中学九年级数学 3.7 弧长及扇形面积教案 北师大版

3.7弧长及扇形面积教案

教学目标:

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；

2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． 教学重点和难点：

重点：用弧长及扇形面积公式解决问题． 难点：弧长及扇形面积计算公式探索及应用． 教法与学法指导：

学生互相交流探索法.

本节课的内容为弧长及扇形面积，是在学习了圆的有关性质后，利用圆的性质探索推导弧长及扇形的面积，并能运用得出的结论进行有关计算，实质上是圆的有关性质的运用．本节的重点和难点是学生自己能推导并掌握弧长及扇形的面积，并能应用公式解决问题．

在教学中，教师不要急于给出学生公式，而要引导学生自己根据已有的知识推导公式．如果学生有困难，可以采取小组合作的形式解决．这样既能使学生有成就感，又能培养他们的探索能力，还能使所学知识掌握得比较牢固，那么运用公式进行计算来解决问题就比较容易了． 教具准备：PPT课件． 教学过程：

一、创设情境，引入新课

【师】同学们，春天到了，春季运动会也将在近日举行.你是否仔细观察过在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？

【生】不同.

【师】为什么不同？这样的起点位置对每位运动员公平吗？ 带着这样的疑问，本节课我们将一起走进“弧长及扇形面积”（教师板书课题:3.7弧长及扇形面积）．

设计意图：从学生熟悉的200米运动员的起点位置引入本课，让学生体会生活处处有数学，数学来源于生活这一事实．

实际效果：学生感受到数学在生活中的应用，增强了学生们的学习意识． 二、问题导学，自主探究 复习回顾： 【师】（多媒体出示问题） （1）圆的周长如何计算? （2）圆的面积如何计算? （3）圆的圆心角是多少度?

【生】若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr，圆的圆心角是360°．

【师】我们知道弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?

自主探究1：弧长的计算公式

2

【师】（多媒体出示问题）如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．

．

(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米? (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?

(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米? （学生独立思考2分钟，并尝试用语言准确的表述．）

【生1】(1)转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长.所以，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm．

【生2】(2) 因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周120??.所以，传送带上的物品A被传送?cm． 36036018 【生3】(3) 转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转l°时传送距离的n倍．所以，

长的

20?n?cm． ?36018 【师】根据上面的计算，你能探讨出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流．

传送带上的物品A被传送n×

【生】360°的圆心角对应圆周长为2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n× 【师】 表述得非常棒．

2?R?R，n°的圆心角?360180?R180?n?R． 180在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：l?n?R. 180【师】请同学们用半分钟时间对公式进行记忆和书写. 【生】（边读、边写，加强公式的记忆）

【师】我们发现，弧长公式与半径R、圆心角n有着密切的关系.现在，你能解释一下这节课开头关于“200米起跑位置不同”的原因吗？

【生】因为处于外跑道同学所在圆的半径大，若在同一起点，则外跑道学生所跑的“弧长”大于内跑道学生所跑的“弧长”，因此，处于外跑道的学生起点要比内跑道学生的起点靠前.

【师】很好，这位同学能将“200米弯道跑”的问题转化为“弧长”问题，从而进行说理，请同学们体会这种转化思想的应用.

设计意图：承接创设的问题情境，让学生回顾圆的有关知识，并利用圆的性质探索推导弧长公式，能用得出的结论进行说理，实质上是圆的有关性质的运用．并掌握用公式解决实际问题的一般思路，提高学生的建构能力．

实际效果：学生可根据已有的知识得出弧长公式，在说理问题上，部分学生还需再仔细斟酌． 【师】下面我们看弧长公式的运用（多媒体出示例1）．

例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0．1 mm)．

【师】要求管道的展直长度．转化成数学问题，即已知什么？求什么？如何

计算？

【生】管道的展直长度即弧AB的长，已知R＝40mm，n=110°，根据弧长公式l＝的长． 【生】（板书解题过程）解：∵R＝40mm，n=110°．

n?R可求得弧AB180n110πR=×40π≈76.8 mm． 180180 因此，管道的展直长度约为76.8 mm．

设计意图：让学生利用公式进行弧长的有关计算，明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切，熟练公式的应用.实物投影展示解题过程的同时，规范学生的书写．

实际效果：学生可根据已有的知识得出弧长公式，然后利用公式解决问题，学生解决此题的效果较好.少数同学的计算能力有待加强．

自主探究2：扇形面积计算公式 【师】（多媒体出示问题）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．

(1)这只狗的最大活动区域有多大？

(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大? 【生】（2分钟时间思考，并口述思考过程）

【生1】(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π. ∴弧AB的长l=

【生2】(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积是9π，

1??n?1，即×9π=，n°的圆心角对应的圆面积为n×=．

404040360360 【师】由此实际问题，你能总结扇形的面积公式吗？ 1°的圆心角对应圆面积的

【生】如果圆的半径为R，则圆的面积为πR，1°的圆心角对应的扇形面积为

2

?R2360，n°的圆心角对

n?R2应的扇形面积为n·=．

360360n2πR，其中R为扇形的半径，n为圆心角． 360【师】请同学们用半分钟时间对公式进行记忆和书写. 【生】（边读、边写，加强公式的记忆） 【师】（多媒体出示例2）请同学们利用扇形面积公式完成下题.

例2 扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求弧AB的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面

2

积(结果精确到0.1cm)

【生】（4分钟时间思考并板书，加强对公式的记忆与应用）

因此扇形面积的计算公式为：S扇形= 解：弧AB的长l= S扇形=

?R2120π×12=8π≈25.1cm： 18012022

π×12=48π≈150.7 cm． 360因此，弧AB的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 cm．

设计意图：引导学生自己根据已有的知识推导公式．通过引例初步掌握如何解决与扇形有关的实际问题，教师此时乘胜追击，再出示课本问题，让学生及时巩固解决实际问题的方法.并能积极进入探究过程．

实际效果：在上题的探究中，学生完成较好，但部分学生在计算上显得比较吃力． 三、合作探究，展示交流 弧长与扇形面积的关系

【师】我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式

2

nn2

πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和180360圆心角n和半径R，因此，l和S之间有什么关系吗?换句话说，能否用弧长表示扇形面积呢？请大家互相交流．

【生】（对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流．） 为l＝

【生】 解∵l=∴

nn2

πR，S扇形=πR， 180360R nn21πR=R·πR．

2360180l

1lR． 2【师】你能否发现，扇形面积的第二个计算公式类似于哪种图形的计算公式？ 【生】与三角形的面积公式类似.

【师】很好，我们可以类比三角形的面积公式记忆此公式. 【师】因此，我们发现，计算扇形面积有几种方法？ 【生】两种.

【师】若已知圆心角和半径，选择哪个公式？若知道弧长和半径，选择哪个公式？ ∴S扇形=【生】若已知圆心角和半径，选择S扇形＝

1n2

πR，若知道弧长和半径，选择S扇形=lR．

2360【师】在例2中，计算出弧AB的长后，我们还可以怎样计算扇形AOB的面积？ 【生】S扇形=

11lR =×8π×12≈150.7 cm2． 22设计意图：由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍有些困难，因此，在探讨公式后，让学生直接再利用公式法确定问题的答案，这样可以让部分学生恢复解题的自信.

实际效果：学生能够仿照公式法书写此题的解题过程，解题的积极性较高，部分学生为有了第二公式法解决问题而高兴.

四、训练反馈，应用提升

1. 一个扇形的圆心角为90，半径为2，则弧长= ，扇形面积= .

2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该扇形的圆心角为 .

3. 如图.水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.9cm,求截面上有水部分的面积.(结果保留根号)

o

求图中五个扇形的面积之和（阴影部分）．

4. 如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE，设计意图：这里可以说是弧长公式及扇形面积公式的应用，选择公式时，需要学生对公式的灵活掌握.在探讨弓形的面积公式时，可以采取小组合作的形式解决.让学生在共同参与的基础上掌握解决问题的方法.其中，第3题使用图形面积的和计算阴影面积，而第4题采用转化的方法，将五个扇形转化为

3个2圆的面积计算．

实际效果：学生对这后两个题感到有一定的困难，但采取小组合作的形式解决能够基本解决.解题的积极性较高，部分学生为解决问题而高兴，有些学生需要个别辅导．

五、课时小结，纳入系统

【师】通过本课的学习，你用掌握了哪些知识和解题方法？ 【生1】本节课学习了如下内容： 1．探索弧长的计算公式l＝ 2．探索扇形的面积公式S＝

nπR，并运用公式进行计算； 180n2

πR，并运用公式进行计算； 3603．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．

【生2】在计算阴影面积问题时，可以通过规则图形的面积的和或差求解，也可以通过图形变化转化为规则图形求解.

设计意图：本课课堂容量较大，有小部分学生跟不上，让学生总结本课的学习内容，更利于学生梳理本课的知识点.

实际效果：只有少部分学生能够清晰的进行归纳，其余同学在这少部分学生的带领下都能明确本课的重点.

六、当堂检测，达成目标

1．已知扇形的圆心角为60°，半径为5，则扇形有周长为（ ）

5A．π

35B．π＋10

350 C．

5π 6D．

5π＋10 62．圆环的外圆周长为250cm，内圆周长为150cm，则圆环的宽度为（ ） A．100cm

B．

? C．

25? D．

100?

3．弧长等于半径的圆弧所对应的圆心角是（ ） A．

360??2π3

B．

180?? C．

60?? D．60°

4．正三角形ABC内接于半径为2cm的圆，则AB所对弧的长为（ ） A．

B．

4π 3

8C．π

3

D．

48π或π3 3

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