阶段滚动检测（三）

圆学子梦想 铸金字品牌

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阶段滚动检测(三)

第一～六章 (120分钟 150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(滚动单独考查)(2014·广东高考)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=( ) A.-3+4i B.-3-4i C.3+4i D.3-4i 2.不等式

>1的解集是( )

A.(-∞,3) B.(0,3) C.(1,3) D.(3,+∞)

3.(2015·滨州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则a2等于( ) A.4 B.2 C.1 D.-2

4.(滚动单独考查)若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 5.(2015·六盘水模拟)已知0

-loga

,则( )

+loga

,y=loga5,

A.x>y>z B.z>y>x C.z>x>y D.y>x>z

- 1 -

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6.(滚动单独考查)若O是△ABC所在平面内一点,且满足|

-|=|

+

-2

|,则△ABC一定是( )

A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

7.(滚动交汇考查)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( )

A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)

8.(2015·中山模拟)若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是

( )

A.(-,+∞) B.[-,1] C.(1,+∞) D.(-∞,-]

9.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a

( )

A.a

B.v= D.v=

10.数列{an},{bn}都是公差为1的等差数列,其首项分别为a1,b1,且a1+b1=5,a1>b1,a1,b1∈N*(n∈N*),则数列{

}的前10项的和等于( )

A.65 B.75 C.85 D.95

11.对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω

- 2 -

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为平面上的凸集,给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界):

其中为凸集的是( )

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

12.(滚动交汇考查)设动直线x=m与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则|MN|的最小值为( ) A.+ln2 B.-ln2 C.1+ln2 D.ln2-1

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.(2015·福州模拟)设a>b>c>0,x=z=

,y=

,

,则x,y,z的大小顺序是 .

14.(滚动单独考查)已知函数f(x)=ax2+4x+1在区间(-∞,1)有零点,则实数a的取值范围为 .

??y?2x?1,15.(2015·遵义模拟)若x,y满足条件?则z=x+3y的最大值为 .

??y?x?1,16.(滚动单独考查)如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小是 .

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三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)求证:若a>0,则

-≥a+-2.

18.(12分)(滚动交汇考查)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC. (1)求证:a,b,c成等比数列. (2)若a=1,c=2,求△ABC的面积S.

19.(12分)(滚动单独考查)(2015·赤峰模拟)如图,在△ABC中,

·

=0,|

|=8,|

|=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E

为l上异于D的任意一点, (1)求(2)判断

··

的值.

的值是否为一个常数,并说明理由.

20.(12分)(2015·衡阳模拟)某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地,地方政府准备在此建一个综合性休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,其总面积为3000平方米,其中阴影部分为通道,通道宽度为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶

- 4 -

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运动场地占地面积为S平方米.

(1)分别用x表示y与S的函数关系式,并给出定义域. (2)怎样设计能使S取得最大值,并求出最大值.

21.(12分)已知数列{an},{bn},其中a1=,数列{an}的前n项和Sn=n2an(n∈N*),数列{bn}满足b1=2,bn+1=2bn. (1)求数列{an},{bn}的通项公式.

(2)是否存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有1+++…+若存在,求出m的最小值.

22.(12分)(滚动交汇考查)已知函数f(x)=(1)求f(x)的极值.

(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数a的取值范围.

(a∈R).

<

恒成立?

- 5 -

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答案解析

1.D 方法一:因为|3+4i|=5,|3+4i|2=25, 所以z=3?4i=3-4i. 方法二:因为(3+4i)z=25, 所以z=

=3-4i.

-1>0,

2. C 不等式变形为>0,

<0,

即(x-3)(x-1)<0, 解得1

解得a1=2,所以S2=2a2-2=a1+a2, 即a2=a1+2=4,选A. 4.D 因为a⊥c,所以a·c=0, 又因为a∥b,则设b=λa, 所以c·(a+2b)=(1+2λ)c·a=0. 5.D x=loga(y=loga

·

)=loga=loga

, .

,z=loga

因为0

所以函数f(x)=logax是减函数, 故loga

,

即y>x>z.

- 6 -

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6.B 因为|=|所以|所以|所以

+

-2|=|-·

-|, +|=|=0,即

|

|, +⊥|,

,从而△ABC是直角三角形.

7.【解题提示】分x>1和x<1两种情况讨论单调性. C 当x>1时,f'(x)≥0,若f'(x)=0,则f(x)为常数函数, 若f'(x)>0,则f(x)为增函数,总有f(x)≥f(1). 当x<1时,f'(x)≤0,若f'(x)=0,则f(x)为常数函数. 若f'(x)<0,则f(x)为减函数,总有f(x)≥f(1), 所以f(x)在x=1处取得最小值.

即f(0)≥f(1),f(2)≥f(1),所以f(0)+f(2)≥2f(1).

【误区警示】此题很容易忽略分x>1和x<1两种情况讨论f(x)的单调性,导致得不到结论.

8.A 方法一:x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解转化为在区间[1,5]上存在x使不等式a>-x成立,设g(x)=-x,在[1,5]上为减函数, 故只需a>g(5)=-即可,即a的取值范围是(-,+∞).

方法二:令函数f(x)=x2+ax-2,若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上无解,则

??f?1??0, ?f5?0,????即??a?1?0,?5?5a?2?0,2

解得a≤-,

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所以使关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解的a的范围是(-,+∞). 9.A 设甲、乙两地之间的距离为s. 因为a

-a=

>=

=

<

=

.

=0,所以v>a.

10. C 应用等差数列的通项公式得 an=a1+n-1,bn=b1+n-1, 所以

=a1+bn-1

=a1+(b1+n-1)-1

=a1+b1+n-2=5+n-2=n+3, 所以数列{

}也是等差数列,且前10项和为

=85.

【方法技巧】构造等差数列求解

在等差数列相关问题中,有些数列不能直接利用等差数列的性质和求和公式,但是通过对数列变形可以构造成等差数列. (1)由递推公式构造等差数列

一般是从研究递推公式的特点入手,如递推公式an+1=2an+3·2n+1的特点是除以2n+1就可以得到下标和指数相同了,从而构造成等差数列{}. (2)由前n项和Sn构造等差数列. (3)由并项、拆项构造等差数列.

11.【解题提示】根据凸集的定义,结合图形的形状特征即可判定. B 根据凸集的定义,结合图形任意连线可得②③为凸集. 12.A |MN|=x2-lnx, 令f(x)=x2-lnx,f'(x)=2x-=

,

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当0时,f'(x)>0;

所以当x=时,f(x)有极小值也就是最小值,即f(x)min= f()=-ln=+ln2.故选A. 13.【解析】因为a>b>c>0,

所以y2-x2=b2+(c+a)2-a2-(b+c)2=2c(a-b)>0, 所以y2>x2,即y>x,

z2-y2=c2+(a+b)2-b2-(c+a)2=2a(b-c)>0, 故z2>y2,即z>y,故z>y>x. 答案：z>y>x

【一题多解】此题还有如下的解法 特值代换法,令a=3,b=2,c=1, 则x=

,y=

,z=

,

则xy>x. 答案：z>y>x

14.【解析】当a=0时,f(x)=4x+1, 函数f(x)的零点为x=-,符合题意, 当a>0时,只需Δ=16-4a≥0,即0

15.【解析】原不等式组变形为

- 9 -

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?x?0,?x?0,??y?2x?1,或??y??2x?1, ?y?x?1?y?x?1,??画可行域直线l0:y=-x,如图,

由??y?x?1,?x?2,得?

y?2x?1y?3,??即A(2,3),

由图可知在点A(2,3)处时,目标函数取得最大值,zmax=2+3×3=11. 答案：11

16.【解析】依题意,得AD=20

m,AC=30

m.

在△ACD中,CD=50m,由余弦定理,得cos∠CAD==

=,

又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,即张角为45°. 答案：45°

17.【解题提示】利用分析法证明.由a>0,将不等式两边平方,不等式仍成立,最后利用基本不等式得证.

【证明】要证原不等式成立,只需证因为a>0,所以两边均大于零. 因此只需证a2++4+4

≥a2++2+2+

- 10 -

+2≥a++.

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2(a+).

≥

(a+),

只需证2

只需证2(a2+)≥a2++2,即证a2+≥2, 而a2+≥2显然成立,所以原不等式成立. 【加固训练】已知a>6, 求证:

-<

-.

【证明】方法一: 要证只需证?(?2a-9+22a-9+2?

<

+-+)2<(

< ,

,

<<

+-+

)2

?(a-3)(a-6)<(a-5)(a-4), ?18<20.

因为18<20显然成立, 所以原不等式成立. 方法二:要证只需证<只需证>

+, +,

- 11 -

-

<-,

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因为a>6,所以a-3>a-4>a-5>a-6>0, 则

+

>

+

.

所以原不等式成立.

18.【解析】(1)在△ABC中,由于sinB(tanA+tanC)=tanAtanC, 所以sinB(=

·

,

+

)

所以sinB(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC. 所以sinBsin(A+C)=sinAsinC. 又A+B+C=π, 所以sin(A+C)=sinB, 所以sin2B=sinAsinC. 由正弦定理得b2=ac, 即a,b,c成等比数列. (2)因为a=1,c=2,所以b=由余弦定理得 cosB=因为0

=,

=

=.

.

故△ABC的面积S=acsinB=×1×2×=. 19.【解析】(1)由已知可得·=(

=(-+

)·(

-) =(

+

),

=

-,

)=(64-36)

- 12 -

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=14. (2)

·

的值为一个常数.

因为l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点, 所以

·

=0,故

·

=(

+

)·

=

·

+

·

=

·

=14.

20.【解析】(1)由已知xy=3000,所以y=S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a, 所以S=(2x-10)((2)S=3030-(≤3030-2

-3)=3030-(+6x)

,其定义域是(6,500).

+6x),其定义域是(6,500).

=3030-2×300=2430, 当且仅当

=6x,即x=50∈(6,500)时,上述不等式等号成立,此

时,x=50,y=60,Smax=2430.

答:设计x=50m,y=60m时,运动场地面积最大,最大值为2430平方米.

【加固训练】(2015·银川模拟)某食品加工厂定期购买玉米,已知该厂每天需用玉米6吨,每吨玉米的价格为1800元,玉米的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购买玉米每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次玉米,才能使平均每天所支付的费用最少?

【解题提示】平均每天所支付的费用=用的函数解析式,再利用基本不等式求其最值.

【解析】设该厂应每隔x天购买一次玉米,其购买量为6x吨,由题意知,玉米的保管等其他费用为

- 13 -

,先列出平均每天所支付的费

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3[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=3×设平均每天所支付的费用为Y1元, 则Y1==9x+

+1800×6

+10809≥2

+10809

=9x(x+1),

=10989, 当且仅当9x=

,即x=10时取等号.

该厂每隔10天购买一次玉米,才能使平均每天所支付的费用最少. 21.【解析】(1)因为Sn=n2an(n∈N*), 当n≥2时,Sn-1=(n-1)2an-1. 所以an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1. 所以(n+1)an=(n-1)an-1. 即

=

.又a1=, ·

·

·…·

所以an=··a1 =·=

·

·.

·…··

当n=1时,上式也成立, 故an=

.

因为b1=2,bn+1=2bn.

所以{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,故bn=2n. (2)由(1)知,bn=2n. 则1+++…+

=1+++…+

=2-- 14 -

.

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假设存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有1+++…+即2-由

<

恒成立.

<恒成立,

≥2,解得m≥16.

<

恒成立.此

所以存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有1+++…+时m的最小值为16.

【误区警示】此题会出现以下三点失分情况: (1)在an===

·

·

·

·

·…···a1

·…···

.出现n的取值的混乱.

.

(2)忘记验证当n=1时,上式也成立,故an=

(3)不会在数列中利用函数恒成立思想解决问题,造成(2)题不会做. 22.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=

,

令f'(x)=0得x=e1-a,

当x∈(0,e1-a)时,f'(x)>0,f(x)是增函数; 当x∈(e1-a,+∞)时,f'(x)<0,f(x)是减函数, 所以f(x)在x=e1-a处取得极大值, f(x)极大值=f(e1-a)=ea-1,无极小值. (2)①当e1-a-1时,

由(1)知f(x)在(0,e1-a)上是增函数,在(e1-a,e2]上是减函数, 所以f(x)max=f(e1-a)=ea-1,

因为f(x)的图象与g(x)=1的图象在(0,e2]上有公共点,

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所以ea-1≥1,解得a≥1,又a>-1,所以a≥1.

②当e1-a≥e2时,即a≤-1时,f(x)在(0,e2]上是增函数, 所以f(x)在(0,e2]上的最大值为f(e2)=所以原问题等价于

≥1,解得a≥e2-2.

,

又a≤-1,所以此时a无解. 综上,实数a的取值范围是[1,+∞).

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所以ea-1≥1,解得a≥1,又a>-1,所以a≥1.

②当e1-a≥e2时,即a≤-1时,f(x)在(0,e2]上是增函数, 所以f(x)在(0,e2]上的最大值为f(e2)=所以原问题等价于

≥1,解得a≥e2-2.

,

又a≤-1,所以此时a无解. 综上,实数a的取值范围是[1,+∞).

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/34na.html