物理光学 梁铨廷 答案

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第一章 光的电磁理论

1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez= 102 os ×1014

+

2

，

（各量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。

解：由Ex=0，Ey=0，Ez= 102 os ×1014

+

，则频率υ=

×1014

2

2

=

2

=0.5×

1014Hz，周期T=1/υ=2×10-14s，初相位φ0=+π/2（z=0，t=0），振幅A=100V/m，

波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。

1.2.一个平面电磁波可以表示为Ex=0，Ey=2Cos 2 ×1014

t +

2

，Ez=0，求：（1）

该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位是多少？（2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？（3）与电场相联系的磁场B的表达式如何写？

解：（1）振幅A=2V/m，频率υ= ×1014

2

=

22

=

1014Hz，波长λ=

3×108υ

=

10=3×10 6 ，原点的

初相位φ0=+π/2；（2）传播沿z轴，振动方向

沿y轴；（3）由B=1

× ，可得By=Bz=0，

Bx=2 os

2 ×1014

t +2

1.3.一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为Ey=0，Ez=0，Ex=102 os

×1015

0.65c

t ，

试求：（1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。 解：（1）υ=

×10152 =

2 ×1014Hz； （2）λ=

2 2

= ×10/0.65c

=

2×0.65×3×108

10m=3.9×

10 7 =390nm；

（3）相速度v=0.65c，所以折射率n=

=

0.65c

≈1.54

1

.4写出：（1）在yoz平面内沿与y轴成θ角的

方 向

传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。

解：（1）由 = exp i ，可得

= exp ik cosθ+zsinθ ； （2）同理：发散球面波

，t = exp ikr = 1

exp ikr ， 汇聚球面波

，t = exp ikr = 1

exp

ikr 。 1.5一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。其频率为4×1014Hz，电场振幅为14.14V/m，如果该电磁波的振动面与xy平面呈45º，试写出E，B表达式。

解： = + ，其中 =10exp 2

2πυt

=10exp

2

2πυt

=10exp

2 ×4×1014

3×10 2π×4×1014

=10exp 83

×106 3×108 ，

同理： =10exp 8

3×106 3×108 。

=1

0× = +

，其中 =108

3×10exp 3

×106 3×108 = 。

1.6一个沿k方向传播的平面波表示为

E=100exp 2 +3y+4z 16×105 ，试求k方向的单位矢 。

解：

= = ， 又 =2 +3 +4 ， ∴ 02 +3 +4

。

1.9证明当入射角 1=45º时，光波在任何两种介质分界面上的反射都有 = 2。

证明： =sin 1 2

sin45ºcos 2 cos45ºsin 2sin 1+ 2

=

sin45ºcos 2+cos45ºsin

2

=

cos 2 sin 21 tan 2cos 2+sin 2

=

1+tan 2

tan =

1 2

12

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=

tan45º tan 2 / 1+tan45ºtan 2 22 tan45º+tan 2 / 1 tan45ºtan =

1 tan2

1+tan 2

= 2

1.10证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，下表面的入射角也是布儒斯特角。 证明：由布儒斯特角定义，θ+i=90º，

设空气和玻璃的折射率分别为 1和 2，先由空气入射到玻璃中则有 1sin = 2sin ，再由玻璃出射到空气中，有 2sin ′= 1sin ′， 又 ′= ，∴ 1sin ′= 1sin ′= ， 即得证。

1.11平行光以布儒斯特角从空气中射到玻璃 =1.5 上，求：（1）能流反射率 和 ；（2）能流透射率 和 。 解：由题意，得 =

2 1

=1.5，

又 为布儒斯特角，则 + =90°.....① 1 = 2 = ..... ② 由①、②得， =56.31°， =33.69°。 （1） = 2

+

=0，

=

2 +

=0.148=14.8%，

（2）由 + =1，可得 =1，

同理， =85.2%。

1.12证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的分界面上时， =1 ，其中 = 2∕ 1。 证明： =

2sin 2cos 1

sin 1+ 2 cos 1 2

1为布儒斯特

角，所以 2+ 1=90°， =2sin 2cos 1=2sin 2cos 1

1222=

2sin 2cos 1

=

2sin 2cos 12sin 2 2

2sin 2cos 2

=

sin sin 又根据折射定律1

1sin 1= 2sin 2，得

sin 2 1=1

sin

1

=

2

则 =1

= 2∕ 1，得证。

1.17利用复数表示式求两个波 1= cos + 和 2= cos 的合成。

解： = 1+ 2= cos + cos = exp + exp = exp ikx

=2 sin exp cos sin

= 2 +

2

sin 。

1.18两个振动方向相同的单色波在空间某一点产生的振动分别为 1= 1 1 和 2= 2cos 2 。若 =2 ×1015Hz， 1=6V/m， 2=8V/m， 1=0， 2= ∕2，求该点的合振动表达式。

解： = 1+ 2= 1 1 + 2cos 2 =6cos 2 ×1015 +8

2 2 ×1015

=6 2 ×1015 +8 2 ×1015 =10

61510

2 ×10

=10 53°7′48′′ 2 ×1015 。

1.20求如图所示的周期性三角波的傅立叶分析表达式。

解：由图可知， = 0< ≤ 2 + ∕2< ≤ ，

2

0=

0=2

∕2

0

+ ∕2( + ) =

2

，

2

=

0=2

2

（ 0

cos + 2 cos ）

=2

228 2

·

2

2 =

2 2 2

=

2 2 2 2

，（m为奇

数）， =2

0 =0，

所以 =

2 ∞

4 =1 cos 2

=

2 cos (

1+

cos3 3+

cos5 4

5+···)。

1.21试求如图所示的周期性矩形波的傅立叶级数的表达式。

解：由图可知， =1 ∕ < < ∕ ，

=2 ∕

240 = + =00 ∕

=2

0

2 =

cos +

0 cos

=

2

sin

2

， =2

0 =0，

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所以 =2

+

∞

2

=1

sin

2

cos 。

1.22利用复数形式的傅里叶级数对如图所示的周期性矩形波做傅里叶分析。

解：由图可知， = 1 0< < 2 1 2< < ，

0=2

∕2

0 = 0

+ ∕2 1 =0，

=2

0 =0，

=2

0 ，

=2

0sin ∕2sin

=

1

2 2cos ，

1

∞

所以 =1

=1

2 2cos sin

=4 sin +1sin3 +1

sin5 +···

1.23氪同位素 86

放电管发出的红光波长为 =605.7nm，波列长度约为700mm，试求该光波的波长宽度和频率宽度。

解：由题意，得，波列长度2 =700 ， 由公式 =

2605.722

=

700×106

=5.2×10 4nm，

又由公式2 = / ，所以频率宽度 =

82 3 =4.3×108

=

3×10700×10

。

1.24某种激光的频宽 =5.4×104Hz，问这种激光的波列长度是多少？ 解：由相干长度D = 2c

=

2 =

23

=

c

=

3×1085.4×104

=5.55×10 。

第二章 光的干涉及其应用

2.1在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，其厚度 =0.01mm，折射率 =1.5，若光波波长为500nm，试计算插入玻璃片前后光束光程和相位的变化。

解：由时间相干性的附加光程差公式 = 1 = 1.5 1 ×0.01mm=0.005mm，

=

2

=

2 500×10×0.005=20 。

2.2在杨氏干涉实验中，若两小孔距离为0.4mm，观察屏至小孔所在平面的距离为100cm，在观察屏上测得的干涉条纹间距为1.5cm，求所用光波的波。 解：由公式 =

=

=

1.5×10 3×0.4×103

100×10 =6×10 7 =600nm。

2.3波长为589.3nm的钠光照射在双缝上，在距双缝100cm的观察屏上测量20个干涉条纹的宽度为2.4cm，试计算双缝之间的距离。

解：因为干涉条纹是等间距的，所以一个干涉条纹的宽度为 =2.420

cm。又由公式 =

得双缝间距

离 =

=

589.3×10 6×100×10

10×2.4∕20

mm=0.491mm。

2.4设双缝间距为1mm，双缝离观察屏为1m，用钠光照明双缝。钠光包含波长为 1=589nm和 2=589.6nm两种单色光，问两种光的第10级亮条纹之间的距离是多少？

解：因为两束光相互独立传播，所以 1光束第10级亮条纹位置 1= 1

， 2光束第10级亮条纹位

置 2= 2

= 2 1=

2 1

=

10×1000

1× 589.6 589 ×10 6=6×10 3mm。

2.5在杨氏双缝干涉的双缝后面分别放置 1=1.4和 2=1.7，厚度同为t的玻璃片后，原来中央极大所在点被第5级亮纹所占据。设 =480nm，求玻璃片厚度t以及条纹迁移的方向。 解：由题意，得 2 1 =5 ， 所以 =

5 5×480×10 9

6 2 1

=

1.7 1.4

=8×10 =8 ，

条纹迁移方向向下。

2.6在杨氏双缝干涉实验装置中，以一个长30mm的充以空气的气室代替薄片置于小孔 1前，在观察屏上观察到一组干涉条纹。继后抽去气室中空气，注入某种气体，发现屏上条纹比抽气前移动了25个。已知照明光波波长为656.28nm，空气折射率 =1.000276，试求注入气室内的气体的折射率。 解：设注入气室内的气体的折射率为 ，则 =25 ，所以 =

25

+

25×656.28×10 9=+1.000276

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=5.469×10 4+1.000276=1.000823。 2.7杨氏干涉实验中，若波长 =600nm，在观察屏上形成暗条纹的角宽度为0.02°，（1）试求杨氏干涉中二缝间的距离？（2）若其中一个狭缝通过的能量是另一个的4倍，试求干涉条纹的对比度？ 解：角宽度为 =0.02°×180

，

所以条纹间距 =

=

6000.02°×

=1.72mm。

由题意，得 1=4 2，所以干涉对比度 =2 122× 22

==4 5=0.8

12222.8若双狭缝间距为0.3mm，以单色光平行照射狭缝时，在距双缝1.2m远的屏上，第5级暗条纹中心离中央极大中间的间隔为11.39mm，问所用的光源波长为多少？是何种器件的光源？ 解：由公式 = +1

2

=

+

2

=11.39×10 3×0.3×10 312× 4+0.5

=632.8nm。

此光源为氦氖激光器。

2.12在杨氏干涉实验中，照明两小孔的光源是一个直径为2mm的圆形光源。光源发光的波长为500nm，它到小孔的距离为1.5m。问两小孔可以发生干涉的最大距离是多少？

解：因为是圆形光源，由公式 =1.22 ∕ ， 则 =

1.22 1.22×500×10 6×1.5×103

=

2

=0.46mm。 2.13月球到地球表面的距离约为3.8×105km，月球的直径为3477km，若把月球看作光源，光波长取500nm，试计算地球表面上的相干面积。 解：相干面积 =

0.61× 2

= × 0.61×500×10 6×3.8×10112

=3.49×10 3 2。

2.14若光波的波长宽度为 ，频率宽度为 ，试证明：

=

。式中， 和 分别为光波的频率

和波长。对于波长为632.8nm的氦氖激光，波长宽度为 =2×10 8nm，试计算它的频率宽度和相干长度。

解：证明：由 =c = 2 ，则有 = 2 = = ∕

=

，取绝对值得证。

相干长度 =632.82 = 2 2×10 8

=2.0×

1013nm=20km， 频率宽度 =

=

3×10820×10

=1.5×104Hz。

2.15在图2.22（a）所示的平行平板干涉装置中，若平板的厚度和折射率分别为 =3mm和 =1.5，望远镜的视场角为6°，光的波长 =450nm，问通过望远镜能够看见几个亮纹？

解：设能看见 个亮纹。从中心往外数第 个亮纹对透镜中心的倾角 ，成为第N个条纹的角半径。设 0为中心条纹级数， 为中心干涉极小数，令 0= + ( ∈ , 0≤ <1)，从中心往外数，

第N个条纹的级数为 1 = 0 1 ，则

中=2 + 2= 0 = +

=2 + 2= 1 ，

两式相减，可得2 1 cos = 1+ ，利用折射定律和小角度近似，得 =

1

( ′为平行平板周围介质

的折射率)

对于中心点，上下表面两支反射光线的光程差为 =2 +

= 2×1.5×3×1064502+

2

nm=

2×104+12 ×450nm。因此，视场中心是暗点。

由上式，得 =

h 2

3×106×

×3°2

=

1.5×450

=12.1，因此，

有12条暗环，11条亮环。

2.16一束平行白光垂直投射到置于空气中的厚度均匀的折射率为 =1.5的薄膜上，发现反射光谱中出现波长为400nm和600nm的两条暗线，求此薄膜的厚度？

解：光程差 = 1 = 2 1， 所以 =

2 1×10 3

1

=

600 400 1.5 1

=0.4

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2.17用等厚条纹测量玻璃光楔的楔角时，在长5cm的范围内共有15个亮条纹，玻璃折射率 =1.52，所用单色光波长 =600nm，问此光楔的楔角为多少？

解：由公式 = 2

=

2

， 又 =

515

cm=1 3cm，

所以 =600×10 9 2×1.52

rad=5.92×10 5rad。

3

2.18利用牛顿环测透镜曲率半径时，测量出第10个暗环的直径为2cm，若所用单色光波长为500nm，透镜的曲率半径是多少？ 解：由曲率半径公式 =

2

2

×10 2

2

=2

10×500×10 9

=20m。

2.19F-P干涉仪两反射镜的反射率为0.5，试求它的最大透射率和最小透射率。若干涉仪两反射镜以折射率 =1.6的玻璃平板代替，最大透射率和最小透射率又是多少？（不考虑系统吸收） 解：当反射率 =0.5 时，由光强公式

= ， 2

=

1 ( ) 可得最大透射率 =1； 最小透射率 2 =

1 4 + 1 2

=0.11。

当用玻璃平板代替时， =1.6 ，则

121.6 12

==

所以 ′=1 ， ′=

1 2

4 + 1 2

≈0.81。

2.20已知一组F-P标准具的间距分别为1mm和120mm，对于 =550.0nm 的入射光而言，求其相应的标准具常数。如果某激光器发出的激光波长为632.8nm，波长宽度为0.001nm，测量其波长宽度时应选用多大间距的标准具？ 解： 21 . = 22 1

=

5502×1×106

=0.15 ，

2 . = 22 2

=

55022×120×106

=0.0013nm，

23=

′

2

8

2 3 .

=

632.82×0.001

=2×10nm=200mm。

2.21有两个波长 1和 2，在600nm附近相差0.0001nm，要用F-P干涉仪把两谱线分辨开来，间隔至少要多大？在这种情况下，干涉仪的自由光谱范围是多少？设反射率 =0.98。

解：由分辨极限公式 2

F-P干涉仪间隔 =

2=6002×10 9×=11.58mm 自由光谱范围 . = 260022 1

=

2×11.58×10=

0.0155nm。

2.22在照相物镜上通常镀上一层光学厚度为

5 04

（ 0=550nm）的介质膜。问：（1）介质膜的作用？（2）求此时可见光区（390~780nm）反射最大的波长？

解：（1）作用：因为上下表面光程差2 =2×

5 4

=

2+12

0，所以该介质膜对 0的反射达到最小，为增透膜；（2）由 =

5 04

，可知，对波长为 0， =5 ，

0 2cos2

+

0 sin2

2

2 =

2 反射最大的波长满0+ 2cos2

2+ 0

+

sin2 2

足2 =2×

5 4

= ，则 =

5 02

，取 =2,3时则

符合条件的可见光的波长分别为687.5nm和458.3nm。

2.23在玻璃基片上镀两层光学厚度为 0∕4的介质薄膜，如果第一层的折射率为1.35，为了达到在正入射下膜系对 0全增透的目的，第二层薄膜的折射率应为多少？（玻璃基片的折射率 =1.6） 解：由题意，得 1=1.35， =1.6， 0=1， 要使膜系对 0全增透，由公式 2= 1= 1.6

0

1

×1.35=1.71。

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第三章 光的衍射与现代光学

3.1波长 =500nm 的单色光垂直入射到边长为3cm的方孔，在光轴（它通过方孔中心并垂直方孔平面）附近离孔z处观察衍射，试求出夫琅禾费衍射区德大致范围。 解：要求 21+ 21

，又 =

2 2

，

所以 21+ 21

3×10 2 2 2

=500×10 =900m。

3.5在白光形成的单缝的夫琅禾费衍射图样中，某色光的第3级大与600nm的第2极大重合，问该色光的波长是多少？

解：单缝衍射明纹公式： sin = 2 +1

2 ∈

当 1=600nm时， 1=2，因为 与 不变，当 2=3时， 2 1+1

1

2

= 2 2+1 22

，所以 2=

2 1+1 1 2 2+1

=

2×2+1 ×600

2×3+1

=428.6nm。

3.6在不透明细丝的夫琅禾费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm，所用透镜的焦距为300nm，光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少？ 解：由 =

=

=632.8×

10 6×300

mm=0.127mm

3.8迎面开来的汽车，其两车灯相距 =1m，汽车离人多远时，两车灯刚能为人眼所分辨？（假定人眼瞳孔直径 =2mm，光在空气中的有效波长 =500nm）。

解：此为夫琅禾费圆孔衍射，由公式 =1.22

所以 =

1×2×10 31.22

=

1.22×500×10 =3278.7 。

3.9在通常的亮度下，人眼瞳孔直径约为2mm，若视觉感受最灵敏的光波长为550nm，问：（1）人眼最小分辨角是多大？（2）在教室的黑板上，画的等号的两横线相距2mm，坐在距黑板10m处的同学能否看清？

解：（1） =1.22

（夫琅禾费圆孔衍射）

=

1.22×550×10 9

2×10 3

=3.36×10 4 rad。

(2) =2×10 3

10

=2×10 4rad< ，所以不能看清。

3.7边长为a和b的矩孔的中心有一个边长为 0和

0 的不透明屏，如图所示，试导出这种光阑的夫琅禾费衍射强度公式。

解：

1=

sin 1sin 1 ， ，

1

1

2= 0 0

sin 2sin 2 2

2

（C为常数），所以 = 1 2 =

sin 1sin 1 sin 2sin 11002

22

= = 2

sin 1sin 1 1

1

0 0

sin 2sin 22 2

2

，

因为场中心强度(场中心对应于 1= 2= 1= 2=0 )为 0= 2 0 0 2，所以 =

0sin 1sin 1sin 2sin 22 0 0

2

1

1

0 0

2

2

。

其中 1=

sin sin

， 1=

sin

， 2= 0

2= 0sin

。

3.10人造卫星上的宇航员声称，他恰好能分辨离他100km地面上的两个点光源。设光波波长为550nm，宇航员眼瞳直径为4mm，这两个点光源的距离是多

大？

解:由夫琅禾费圆孔衍射， =

1.22

=1.22 1.22×550×10 9×100×103

=

=16.775 。

3.11在一些大型的天文望远镜中，把通光圆孔做成环孔。若环孔外径和内径分别为a和a/2，问环孔的分辨本领比半径为a的圆孔的分辨本领提高了多少？

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解：由 =

Dsin

≈

≈3.144，环孔衍射图样

第一个零点的角半径为 =3.144 2

=0.51

，

按照瑞利判据, 天文望远镜的最小分辨角就是 =0.51

，与中心部分没有遮挡的圆孔情形

( =0.61

)相比较, 分辨本领提高了, 即

0.61 0.51 0.61+0.51 ∕2

=17.9%。

3.12若望远镜能分辨角距离为3×10 7rad的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？为了充分利用望远镜的分辨本领，望远镜应有多大的放大率？ 解：光的波长 =550nm ，则由公式 =1.22

最小直径 =1.22

=1.22550×10 9

×

3×10 7

=2.24 。

因为人眼的最小分辨角为2.9×10 4rad， 所以放大率 =2.9×10 43×10=970。

3.13若要使照相机感光胶片能分辨2 的线距，求：（1）感光胶片的分辨本领至少是每毫米多少线？（2）照相机镜头的相对孔径 ∕ 至少有多大？（设光波波长为550nm。） 解：⑴直线数 =1 ′=

12×10 1=500 1。

（ ′为线距，即为能分辨的最靠近的两直线在感光

胶片上得距离）。 ⑵由 =

1

1.22

，所以相对孔径 = 1.22 =

500×1.22×550×10 6=0.34。

3.16计算光栅常数是缝宽5倍的光栅的第0、1级亮纹的相对强度。解：由题意，得 = 5，第零级强度 0 = 2 0，第0、1级亮纹相对强度分别为

0 2

1 2 0

=

sin 2

=1，

2 0

=

sin

=0.875。

5

3.14一块光学玻璃对谱线435.8nm和546.1nm的折射率分别为1.6525和1.6245。试计算用这种玻璃制造的棱镜刚好能分辨钠D双线时底边的长度。钠D双线的波长分别为589.0nm和589.6nm。 解：由公式 =

=

(式中 为棱镜分辨本领，

为棱镜底边长度， 为相对于波长 的棱镜的折射率， + 为相对于波长 + 的棱镜的折射率, 为色散率) 又同一种物质色散率不变，则

1 1

=

1.6525 1.6245

5

=

546.1 435.8 ×10 9

=2.54×10，

=

589.6+589.0

2

=589.3nm， 因为 2=

′

=

589.3589.6 589.0

=982.1 ，所以用这种玻

璃制造的棱镜刚好能分辨钠D双线时底边的长度 2=

2982.1 ∕

=

2.54×10=3.87×10 3 =3.87mm。

3.15在双缝夫琅禾费衍射试验中，所用光波波长 =632.8nm，透镜焦距 =50cm，观察到两相邻亮条纹之间的距离 =1.5mm，并且第4级亮纹缺级。试求：（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1、2、3级亮纹的相对强度。

解：⑴多缝衍射的亮线条件是 sin = ， ∈ ，对上式两边取微分，得到 cos = ， 当 =1时， 就是相邻亮线之间的角距离。并且一般 很小，cos ≈1，故 = 。两相邻亮线距离为 = = 。所以

缝距 =

=500×632.8×10 6 1.5mm=0.21mm。因为第4级亮纹缺级，所以缝宽为 = 4=0.21 4mm=0.05mm。

⑵第1、2、3级亮线分别相应于 sin =± 、±2 、±3 。由于 =4 ，所以当 sin =± 、±2 、±3 时，分别有 sin =± 4、±2 4、±3 4。因此，由多缝衍射各级亮线的强度公式 = 2 0 sin 2

，

第1、2、3级亮线的相对强度为

1sin 0

=

2 =

sin

sin

sin

2

sin

2

=

=0.811 2

2 0

=

=0.405，

4

2 sin

3 2

3 2 0

= =0.090。

4

3.17一块宽度为5cm的光栅，在2级光谱中可分辨500nm附近的波长差0.01nm的两条谱线，试求这一光栅的栅距和500nm的2级谱线处的角色散。 解：由 =

= =

（L为光栅宽度），所以

=

2×5×10 ∕

=

500∕0.01

mm=2×10 3mm，

物理光学 梁铨廷 答案

角色散

=

cos

=

×cos arcsin 角很小，

cos ≈1）=2

0.002×cos

sin 2000

=866.03rad/mm

3.18为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为632.8nm的一束氦氖激光的膜结构（两个模之间的频率差为450MHz），光栅需要有多宽？ 解： = 22 =

，又光栅的色分辨本领

= =

= = 1200 ，所以光栅的宽度 =

1200

=

3×1011

632.8×10×1×1200×450×10

=878mm。

3.19用复色光垂直照射在平面透射光栅上，在30°的衍射方向上能观察到600nm的第二级主极大，并能在该处分辨 =0.005nm 的两条谱线，但却观察不到600nm的第三级主极大。求：（1）光栅常数 ，每一缝宽 ；（2）光栅的总宽 至少不得低于多少？

解：⑴ sin = ，所以 = sin

=

2×600×10 6sin30°

mm

=2.4×10 3mm， =

=

2.4×10 3

3

mm=8×10 4mm。

⑵ =

= ，又 = sin ∕ ，所以 ≥ 2sin

=

600∕0.005×2.4×10 3

2×mm=288mm。

2

3.20一束波长 =600nm 的平行光，垂直射到一平面透射光栅上，在与光栅法线成45°的方向观察到该光的第二级光谱，求此光栅的光栅常数。 解：由 sin = ，得光栅常数

2×600×10 6 ==mm=1.7×10 3mm

3.21一块每毫米500条缝的光栅，用钠黄光正入射，观察衍射光谱。钠黄光包含两条谱线，其波长分别为589.6nm和589.0nm。求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度。 解：光栅公式 sin = ， =1500

2×10 3mm，

所以 1=arcsin

1

=arcsin

2×589.6×10 6

2×10 3

36.1286°，

同理 2=36.0861°，所以第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度 = 1 2=0.0425° =2′33′′。

3.22一光栅宽50mm，缝宽为0.001mm，不透光部分宽为0.002mm，用波长为550nm的光垂直照明，试求：（1）光栅常数d；（2）能看到几级条纹？有没有缺级？

解:⑴ = + ′=0.001+0.002=0.003mm， ⑵ =0.003 0.001=3，所以第±3级亮纹为缺级，又由 sin90°= ，解得 =5.45，所以 =5.45×2=11，又缺±3级，所以能看到9级条纹。

3.23按以下要求设计一块光栅：①使波长600nm的第二级谱线的衍射角小于30°，并能分辨其0.02nm的波长差；②色散尽可能大；③第三级谱线缺级。则该光栅的缝数、光栅常数、缝宽和总宽度分别是多少？用这块光栅总共能看到600nm的几条谱线？ 解：为使波长600nm的二级谱线的衍射角 ≤30°, 必须满足 =

6

sin

≥

2×600×10 sin30°

2.4×10 3mm，

根据要求②， 尽可能小，则 =2.4×10 3mm，

根据要求③，光栅缝宽 =

33

=0.8×10 mm，

再由条件④，光栅缝数 至少有

=

=600

=15000 所以光栅的总宽度 至少为

= =15000×2.4×10 3mm=36mm 光栅形成的谱线在 <90°范围内，当 =±90°时，有 =

sin ±2.4×10 3

=

6×10 4

=±4，即第4 级谱线对应

于衍射角 =±90°实际上不可能看见。此外第3 级缺级, 所以只能看见0 ,±1 , ±2 级共5 条谱线。

3.24一块闪耀光栅宽260mm，每毫米有300个刻槽，闪耀角为77°12′。⑴求光束垂直于槽面入射时，对于波长 =500nm 的光的分辨本领；⑵光栅的自由光谱范围有多大？ 解：⑴光栅栅距为 =

1300

mm ，已知光栅宽260 mm，

因此光栅槽数 = =260×300=7.8×104 由2 sin = ，光栅对500 nm 的闪耀级数为

=

2 sin

1 × 77°12′

=

2×500×10 6

=13，所以分辨本领

= =13×7.8×104≈106；⑵光栅的自由光

物理光学 梁铨廷 答案

谱范围为 =

=

50013

nm=38.5nm。

第四章 光的偏振和偏振器件

4.2一束部分偏振光由光强比为2:8的线偏振光和自然光组成，求这束部分偏振光的偏振度。 解：设偏振光光强为 1=2 ，自然光光强为 2=8 ，（其中 1= ， = 1+ 2= + ）， 所以偏振度 = 1 2

=

+

=

2 1+ 2

=

2 +8

=0.2。

4.3线偏振光垂直入射到一块光轴平行于界面的方解石晶体上，若光矢量的方向与晶体主截面成60°角，问o光和e光从晶体透射出来的强度比时多少？

解： : = 260°=3:1

4.4线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方解石波片上，光的振动面和波片的主截面成30°和60°角。求：⑴透射出来的寻常光和非常光的相对强度各为多少？⑵用钠光入射时如要产生90°的位相差，波片的厚度应为多少？（ =589.0nm， =1.486， =1.658） 解：⑴ : =

2

30°=1:3； ⑵由 =90°=2 ，所以

= 94

=

589.0×104× 1.658 1.486

≈8.56×

10 7m。

4.7有一块平行石英片是沿平行光轴方向切出的。要把它切成一块黄光的1 4波片，问这块石英片应切成多厚？(石英的 =1.552 ， =1.543 ，波长为589.3nm)

解：由 = = +1

4 ，所以厚度

1

1

=

+4

=

0+4

×589.3

nm=1.637×104nm≈1.64×

10 3cm

4.5由自然光和圆偏振光组成的部分偏振光，通过一块1∕4波片和一块旋转的检偏镜，已知得到的最大光强是最小光强的7倍，求自然光强占部分偏振光强的百分比。

解：设自然光和圆偏振光的光强分别为 1和 2，则部分偏振光的光强为 = 1+ 2。

圆偏振光经过 4波片后成为线偏振光，光强仍为 2。当线偏振光光矢的振动方向与检偏器的透光方向一致时，从检偏器出射的光强最大，其值为 2，当其振动方向与透光方向互相垂直时其值为零。自然光通过 4波片后还是自然光，通过检偏器后光强为1

2

1。因此，透过旋转的检偏器出射的最大光强和

最小光强分别为 =1 1+ 2，1

2

=2

1，又题

给 =7 ，因此 2=3 1，所以，自然光强占部分偏振光强的百分比为

1=

1 1+3 1

=25%。

4.6在两个共轴平行放置的透振方向正交的理想偏振片 1和 3之间，有一个共轴平行放置的理想偏振片 2以云角速度 绕光的传播方向旋转。设 =0时 3偏振化方向与 1平行，若入射到该系统的平行自然光强为 0，则该系统的透射光强为多少？ 解：通过第一块、第二块和第三块偏振片后，光强分别为 1=

0， 2= 1cos2 ， 3= 2cos2

2

2

，

由于 =0时 3偏振化方向与 1平行，因此 = ，所以透射光强为 = 3=

02

cos2 cos2

2 =

0016

1 cos4 ，可见，最大光强为 8

为0，出射光强的变化频率为4 。

4.11为了决定一束圆偏振光的旋转方向，可将1 4波片置于检偏器之前，再将后者转到消光位置。这时发现1 4波片快轴的方位是这样的：它须沿着逆时针方向转45°才能与检偏器的透光轴重合。问该圆偏振光是右旋的还是左旋的？

解：是右旋圆偏振光。因为在以 4波片快轴为 轴的直角坐标系中，偏振片位于Ⅱ、Ⅳ象限时消光，说明圆偏振光经 4波片后，成为位于Ⅰ、Ⅲ象限的线偏振光，此线偏振光由 方向振动相对 方向振动有2 位相差的两线偏振光合成。而 4波片使 光

和 光的位相差增加

2

2 ，所以，进入 3

4波

片前 方向振动相对 方向振动就已有2

所

以是右旋圆偏振光。

4.9下列两波及其合成波是否为单色波？偏振态如何？计算两波及其合成波光强的相对大小。 波1：

= sin

2

cos + ；和

= 2

物理光学 梁铨廷 答案

波2：

= cos

= cos +

。

其中 和 均为时间t的无规变化函数，且 ≠常数。

解：波1是单色波，且 = sin

=

cos ，而 = cos +

，

显然，等相面和等幅面重合，所以是均匀波。又因为位相差 = =

3 2

，且 和 方向振动的振

幅相等，所以是右旋圆偏振光。

对于波2，因为 ≠常数，为自然光，而相速 =

≠常数，但等相面和等幅面仍然重合，故为均匀波。

波1和波2是不相干波，因此由上述结果得合成波是非单色光，是部分偏振光，是均匀波。

光强度：波1 1= 2+

2= 2； 波2 2=

2

+

2= 2； 合成波 3= 1+ 2=2 2，因此，三个

波的光强的相对大小为 1: 2: 3=1:1:2。

4.12一束右旋圆偏振光垂直入射到一块石英1 4波片，波片光轴平行于x轴，试求透射光的偏振态。如果换成1 8波片，透射光的偏振态又如何？ 解：右旋圆偏振光可视为光矢量沿y轴的线偏振光和与之位相差为 2的光矢量沿x轴的线偏振光的叠加。⑴右旋圆偏振光入射1 4波片并从1 4波片出射时，光矢量沿y轴的线偏振光（o光）对光矢量沿x轴的线偏振光（e光）的位相差应为 =

+

2

2= ，

故透射光为线偏振光，光矢量方向与x轴成 45°；

⑵右旋圆偏振光入射1 8波片并从1 8波片出射时，光矢量沿x轴的线偏振光（o光）对光矢量沿 轴的线偏振光（e光）的位相差应为 =

3 2

+4=

4

，透

射光为右旋椭圆偏振光。

4.10一束线偏振的钠黄光 =584.3nm 垂直通过一块厚度为8.0859×10 2mm的石英晶片。晶片折射率为 =1.54424 ， =1.55335 ，光轴沿y轴方向。试对于以下三种情况，决定出射光的偏振态： ⑴入射线偏振光的振动方向与x轴成45°角； ⑵入射线偏振光的振动方向与x轴成 45°角； ⑶入射线偏振光的振动方向与x轴成30°角。

解：入射线偏振光在波片内产生的 光和 光出射波片是得位相延迟角为 =

2

=2 × 1.55335 1.54424 ×8.0859×10 2

589.3×10 6

=2.5 ，

⑴当 =45°时，设入射光振幅为 ，则 光和 光的振幅为 = cos45° =

2

， = sin45°=

2

，其中 为入射光的振幅。因此，在波片后表面， 光和 光的合成为 = + = 2

cos +

2.5 +

2

cos =

cos

2

+2

+

cos ，因此，是左旋偏振光； ⑵当 = 45°时，则 光和 光的振幅为 = cos 45° =

2

， = sin 45°=

2

，在波片后表面， 光和 光的合成为 = + =

cos

2

+2

+ cos + ，因此，是

右旋圆偏振光；

⑶当 =30°时，则 光和 光的振幅为 = cos30° =

2

， = sin30°=1

2

，

在波片后表面， 光和 光的合成为 = + =

1

2

cos +2

+ 2

cos ，因此，是左旋

椭圆偏振光，椭圆长轴沿 轴。

16一块厚度为0.05mm的方解石波片放在两个正交的线偏振器中间，波片的光轴方向与两线偏振器的夹角为45°，问在可见光（390~780nm）范围内，哪些波长的光不能通过这一系统？

解： =

22

+ 22

+2 2 2 cos

=12

0sin22 cos2 2

=1 0cos2

2

2

物理光学 梁铨廷 答案

的位相差是 =

2

+ ，又，当

= 2 +1 （ =0,1,2，…）时，干涉相消，对应波长的光不能透过这一系统，因此，不能透过这一系统的光波波长为 =

1.486 ×0.05×106

8600

=

1.658

=

nm

所以下列波长的光不能透过这一系统： =11， =782nm； =12， =717nm； =13， =662nm； =14， =614nm； =15， =573nm； =16， =538nm； =17， =506nm； =18， =478nm； =19， =453nm； =20， =430nm； =21， =410nm； =22， =391nm。

4.14试用矩阵方法证明：右（左）旋圆偏振光经过半波片后变成左（右）旋圆偏振光。 解：右、左旋圆偏振光的琼斯矢量分别为

= 11

右

， 左=

半波片的琼斯矩阵为 =

10

0 1

，因此右旋偏振光经过半波片后透射光的琼斯矢量为 = 右= 1

00 1 1 = 1

= 左，得证。

4.15将一块1 8波片插入两个前后放置的尼科尔棱镜中间，波片的光轴与前后尼科尔棱镜主截面的夹角分别为 30°和40°，问光强为 0的自然光通过这一系统后的强度是多少？（略去系统的吸收和反射

损失）

解：如图所示，光强为 0的自然光经第一个尼科尔棱镜 1后，成为线偏振光且振幅为 1，则

1=

02，从波片出射的 光和 光的振幅分

别为 1 = 30°

， 1 30°

， 经第二个尼科尔棱镜 2后， 光和 光的振幅分别为 2 = 1 sin40°sin 30°

=-0.228 ， 2 = 1 cos 30°

=0.455 ，因插入了1 8波片，两相干线偏振光的位相差是 =

2

8

=4

= 2 2+

2 2+2 2 2 cos = 2 0.4552+ 0.228 2

2×0.455×0.228×cos

4 =0.12 0。

4.8试说明下列各组光波表达式所代表的偏振态。 ⑴ = 0sin ， = 0cos ； ⑵ = 0cos ， = 0cos +

4；⑶ = 0sin ， = 0sin 。 解：⑴ = 0sin ， = 0cos ，则 = 0cos

，因 =

2

2

故 比 超

前

2

⑵ = 0cos ， = 0cos +

4

，

= 超前 且 =

4

4

所以为左旋椭圆偏振光，

长轴在 = 方向上。

⑶ = 0sin ， = 0sin ，则 = 0sin + ， = 且 =

4为线偏振光，振动方向为 = 。 (方位角 公式tan2 =2 1 2

)

1 cos 2

4.13一束自然光通过偏振片后再通过1 4波片入射到反射镜上，要使反射光不能透过偏振片，波片的快、慢轴与偏振片的透光轴应该成多少度角？试用琼斯计算法给以解释。

解：自然光通过偏振片后成为线偏振光，设线偏振光光矢量沿 轴，则琼斯矢量为

11 = 1

，若1 4波片的快轴与 轴（偏振片的透光轴）的夹角为 ，则琼斯矩阵为

1 tan2

cos2

tan

2

sin2

=cos tan 2

sin2

1+ tan

cos =

2

2

1 cos2 sin2

2 sin2

1+ cos2

，穿过1 4波片后，透

射光的琼斯矢量为 22 =

1 =

1

1 sin2 2 cos2

sin21+ cos2 1 1 cos2

0 =2

sin2

，

物理光学 梁铨廷 答案

经反射透镜后,反射光的琼斯矢量为 33 =

22

=

1

01 cos2 2 0

1 sin2 =1+ cos2

2 sin2

，

再次通过1 4波片后，透射光的琼斯矢量为

44 = 33 =1

1 cos2 sin2 2 sin2

1+ cos2 1+ cos2

sin2

=

cos2

sin2

，如果此光束入射偏振片P，则出射光为 55 = 410cos2 cos2 4 = 00 sin2 = 0 ， 若 =45°，则

55 = 0

， 所以当波片的快、慢轴与偏振片的透光轴成45° 角时，反射光不能透过偏振片。

旋光现象

一. 物质的旋光性

使线偏振光的振动面发生旋转

旋转的角度：

a da —旋光率

二. 菲涅耳的解释

线偏振光可看作是同频率、等振幅、有确定相位差的左(L )、右(R)旋圆偏振光的合成。

两个频率相同、振动方向互相垂直的单色波的叠加。 圆偏振光和椭圆偏振光可以看成

是两个同频，振动方向相互垂直，并

O

且有稳定的相位

关系的线偏振光合成的结果。反之，任何一个圆偏振光和椭圆偏振光

可以分解成两个同频，振动方向相互垂直，并且有稳定的相位关系的线偏振光。

D x Dx0cos(kz t x0)例:旋 Dy Dy0cos(kz t x0 )光现象的说明

任何一个圆偏振光和椭圆偏振光可以分解成两个同频，振动方向相互垂直，并且有稳定的相位关系的线偏振光。

Ex E0xcos( Ey E0ycos

(其中

2

)

任何线偏振光可以分解成两个同频的左右旋、振幅相等、并且有稳定的相位关系的圆偏振光。 = 0cos

0 1

01 010 = +

D

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/349j.html