???独立性检验

6．6、

抽样方法主要以分层抽样考察为主，实质为按比例抽样： （1）每个个体被抽到的概率为

n； N(2)

nxyz????? NN1N2N3(3) 该层被抽到的个数=该层个数?

n。 N频率分布直方图

（1）纵轴表示频率与组距的比值；

（2）相应组距上的频率等于该组距上的面积； （3）频数=频率?总数。 ，

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客观题目知识结构

第一章 集合与简易逻辑

1．1、集合

?直接给元素??解方程的方法???做集合题目的关键是明确集合中的元素? ?解不等式的方法?间接给元素?求函数的定义域的方法???求函数的值域的方法???如果一个集合有n个元素，那么它的真子集的个数是2n?1。

1．2、各种命题之间的关系

（1）可以判断真假的语句叫做命题。

要说明一个命题是真命题，必须进行严格证明；但要说明一个命题是假命题，只需要举到一个反例即可。

（2）复合命题的真假与简单命题真假之间的关系。 判断复合命题真假的步骤是：

① 分清命题是哪种形式的复合命题；

② 判断组成复合命题的每个简单命题的真假； ③ 利用真值表判断复合命题的真假。

反过来，已知复合命题的真假也可以得简单命题的真假。

（3）四种命题（特别注意：原命题及逆否命题是等价的：同真假、同充要）。

1．3、充要条件

（1）关于充要条件的两种表述形式：

如“甲?乙,而乙推不出甲”可表述为： 甲是乙的充分而不必要条件；

或 乙的一个充分而不必要条件是甲。 （2）判断所给命题间的充要关系的常用方法：

① 定义法：判断p与q的关系，其本质上就是分别判断命题“若p则q”和命题“若q则p”的真假；

② 等价转换法：当所给命题的关系不容易直接判断时，可对命题进行等价转换，利用原命题和逆否命题的等价性转换为利用其逆否命题进行判断。例如，若p是q的充分而不必要条件，则非q是非p的充分而不必要条件，反之亦然；

③ 集合法：有时可从集合的角度来考虑，即条件p、q对应的集合分别为A、B，则：例如：A?B，那么p是q成立的充分而不必要条件。

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第二章、平面向量

2．1、向量的有关概念及表现形式

向量的概念、模、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、公线向量等；

?几何表示??大写字母?向量的表示方法? ?代数表示小写字母???坐标表示???

2．2、向量的运算

（1）向量的加法与减法：三角形法则，平行四边形法则（几何表示的核心为分解为几个基

本向量来分析）。

（2）实数与向量的积。

??????22（3）向量的数量积：a?b?a?bcosa,b，（特殊地：a?a），

坐标表示如下：

??b=（x2，y2）向量的坐标表示a=（x1，y1），，

（x1?x2，y1?y2）（x1?x2，y1?y2）（1）加法：a?b?，减法：a?b?。 （?x1，?y1）（2）实数与向量的积：?b?。

（3）向量的数量积：a?b?x1x2?y1y2。

??22（4）若a=（x，y），则a=x?y

????22（5）若A（x1，y1）,B(x2,y2)则AB?(x2?x1)?(y2?y1)

2．3、平面向量基本定理

2．4、两个充要条件

?????如果b?0，则a∥b?a??b?x1y2?x2y1；

a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0。

2．5、向量的平移及定比分点坐标公式

图像按向量进行平移可以看成是函数图像的平移或是曲线方程中的相关点法

x起??x终?x???分1??定比分点坐标公式?

?y?y起??y终分?1???第 22 页 共 30 页

第三章、不等式选讲

3．1、比较大小的方法

（1）特殊值法(情况很多,结论唯一)。

?作差法?（2）比较法?作商法。

?平方作差法?（3）中间变量法

（4）利用函数的单调性。

3．2、含绝对值的不等式

?分类讨论（一个分两段，两个分三段） （1）去绝对值符号的方法?

平方? （2）f(x)?a(a?0)??a?f(x)?a； （3）a?b?a?b?a?b

3．3、不等式的解法(做解不等式的题目从识别不等式的名称开始)

什么是不等式的解？

不等式的解法：

（1）标准类型等价转化；

（2）构造函数看图像的高低所对应的x值也可得解集；

（3）对于比较特殊的式子情况,也可根据式子的特点直接得解集； （4）还有对于选择题，可以直接利用选择支来代入检验（PK法）。

3．4、不等式的证明

（1）比较法。 步骤：做差（做商）、变形（分解因式、配方）、判断符号（将商与1作比较）

（2）分析法(执果索因) (做题可以从题目条件出发, 也可以从结论条件出发,关键 （3）综合法(由因导果) 是要找出条件与结论的呼应关系) （4）放缩法(技巧性强)。 （5）反证法。

（6）三角代换法(看见两个平方数相加,和为常数)。 （7）数学归纳法。

（8）换元法（无论在那里使用换元法都应该注意变量的取值范围）。

3．5、二元或三元均值不等式 二元均值不等式

主要指两个式子：a,b?R,a?b?2ab （等号当且仅当a?b时成立） a,b?R?,a?b?2ab （等号当且仅当a?b时成立）

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22用后一个式子求最值要注意三个要素：①正；②定；③等号成立的条件。

三元均值不等式

a,b?R?,a?b?c?33abc （等号当且仅当a?b?c时成立）

3．5、线性规划

线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1） 根据题意，设出变量x,y； （2） 找出线性约束条件；

（3） 确定线性目标函数z?f(x,y);

（4） 画出可行域（即各约束条件所表示区域的公共部分）； （5） 利用线性目标函数作平行直线系f(x,y)?t(t为参数）；

（6） 观察图形，找到直线f(x,y)?t在可行域上使t取得最值的位置，以确定最优解，

给出答案。

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第四章、排列、组合与二项式定理

4.1、六个概念

分步计数原理、分类计数原理 、一个排列、排列数、一个组合、组合数

解排列组合应用题，要仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，按元素的性质分类，按事件发生的过程分步。要不然就等价转换。

如果题目中既要用到分类计数原理，又要用到分步计数原理，一般应遵循“先分类，再分步”原则。

4.2、常见的解题方法及策略

（！）直接法（以元素为主体或以位置为主体）与间接法（总数减去不满足要求的排列组合数）是解排列与组合问题的常用方法。 （2）常见的解题策略

①合理分类与准确分步策略； ②特殊元素优先安排策略；

③排列组合混合问题先选后排策略； ④正难则反、等价转换策略； ⑤相邻问题捆绑处理策略； ⑥不相邻问题插空策略；

⑦平均分组问题除法处理策略。

4.3、二项式定理

(a?b)?Cna?Cnan0n1n?11nnb???Cnb(n?1,2,3?)

（1）要求单独项或单独项的系数及二项式系数，都应想起利用通项公式：

Tr?1?Cnan?rbr(r?0,1,2,.....n)；

ra,b对于一切实数都成立 （2）要求系数和应想起赋值法：（识别成赋值型的恒成立问题）；

（3）n对于一切正整数都成立； （4）对于公式，要有正用，逆用的意识。

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第五章、复数

5．1．复数概念及有关性质

（1）定义：形如a+bi(a,b是实数）的数叫复数，其中a,b分别叫做复数的实部和虚部；

（2）分类：复数为实数、纯虚数的充要条件；

?a?ca?bi?c?di?（3）相等复数： ?b?d?（4）共轭复数：a?bi的共轭复数是a?bi （5）复数a?bi的模z?a2?b2

5．2.复数的运算

（！）加、减法；(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i （2）乘法类似于多项式的乘法，注意i??1； （3）复数的除法，技巧为分母实数化。

2a?bi(a?bi)(c?di) ?c?di(c?di)(c?di)对于乘除法,多注意以下几种特殊情况的应用:

(1?i)2??2i,

1331?ii)?1等。 ?i，(??221?i5．2.复平面及复数的几何表示

复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数‘

????一一对应?????向量OZ?????点Z(a,b) 复数的几何表示：z?a?bi(a,b是实数）一一对应

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三视图

算法与程序框图

极坐标与参数方程

概念：直角坐标方程是关于x,y的等式f(x,y)?0，

参数方程是关于x,y的两个等式??x?f(t)；

y?g(t)? 极坐标方程是关于?,?的等式f(?,?)?0

关键是会把参数方程和极坐标方程化成直角坐标方程，然后利用直角坐标方程解决问

题。

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宏观数学

1、数学能力在解决数学问题的过程中起决定性作用。数学所需各项能力如下

（1） 记忆能力（用笔记做基础，经常记忆）；

（2） 观察、联想能力（在观察的基础上结合记忆联想）；

（3） 逻辑推理能力（条件能否换个模样、多个条件入手条件的选择、多个条件中条件与

条件之间的关系、条件的发展要照顾到结论的发展、方法的选择等等。另外，正向思维、逆向思维及双向思维都是常见的推理方式）；

每一个数学问题都是从分析题目的条件或是从分析结论开始的。三种常用到的分析方式

从条件开始分析；②从得到结论的方法开始分析；③从条件及结论同时开始分析。重点是得到结论的方法，因为条件的发展要依赖于结论的需要。 一般说来,题目都离不开以下三种类型: 将条件化一下,到结论; 看得到结论需要寻找么;

同时将条件化一下, 看得到结论需要寻找么.

概念、法则、公式、定理条件A?????????条件B???条件C???结论D 思想、方法、策略、经验??条件B换种方式复制了一次） ?结论C即是将条件A???????（条件B??思想、方法、策略、经验隐含条件的挖掘；

题型也是一种重要的数学条件。

（4） 计算能力（平常数学问题一定要做到算出答案）；

式子的变形属于计算能力中的一个重要环节。要变形需要找准特征 绝对值

常见处理方式：① 对绝对值里边的值进行分类讨论去掉绝对值符号

② 如果是含绝对值的等式或是已知符号的不等式,可考虑两边平方去绝对值 ③ 两个绝对值在一起分三段讨论去绝对值符号或是利用其几何意义

分式

常见处理方式：① 通分

② 分式问题整式化是处理很多分式等式、不等式问题的常用方法

③ 分拆：

概念、法则、公式、定理a?bb=1+ aa④ y=

1x=(x>0) 21x?x?1x??1x根号

常见处理方式：①

x2=x

② 知道含根号的式子两端符号的前提下两边平方

③ 根号在分母中进行分母有理化运算, 根号在分子中{特别是两个根号在一起}

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进行分子有理化运算.

平方式

常见处理方式：因式分解、配方等 齐二次式的处理

常见处理方式：两边同除一个二次项 四项在一起

常见处理方式：常常进行分组分解. 对数式

常见处理方式：①会化成同底，②会指数式与对数式的互化，③会在式子两边取同底的对数，④对数的真数要为正。

（对于这一条还需不断总结完善）

对一个式子的可能不同处理方式： 两边平方； 两边取绝对值； 两边取倒数；

两边同时加、减、乘、除一个数； 两边取对数，等等。

（5） 表达能力（①表达就是要写清楚“因为”和“所以”；②表达要有意识省略若干计算

步骤；③表达一定要有严谨性；④答答案）。

2、分析数学问题常用到的四大数学思想方法 （1） 函数、方程与不等式

求方程的根要注意利用函数图像与x轴的交点；求取值范围要想到利用函数求值域的方法；解不等式要想到利用函数的单调性。求一个或若干个未知数的取值要注意列方程或方程组，解方程组的几种常见手段：

①猜根或验根；②单独计算———消元（在解方程的过程中一定要注意消元方法的使用）；③整体计算；④如果方程组有3个未知数，而方程组只有两个，将其中一个量看作是已知数，那么其他两个量都能由这个量来进行表示 （2） 数形结合的思想；

① 一个数学命题的三种表现形式：文字语言；数学语言；图形语言。要习惯将给出的

一种形式转化为其它两种形式。

② 画直角坐标系解决解决函数与解析几何题目。 ③ 画立体几何图形培养空间想象能力。 ④ 画数轴及文氏图解决集合题目。 ⑤ 画有向线段解决向量题目。 （3） 分类讨论的思想；

“数学使人严谨”的具体含义： ① 研究区间时一定要交代开闭；

② 研究取值范围一定要注意检验端点值； ③ 研究函数时一定要交待函数的定义域；

④ 研究函数的值域或最值问题时，一定要习惯给出取得最值时的自变量的取值； ⑤ 研究函数的单调性时一定要交代单调区间；

⑥ 等式两边同时除以一个数应注意这个数是否为零；

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⑦ 不等式两边同时乘以一个数应注意乘数的符号；

⑧ 研究等比数列的前n项和公式一定要分公比q?1或q?1来考虑； ⑨ 研究直线的斜率时一定要分斜率不存在或存在来考虑； ⑩ 用换元法解题时一定要考虑变量的取值范围；等等。 （4） 等价转换的思想（化繁为简、化不熟悉为熟悉等等）。

3、选择题的两种常见题型

（1）由题干直接可以选择结论；

（2）由题干直接不可以选择结论，需要对结论逐一代入检验。

4、数学客观题的几种特殊解法

特殊值法、数形结合法、验证法、排除法、PK法等。

5、解答题系列题的三种类型

（1）题目后面小问的解决需要用到前面小问的结论；

（2）题目后面小问的解决方法和前面小问的解决方法类似； （3）题目各小问之间的解答没有关系。

6、造成数学困难的几种方式 （1）直接与间接； （2）显性与隐含； （3）简单与复杂；

（4）条件与结论联系的紧密与松散； （5）基础知识常考常新。

7、数学学习动脑筋常体现在如下几个地方

（1）背诵记忆知识； （2）理解识别问题； （3）选择?

?条件的发展(包括式子的变形）?得到结论的方法。

8、对题目中字母的几种理解方式

与主要变量无关的字母叫参数。 （！）字母是当已知常数给出；当然，题目答案也可带字母；或可进行分类讨论； （2）字母可以根据题目的条件求出（注意利用逆向思维求的方式）。

如果在所给方程中含有字母参数，那么此方程的解中一般都含有字母；反过来，如果是所给字母参数方程中给出了解，那么这个字母一般都可以求出来；类似地，如果在所给不等式中含有字母参数，那么此不等式的解集中一般都含有字母；反过来，如果是所给字母参数不等式中给出了解的范围，那么这个字母一般都可以确定范围。

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