23.简单的面积问题（含答案） - 图文

23.简单的面积问题

知识纵横

几何起源于对图形的面积的测量,面积(area)是平面几何中一个重要的概念,求图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一.

平面几何图形形状不同,繁简不一,计算图形的面积有以下常用方法: 1.和差法

把图形面积用常见图形面积的和差表示,通过常规图形面积公式计算. 2.运动法

有时直接求图形面积有困难,可通过平移、旋转、割补等方式,将图形中的部分图形运动起来,把图形转化为容易观察或解决的形状,就可在动中求解. 3.等积变形法。

即找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形,通过代换转化求图形的面积.

例题求解

【例1】(1)如图a,边长为3cm,与5cm的两个正方形并排放在一起,在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心,边长为半径的圆弧,则阴影部分的面积是_____cm2.( ?取3).

(第13届“希望杯”邀请赛试题)

(2)如果图b中4个圆的半径都为a,那么阴影部分的面积为_______. (第17届江苏省竞赛题)

思路点拨 通过连结或补形,把图形进行分割和重新组合,变不规则图形为规则图形,(1)连AC、BF.

(2)连AD,BC,CD,则S阴影是由ABCD围成阴影面积的6倍. 解:(1)18.75 ∠EBF=∠FCA=45°,AC∥BF,S△AOF=S△BOC,S径的圆的面积;

(2)S=6S1=12a2-3?a2

- 1 -

阴影

=

1以B为圆心,BC?为半4

【例2】如图,梯形ABCD被对角线分为4个小三角形,已知△AOB和△BOC的面积分别为25cm2和35cm2,那么梯形的面积是_________m. A.144 B.140 C.160 D.无法确定

(2001?年“五羊杯”邀请赛试题)

思路点拨 图形隐含多对面积相等的三角形,要求梯形的面积只需求△DOC的面积,解题的关键是通过线段的比把三角形面积联系起来. 解:选A 提示: S△AOD = S△BOC =35(m2),

S?AODDOS?DOC== 求得S△DOC =49(m2) S?ABOBOS?BOC 【例3】根据图中绘出的小三角形面积的数据,求△ABC的面积.

(2000年新加坡数学竞赛题) 思路点拨 设S△AGE=x,S△BFG=y,建立关于x,y的方程组,通过代数化解题.

?x?35AGy?84????x?70?30GD40 解:提示:由图形得?,解得? ,故S△ABC=315.

y?5684FGy??????x?35GC40?30 【例4】如图,△ABC的面积为1,D、E为AC的三等分点,F、G为BC的三等分点.

求:(1)四边形PECF的面积. (2)四边形PFGN的面积.

思路点拨 (1)连CP,设S△PCF=x,S△PCE=y,可建立关于x,y的方程组,解题的关键是把相关图形的面积用x,y的代数式表示,并利用等分点导出隐含图形的面积;(2)连NC,仿(1),先求出△BNC的面积,再得出△BNG面积,进而可求四边形PFGN的面积.

1?x?3y?????11?3解:(1) ? ①+②,得x+y=,即S四边形PECF=

66?3x?y?1????3?(2)连NC,ND,设S△NGB =a, S△NCG =b,则S△NCG=2a, S△NEA=2b,

11??3a?b?a?????321则?,?解得?

?b?4?2a?3b?2???213?故S四边形PFGN= S△BEC - S△BNG –S四边形PECF=

1115 ???321642【例5】在方格纸中,每个小方格的顶点叫做格点,在2×2方格纸中,以格点连线为边作面积为2的多边形,请尽可能多地找出答案,?在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗?

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思路点拨 本例是一道开放式探索性问题,若没有规律性的认识,则难免遗漏或重复,适当的方法是:选择一些图形作基本图形,?再通过基本图形的组合尽可能多地找出解答. 解:提示:我们可以将以下7个图形作为基本图形,再通过基本图形的组合,?可以得到如下23个解答.

学力训练

一、基础夯实

1.如图1是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案,图中阴影部分为红色,若每个小长方形的面积都是1,则红色的面积是______. (2003年山西省中考题)

（1） （2） （3）

2.如图2,?4?个半径为1cm?的圆相靠着放在一个正方形内,?则阴影部分的面积是______cm2(精确到0.01)

3.如图3,在长方形ABCD中,E是AD的中点,F是CE的中点,若△BDF的面积为6平方厘米,则长方形ABCD的面积是_____平方厘米.

- 3 -

4.如图4,若长方形APHM、BNHP、CQHN的面积分别为7、4、6,?则阴影部分的面积是_______. (“五羊杯”竞赛题)

（4） （5） （6）

5.如图5,一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形,如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8,6,5,那么阴影部分的面积为( ).

A.

971015 B. C. D. (第17届江苏省竞赛题) 22386.如图6,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,所围成的图形(?阴影部分)的面积为( ). (2003年广东省中考题)

A.?a2-a2 B.2?a2-a2 C.

11?a2-a2 D.a2-?a2 247.如图7,△ABC中,点D、E、F分别在三边上,E是AC的中点,AD、BE、CF?交于一点

G,BD=2DC,S△GEC=3,S△GDC=4,则△ABC的面积是( ).

A.25 B.30 C.35 D.40 (2002年湖北省荆州市中考题)

ABC

（7） （8） （9）

8.如图8,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,AE、DE、BF、AF?把正方形分成8小块,各小块的面积分别为S1、S2、?S8,试比较S3与S2+S7+S8的大小,并说明理由. (第15届江苏省竞赛题)

9. 如图9，将△ABC分成面积相等的5部分,并指出面积相等的是哪5部分(?只在图上保留分割痕迹和必要的标注,不写作法). 二、能力拓展

10.2002年8月,在北京召开了国际数学家大会,大会会标如图10所示,?它是由四个相同的

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直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,则每个直角三角形的两条边的立方和等于______.

（10） （11） （12）

11.如图11,在长方形ABCD中,DM:MC=2:1,AN=a,NB=b,DN是以A为圆心,a为半径的一段圆弧,NK是以B为圆心,b为半径的一段圆弧,则阴影部分的面积S阴=____. (2003年广西竞赛题) 12.如图12,ABCD是平行四边形,E在AB上,F在AD上, S△BCE =2 S△CDF =

1S ? ABCD=1,4则S△CEF =_____. (第14届“希望杯”邀请赛试题)

13.如图13,三角形ABC的面积为1,BD:DC=2:1,E是AC的中点,AD与BE相交于点P,?那么四边形PDCE的面积为_______. (第17届江苏省竞赛题)

（13） （14） （15）

14.如图14,点E、F分别是长方形ABCD的边AB、BC的中点,连AF,CE,设AF、CE?交于点G,则

S四边形AGCDS长方形ABCD=( ). (2002年全国数学竞赛题)

A.

5432 B. C. D. 6543AE15.如图15,凸四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O点,若三角形AOD的面积是2,三角形COD的面积是1,三角形COB的面积是4,则四边形ABCD的面积是( ). A.16 B.15 C.14 D.13 (第15届“希望杯”邀请赛试题) 16.如图, S△ABC =1,若S△BDE = S△DEC = S△ACE,则S△ADE =( ).

BDC- 5 -

A.

1111 B. C. D. 567817.如图,△ABC的面积为1,分别延长AB、BC、CA到D、E、F,使AB=BD,BC=CE,CA=AF,连DE、EF、FD,求△DEF的面积.

FACBDE

18.如图,已知长方形的面积是36平方厘米,在边AB、AD上分别取点E、?F,?使得AE=3EB,DF=2AF,DE与CF的交点为O,求△FOD的面积.

(第11届“希望杯”邀请赛试题)

BEOAFCD

三、综合创新

19.有一个正方形的花坛,现要将它分成面积相同的8块,分别种上不同颜色的花. (1)如果要求这样分成的8块的形状也相同,请你画出几种设计方案;

(2)为了画出更多的设计方案,你能从中找出一些规律吗?

(3)如果要8块中的每4块形状相同,应如何设计?试尽可能精确地画出你的创意.

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20.如图,已知四边形ABCD面积为S,E、F为AB的三等分点,M、N为DC的三等分点.试用S的代数式表示四边形EFNM的面积.

DMNCA

EFB

答案

1.5 2.0.86 提示:通过分割组合,阴影部分是边长为2cm的小正方形中,?除去一个半径为1cm的圆所剩的部分. 3.48 4.8.5 提示:连HD

5.C 提示:设阴影部分面积为S,则 6.C 7.B

8.结论:S3=S2+S7+S8

提示:S1+S3+S6=S4+S3+S5=正方形面积的9.本题至少有以下4种不同的分法:

1,得S1+S2+S6+S7+S8=S1+S3+S6 2

10.在大正方形外面再补四个相同的三角形,形成正方形ABCD,则它的面积是13+12=25,得直角三角形两直角边之和为5,之差为1,从而它们的立方和为23+33=35.

- 7 -

5?21?2

-)a+(-)b+ab 64647112. 提示:连AC,DE,则S△BCE=1,S△CDF=,S平行四边形ABCD=4,

423AB=2EB,E为AB中点,AD=4FD,AF=AD,

433S△AEF =S△ADE =,

44137S△CEF =S平行四边形ABCD- S△BCE - S△CDF - S△AEF =4-1--=

244713. 提示:参见例4

3011.(

1?2x?y???414.D 提示:连BG 设S△AGE = S△BGE =x, S△CGF = S△BGF =y,则?

1?x?2y???415.B 16.B 提示: S△BDE = S△DEC = S△ACE =

SAE11? ,BD=DC, ?ADE?S?BDEBE2317.7 提示:连结AE,BF,CD

18.提示:设S△FOD =x, S△OBE =y,连结OB,OA, 则S△AOD =S△CDF =

3x, S△AOE =3y, S△AOB =4y, 21327 SABCD =12, S△COD =12-x, S△DAE = SABCD = 3821 由S△AOB + S△COD =SABCD得4y+12-x=18 ①

2273 由S△AOE = S△DAE - S△AOD,得-x=3y ②

22解由①、②联立的方程组,得x=4,故S△FOD =4(平方厘米)

19.以下方案仅供参考

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图①、②、③、⑧、⑨是由右边的基本图形拼成的，如果我们考虑用８个相同的基本图形拼成一个正方形的各种不同拼法，就得到更多的设计方案。因此，寻找更多的基本图形就成为一个富有创意的问题，而沿着这条解题思路走下去，我们将会得到各种各样的问题。 20.S

22S 提示:连DB,DE,EN,NB,则S△DEB =S△ABD, S△DNB =S△CBD,得S四边形

33321a,同理S四边形EFMN=S四边形DEBN. DEBN=32四边形EFMN

=

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