8.6.3平面与平面垂直课时练习2020-2021学年高一下学期数学人教A版第八章立体几何初步

平面与平面垂直

1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()

A．0个B．1个

C．无数个D．1个或无数个

2．下列不能确定两个平面垂直的是()

A．两个平面相交，所成二面角是直二面角

B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C．一个平面经过另一个平面的一条垂线

D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b

3.如图，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、

B)且P A＝AC，则二面角P-BC-A的大小为(

)

A．60°B．30°

C．45°D．15°

4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥m

C．AB∥βD．AC⊥β

5．在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B-AD-C后，

BC＝1

2AB，这时二面角B-AD-C的大小为()

A．60°B．90°

C．45°D．120°

6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)

7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC

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沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝

________.

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD．

求证：平面PDC⊥平面P AD．

10．如图所示，平面角为锐角的二面角α-EF-β，A∈EF，AG?α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α-EF-β的大小．

11．如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨道是(

)

B．一条直线

C．一个圆

D．一个圆，但要去掉两个点

12．若以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为()

A．30°B．45°

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C．60°D．90°

13.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在

________.

AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C等于45°，则BF＝

2.

(2)平面ABC⊥平面MDO.

15.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB

ABCD．

＝60°，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面

(1)求证：AD⊥PB；

(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．

解析

1．解析D当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．

2．解析D如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线

BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．

3. 解析C由条件得：P A⊥BC，AC⊥BC，又P A ∩AC

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＝C，

∴BC⊥平面P AC，∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△P AC中，由P A＝AC得∠PCA＝45°，故选C．

4．解析D如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α?AC⊥m，

AB∥l?AB∥β. 故选D．

5．解析A∠BDC为二面角B-AD-C的平面角，设

正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC ＝1

2m，BD＝DC＝

1

2m，所以∠BDC＝

60°.

6．解析①②?③(答案不唯一)由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′?β，∴α⊥β，故①②?③.

7．解析1因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，

所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，

因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.

在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，

所以BD＝CD＝

2 2，

所以BC＝BD2＋CD2＝1.

8．解析45°如图，过A作AO⊥BD于O点，

∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO 即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD．∴∠ADO＝45°.

9．证明因为P A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，

所以P A⊥CD．

因为CD⊥AD，P A∩AD＝A，

所以CD⊥平面P AD．

因为CD?平面PDC，

所以平面PDC⊥平面P AD．

10．解析作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，

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则GB ⊥EF ，∠GBH 是二面角α-EF -β的平面角．

又∠GAH 是AG 与β所成的角，

设AG ＝a ，则GB ＝2

2a ，GH ＝12a ，

sin ∠GBH ＝GH GB ＝22

. 所以∠GBH ＝ 45°，二面角α-EF -β的大小为45°.

11．解析D ∵平面P AC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，AC ?平面P AC ，∴AC ⊥平面PBC ．

又BC ?平面PBC ，∴AC ⊥BC ．

∴∠ACB ＝90°.

∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点．

12．解析C 如图①，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，

图① 图②

∴∠CDB ＝90°，设AB ＝AC ＝a ，

则CD ＝BD ＝22

a ，∴CB ＝a ， ∴图②中△ABC 是正三角形．∴∠CAB ＝60°.

13. 解析1 由题意知EF ⊥BC ． ∵CC 1⊥平面ABCD ，∴CC 1⊥EF ，又BC ∩CC 1＝C ，∴EF ⊥平面CC 1F ，∴EF ⊥C 1F . 故∠C 1FC 为二面角C 1-EF -C 的平面角，即∠C 1FC ＝45°，∵AA 1＝1，∴CF ＝1，又BC ＝2，∴BF ＝1.

14．证明 (1)由题意知，O 为AC 的中点，

∵M 为BC 的中点，∴OM ∥AB ．

又OM ?平面ABD ，AB ?平面ABD ，

∴OM∥平面ABD．

(2)由题意知，OM＝OD＝3，DM＝32，

∴OM2＋OD2＝DM2，

∴∠DOM＝90°，即OD⊥OM.

∵四边形ABCD是菱形，∴OD⊥AC．

又OM∩AC＝O，OM，AC?平面ABC，

∴OD⊥平面ABC．

∵OD?平面MDO，

∴平面ABC⊥平面MDO.

15. 解析(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．

∵△P AD为正三角形，

∴PG⊥AD．

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，

∴BG⊥AD．

又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB．

∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB．

(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．

设F为PC的中点，

连接GC交DE于H，连接FH.

∵GB∥DE，且E为BC中点，

∴H为GC中点．

∴FH∥PG.

由(1)知PG⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．

∵FH?平面DEF，

∴平面DEF⊥平面ABCD．

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