初中数学专题讲义：截长补短法

初中数学专题讲义：截长补短法

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。 截长法：

（1）过某一点作长边的垂线

（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。?? 补短法

（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。??

例1：在正方形ABCD中，DE=DF，DG?CE，交CA于G，GH?AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系

CFDEHPGBA

方法一（好想不好证） 方法二（好证不好想）

CFDEHPPCFDEHGBAGBMA

例2、正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，?EAF=45。求证：EF=DE+BF

ABoFDEC

变形a

正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，?EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

ABoEDCF

变形b

正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，?EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

FABoDCE

变形c

正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上?EDF=45。DB=DC，?BDC=120。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？

AooFEBjCD

变形d

oo正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，?EAD=15，?FAB=30。AD=3，求?AEF的面

积 ABFDEC

例3、正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分?DAC。求证：AC/2=AD-EO

ABOEDC

加强版

正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分?DNM。过E作EF?MN于F,请问MN、AD、EF有什么数量关系？

NABFEDMC

例4、、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F （1）求证：BF=AD+CF；

（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．

例5、已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中点O．

（1）若点G为线段AB上一点，且FG=4，CD=3，GC=7，过O点作OH⊥GC于H，试证：OH=OF； （2）求证：AB+CD=2BE．

变形1．

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=450，CD=2，BD⊥CD。过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF。 （1）求EG的长；

（2）求证：CF=AB+AF。

变形2

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA． （1）若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；

1 （2）求证：∠MPB＝90°－ ∠FCM．

2

等腰三角形专题

一、知识点复习

1. 等腰三角形的判定定理

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

（1）该定理的作用：是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。

（2）注意：该定理不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等。因为在没有判定出它是等腰三角形以前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”。 （3）等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理 2. 等腰三角形判定定理的推论

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 说明：

（1）推论1和推论2是等边三角形的判定定理，其中推论2中的60°角可以是顶角，也可以是底角。 （2）推论3是由等边三角形的性质推出的关于直角三角形的一个性质，它反映了直角三角形中边与角之间的关系。

注意：推论3的大前提是：“在直角三角形中”。①在证题时，如果只知道一个三角形有一个角为30°，那么说这个角的对边等于邻边的一半就是错误的。②在证题时，如果只知道一个三角形中的一角所对的边等于另一边的一半，那么说这个角等于30°，这得三角形是直角三角形也是错误的。

A 3. 等边三角形的判定方法

（1）运用定义：三条边相等 D E （2）三个角相等

（3）有一个角是60°的等腰三角形

B F C 二、善于总结解题规律 规律1：经过等腰三角形一腰上的点作底边平行线分得三角形ADE为等腰三角形。经过等腰三角形腰上一点作另一腰的平行线分得△BDF为等腰三角形。如图所示，AB=AC，DE//BC，则△ADE为等腰三角形。DF//AC，则△BDF为等腰三角形。

规律2：将图中的等腰三角形换成等边三角形，则△ADE、△BDF均为等边三角形。

规律3：如果一个三角形有一个角为30°，则应想办法将30°角放在一个Rt△内；如果一个三角形有一个角为60°，则应想办法构造等边三角形。 以上规律的总体思路是

一般三角形?特殊???等腰三角形运用全等知识?特殊???等边三角形 等边(角)对等角(边)三边(角)相等

规律4：有角平分线或中点时，常用到的辅助线 （1）在角的两边截相等的线段，构造全等三角形； （2）过角平分线上一点向角两边作垂线；

（3）如有和角平分线垂直的线段时，常把它延长与角的两边相交构成等腰三角形； （4）有中线或有以线段中点为端点的线段时，常加倍它们，构造全等三角形。

作业

1、如图所示，BD=DC，BF交AD，AC于E、F，若AF=EF，求证：BE=AC。

A

F E

B D C

2、如图所示，?ACB?3?B，?1??2，CD?AD于D，求证：AB?AC?2CD。 A 1 2 D B C 3、已知：?ABC中，∠A＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC。求证：BC＝AB＋CD

AD B 4、如图，已知?ABC中，E是AB延长线上的一点，AE=AC，AD平分∠A，BD=BE。求证：∠ABC=2A∠C。 12 BCD E C

5、已知，如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB上和AD的延长线上，且BE=DF，连接EF，G为EF的中点．

求证：（1）CE=CF；（2）DG垂直平分AC．

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