固定收益证券计算题

计算题

题型一：计算普通债券的久期和凸性

久期的概念公式：D??t?Wt

t?1N其中，Wt是现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价格的比重。且以上求出的久期是以期数为单位的，还要把它除以每年付息的次数，转化成以年为单位的久期。

久期的简化公式：D?1?y(1?y)?T(c?y)? Tyc[(1?y)?1]?y其中，c表示每期票面利率，y表示每期到期收益率，T表示距到期日的期数。

1凸性的计算公式：C?(1?y)2?(tt?1N2?t)?Wt

其中，y表示每期到期收益率；Wt是现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价格的比重。且求出的凸性是以期数为单位的，需除以每年付息次数的平方，转换成以年为单位的凸性。

1

例一：面值为100元、票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，如果到期收益率（折现率）为10%，计算它的久期和凸性。

100?8%?4 实际折现率：?5% 每期现金流：C?22

息票债券久期、凸性的计算 时间（期现金流现金流的现值 权重 时间×权重 (t2+t)×Wt 数） （元） （元） （Wt） （t×Wt） 1 4 0.0401 0.0401 0.0802 4?3.8095 3.8095（） (1?5%)94.9243 2 4 0.0382 0.0764 0.2292 4?3.6281 (1?5%)2 3 4 4?3.4554 (1?5%)34?3.29084(1?5%)0.0364 0.1092 0.4368 4 4 0.0347 0.1388 0.6940 5 4 4?3.1341 5(1?5%)104?77.6064(1?5%)60.0330 0.1650 0.9900 6 104 0.8176 4.9056 34.3392 总计? 94.9243 1 5.4351 36.7694 即，D=5.4351/2=2.7176

利用简化公式：D?1?5%(1?5%)?6?(4%?5%)??5.4349（半年） 5%4%?[(1?5%)6?1]?5%即，2.7175（年）

36.7694/（1.05）2=33.3509 ；

以年为单位的凸性：C=33.3509/（2）2=8.3377

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利用凸性和久期的概念，计算当收益率变动1个基点（0.01%）时，该债券价格的波动

?利用修正久期的意义：?P/P??D*??y

D*?2.7175?2.5881（年）

1?5%

当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，

?P/P??2.5881?0.01%??0.0259%；

当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，

?P/P??2.5881?(?0.01%)?0.0259%。

12?凸性与价格波动的关系：?P/P??D*??y??C???y?

2

当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，

1?P/P??2.5881?0.01%??8.3377?(0.01%)2??0.0259%；

2

当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，

1?P/P??2.5881?(?0.01%)??8.3377?(0.01%)2?0.0676%

2

又因为，债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感，所以凸性的估计结果与真实价格波动更为接近。

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题型二：计算提前卖出的债券的总收益率

?(1?r1)n?1?首先，利息+利息的利息=C???；r1为每期再投资利率；

r1??然后，有 债券的期末价值=利息+利息的利息+投资期末的债券价格；

其中，

CFC1?(1?r2)?NF投资期末的债券价格：P??； ???tNN(1?r2)r2(1?r2)t?1(1?r2)N??N为投资期末距到期日的期数；r2为预期的投资期末的每期收益率。

例二：投资者用905.53元购买一种面值为1000元的8年期债券，票面利率是12%，半年付息一次，下一次付息在半年后，再投资利率为8%。如果债券持有到第6年（6年后卖出），且卖出后2年的到期收益率为10%，求该债券的总收益率。

解：

1000?12%8%C??60r1??4%r2??5%

222?(1?4%)12?1? 6年内的利息+6年内利息的利息=60????901.55元

4%??60?1?(1?5%)?41000 第6年末的债券价格=??1035.46元

5%(1?5%)4所以，

6年后的期末价值=901.55+1035.46=1937.01元

总收益=1937.01-905.53=1031.48元 半年期总收益率=12??1937.01?1?6.54%

905.53总收益率=（1+6.54%）2-1=13.51%

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题型三：或有免疫策略（求安全边际）

例三：银行有100万存款，5年到期，最低回报率为8%；现有购买一个票面利率为8%，按年付息，3年到期的债券，且到期收益率为10%；求1年后的安全边际。

解：

?银行可接受的终值最小值：100×(1+8%)5=146.93万元； ?如果目前收益率稳定在10%：

触碰线：

146.93?100.36万元

(1?10%)48108?=104.53万元；

1?10%(1?10%)2 1年后债券的价值=100×8%+

?安全边际：104.53-100.36=4.17万元；

A

B触碰线

所以，采取免疫策略为卖掉债券，将所得的104.53万元本息和重新投资于期限为4年、到期收益率为10%的债券。

4104.53?(1?10%)债券年收益率=5?1?8.880

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题型四：求逆浮动利率债券的价格

例四（付息日卖出）：已知浮动利率债券和逆浮动利率债券的利率之和为12%，两种债券面值都为1万，3年到期。1年后卖掉逆浮动利率债券，此时市场折现率（适当收益率）为8%，求逆浮动利率债券的价格。

解：

?在确定逆浮动利率债券价格时，实际上是将浮动和逆浮动利率这两种债券构成一个投资组合，分别投资1万元在这两种债券上，则相当于购买了票面利率为6%、面值为1万元的两张债券。又因为在每个利息支付日，浮动利率债券价格都等于其面值，所以逆浮动利率债券价格易求。

?1年后，算票面利率为6%，面值为1万的债券价格

P?60010600??9643.347元

(1?8%)(1?8%)2?P逆=2P-P浮=2×9643.347-10000=9286.694元

题型五：关于美国公司债券的各种计算（债券面值1000美元、半年付息一次）（YTM实为一种折现率）

例五：现有一美国公司债券，息票利率为8%，30年到期，适当收益率为6%，求债券现在的价值？

解：

因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：

?1?(1?3%)?60?1000401000=+=1276.76元 P???40???60n60(1?3%)(1?3%)3%n?1(1?3%)??60

例六：现有一美国公司债券，息票利率为8%，30年到期，假设现在的售价为676.77美元，求债券到期收益率？

解：

因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：

?1?(1?YTM)?60?4010001000= 676.77???40????n6060(1?YTM)(1?YTM)YTM(1?YTM)n?1??60通过上式求出该债券的半年期到期收益率为6%，因此该债券的年到期收益

率为6%×2=12%

例七：美国债券市场上交易的一种零息债券，距到期日还有10年，到期价值为5000元，年适当贴现率是8%，计算该债券的价值。

解：

因为该债券半年付息一次，所以每期贴现率为8%/2=4% n=20

P=

5000=2281.93元 20(1?4%)

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例八：一种美国公司债券，票面利率是10%，2008年4月1日到期。每年的4月1日和10月1日分别支付一次利息。如果投资者在2003年7月10日购买，该债券的适当贴现率是6%，则该债券的净价是多少？全价是多少？（采用360天计算）

解：

2003年7月10日距下一次利息支付日10月1日还有81天，且利息支付期为半年，即180天。那么n=81/180=0.45。

P?5050501050??......???1189.79元

(1?3%)0.45(1?3%)1.45(1?3%)8.45(1?3%)9.45即该债券的净价为1189.79元

又因为距上一次付息日为180-81=99天，所以

99AI?50??27.5元

180即该债券的全价为27.5+1189.79=1217.29元

例九：在美国债券市场上有一种2年期的零息债券，目前的市场价格为857.34元，计算该债券的年到期收益率。

解：

因为该债券为票面价格为1000元，半年付息一次，所以：

857.34?1000 4(1?YTM)通过上式求出该债券的半年到期收益率为3.9%，因此该债券的年到期收益率为3.9%×2=7.8%

例十：美国债券市场上有一种债券，票面利率为10%，每年的3月1日和9月1日分别付息一次，2005年3月1日到期，2003年9月12日的完整市场价格为1045元，求它的年到期收益率。（按一年360天计算）

解：

2003年9月1日距下一次利息支付日2004年3月1日还有169天，半年支付一次。即n=169/180=0.9389

又因为全价=净价+应付利息

180?169AI?50??3.06元

180所以，净价=1045-3.06=1041.94元 即，

1041.94?50501050??(1?YTM)0.9389(1?YTM)1.9389(1?YTM)2.9389

该债券的半年到期收益率为YTM=3.58% 年到期收益率为3.58%×2=7.16%

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题型六：交税方法

例十一：一种10年期基金，票面利率为6%、按年付息、持有到期。政府对其收税，税率为20%。现有两种交税方式：?一年一付；?到期时一起付；问选择哪种交税方式更好？（改变哪个数值会造成相反的结果）

解：设在某年年初购买该基金；基金面值为100元； 市场适当收益率为r；

?一年一付（年末付）：

每年年末应交：100?6%?20%?1.2元

1.21.21?(1?r)?10现值：PV1?? ?nrn?1(1?r)10??

?到期时一起付

总利息为：10×1.2=12元 现值：PV2?12 10(1?r)若PV1?PV2,则r?1%

所以：?当市场适当收益率为1%时，两种交税方式都可以； ?当市场适当收益率大于1%时，选择到期一起付； ?当市场适当收益率小于1%时，选择一年一付。

附：课上提过的重点题

例十二：有一个债券组合，由三种半年付息的债券组成，下次付息均在半年后，每种债券的相关资料如下：

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债券名称 到期时间面值（元） 市场价格到期收益率（年） （元） （年率） A 6% 6 1000 951.68 7% B 5.5% 5 20 000 20 000 5.5% C 7.5% 4 10 000 9831.68 8% 求该债券组合的到期收益率。（步骤：1、列表 ；2、列方程 ） 解：

?若考试时试题未给出债券的市场价格，必须计算出来。

A：951.68??B：20000??10 票面利率 301000 ?n12(1?3.5%)n?1(1?3.5%)1255020000（平价出售） ?n10(1?2.75%)(1?2.75%)n?137510000 ?n8(1?4%)n?1(1?4%)8C：9831.68???该债券组合的总市场价值为：

951.68+20 000.00+9 831.68=30 783.36元

?列表：r为债券组合的到期收益率 期数 A的现金流B的现金流C的现金流（元） （元） （元） 1 30 550 375 2 30 550 375 3 30 550 375 4 30 550 375 5 30 550 375 6 30 550 375 7 30 550 375 8 30 550 10 375 9 30 550 10 30 20 550 11 30 12 1030 总市场价值 债券组合的现金流（元） 955 955 955 955 955 955 955 10 955 580 20 580 30 1030 总现金流的现值（元） 955/(1+r) 955/(1+r)2 955/(1+r)3 955/(1+r)4 955/(1+r)5 955/(1+r)6 955/(1+r)7 10955/(1+r)8 580/(1+r)9 20580/(1+r)10 30/(1+r)11 1030/(1+r)12 30 783.36

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④列方程：

1?(1?r)?7109555802058030103030783.36?955??????r(1?r)8(1?r)9(1?r)10(1?r)11(1?r)12

r?3.13%

所以该债券的半年期到期收益率为3.13%；其年到期收益率（内部回报率）为6.26%。

例十三：APR与EAR的换算

公式：

EAR?(1?APRn)?1n

其中：EAR为实际年利率；APR为名义年利率；n为一年中的计息次数；

A债券的年利率为12%，半年支付一次利息。B债券的年利率为12%，每季度支付一次利息。C债券的年利率为10%，每季度支付一次利息。求这三种债券的实际年收益率。

?12%?A：EAR??1???1?12.36%

2???12%?B：EAR??1???1?12.55%

4???10%?C：EAR??1???1?10.38%

4??注：名义利率一样，付息次数越多，实际收益率越大；

付息次数一样，名义利率越大，实际收益率越大。

例十四：求债券总收益或总收益率（与题型二对比 此题没有提前出售债券这一条件 故较为简单）

此时，债券的期末价值=总的利息+利息的利息+债券面值

总收益 =债券实际总价值-购买债券时的价格

求总收益率：

公式：每期收益率=（期末价值/期初价值）1/n-1 实际年收益率=（1+每期收益率）m-1

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