三角恒等变换导学案

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学案22 简单的三角恒等变换

导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．

(

(

(

(

自主梳理

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________；

(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；

kπππ

(3)tan 2α＝________________________ (α≠＋且α≠kπ＋)．

242

2．公式的逆向变换及有关变形

sin 2α

(1)sin αcos α＝____________________?cos α＝；

2sin α

22

(2)降幂公式：sinα＝________________，cosα＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；

22

变形：1±sin 2α＝sinα＋cosα±2sin αcos α＝________________________. 自我检测

1．(2010·陕西)函数f(x)＝2sin xcos x是 )

A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数

2．函数f(x)＝cos 2x－2sin x的最小值和最大值分别为 )

A．－3,1 B．－2,2

33

C．－3， D．－2，

22

3．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是 )

11

A．－1 B．－ C. D．1

22

4．(2011·清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sin A·sin B )

1

A．有最大值，最小值0

21

B．有最小值，无最大值

2

C．既无最大值也无最小值

1

D．有最大值，无最小值

2

探究点一 三角函数式的化简

24

例1 求函数y＝7－4sin xcos x＋4cosx－4cosx的最大值和最小值．

.

.

4cosx－2cos 2x－1

变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f(x)＝.

ππsin?4＋x?sin?4－x?????

?11π?(1)求f?－?的值； ?12?

π1

(2)当x∈?0，4?时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．

??2

探究点二 三角函数式的求值

11ππππ2

例2 已知sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求2sinα＋tan α－－1的

44442tan α

值．

π

sin?α＋?45

变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝，求的值．

13cos?2α＋4π?

3ππ3ππ

(2)已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值．

45224

探究点三 三角恒等式的证明 例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．

(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f(x)的解析表达式；

(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．

sin 2x变式迁移3 求证：

?sin x＋cos x－1??sin x－cos x＋1?

1＋cos x＝. sin x

4

.

.

转化与化归思想的应用

例 (12分)(2010·江西)已知函数f(x)＝ ?1＋1?sin2x＋msin?x＋π?sin?x－π?. ?tan x??4??4???

?π3π?(1)当m＝0时，求f(x)在区间?，?上的取值范围； ?84?3

(2)当tan α＝2时，f(α)＝，求m的值．

5

【答题模板】

?cos x?sin2x

解 (1)当m＝0时，f(x)＝?1＋??sin x?1－cos 2x＋sin 2x2

＝sinx＋sin xcos x＝

2

π1

＝?2sin?2x－4?＋1?，[3分]

???2?

π?5π??π3π?由已知x∈?，?，得2x－∈?0，?，[4分]

4?4??84?

π?2?

所以sin?2x－4?∈?－，1?，[5分]

???2?

?1＋2?

从而得f(x)的值域为?0，?.[6分]

2??

(2)f(x)＝sinx＋sin xcos x－cos 2x 2

1－cos 2x1m＝＋sin 2x－cos 2x

22211

＝[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋，[8分] 22

2sin αcos α2tan α4

由tan α＝2，得sin 2α＝22＝2＝，

sinα＋cosα1＋tanα5

222cosα－sinα1－tanα3

cos 2α＝2＝＝－.[10分] 22cosα＋sinα1＋tanα531?43?1

所以＝?＋?1＋m??＋，[11分]

52?55?2解得m＝－2.[12分] 【突破思维障碍】

三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．

1．求值中主要有三类求值问题：

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的

.

2

m.

式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．

2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：

(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．

α＋β

(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，2

βααα

＝?α－2?＋?β－2?，是的二倍角等． ????24

(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．

消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 ( )

1111A. B．－ C. D．－ 3366

ππ21

2．已知tan(α＋β)＝，tan?β－4?＝，那么tan?α＋4?等于

????54

( )

131331A. B. C. D. 1822226

π1

3．(2011·石家庄模拟)已知cos 2α＝ (其中α∈?－4，0?)，则sin α的值为

??2

( )

1133A. B．－ C. D．－ 2222

4( )

43A．－ 3

B．8

．

若

f(x)＝2tan x－

2sin－1

2sin cos 22

2

xxx，则

π

f?12?的值为 ??

C．43 D．－43 5．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sin B的值是 ( )

123

A. B. C. D．1 222题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题4分，共12分) 3

6．(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sin α＝，则tan 2α＝________.

5

2

7．函数y＝2cosx＋sin 2x的最小值是________．

.

.

cos 2α2

＝－，则cos α＋sin α的值为________． π2

sin?α－4???

三、解答题(共38分)

9．(12分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°； 3－4cos 2α＋cos 4α(2). 3＋4cos 2α＋cos 4α 8．若

π1

10．(12分)(2011·南京模拟)设函数f(x)＝3sin xcos x－cos xsin?2＋x?－.

??2

(1)求f(x)的最小正周期；

π

(2)当∈?0，2?时，求函数f(x)的最大值和最小值．

??

2

11．(14分)(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sinx－4cos x.

π

(1)求f()的值；

3

(2)求f(x)的最大值和最小值．

答案 自主梳理

2222

1．(1)2sin αcos α (2)cosα－sinα 2cosα 2sinα

2tan α11－cos 2α1＋cos 2α2α2α(3) 2cos 2sin (sin 2 2.(1)sin 2α (2)

1－tanα222222

α±cos α)

自我检测

1．C 2.C 3.B 4.D 课堂活动区

例1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．

24

解 y＝7－4sin xcos x＋4cosx－4cosx

22

＝7－2sin 2x＋4cosx(1－cosx)

22

＝7－2sin 2x＋4cosxsinx

22

＝7－2sin 2x＋sin2x＝(1－sin 2x)＋6，

22

由于函数z＝(u－1)＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)＋6＝10，最小值为zmin

2

＝(1－1)＋6＝6，

故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10， 当sin 2x＝1时，y取得最小值6. 变式迁移1 解 (1)f(x)

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/33zv.html