2016-2017学年高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐

§6 平面向量数量积的坐标表示

A组

1.若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a·b)(a+b)=( )

A.20 C.(-10,30)

B.54 D.(-8,24)

解析:∵a·b=-3+8=5,a+b=(-2,6),

∴(a·b)(a+b)=(-10,30).

答案:C

2.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,则向量a与向量c=(,-1)的夹角的余弦值是( ) A. C.

则cos θ=. 答案:B

3.在以OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=( ) A.4 答案:D

4.已知a=(2,4),则与a垂直的单位向量的坐标是( ) A. B. C. D.

解析:由已知得与a=(2,4)垂直的向量为b=λ(4,-2),即b=(4λ,-2λ),又|b|=1,所以λ=±,于是所求单位向量为. 答案:D

5.导学号03070107直线l1的一个方向向量为a=(-1,3),直线l2的一个方向向量为b=(1,k),且l2过点(0,5),l1⊥l2,则l2的直线方程为( ) A.x-3y+15=0 C.x+3y-5=0

B.x-3y+5=0 D.x-3y-15=0 B.3

C.

D.4

解析:由已知得=(1,k-1),而由题意得,即=-3+k-1=0,故k=4.

B. D.

解析:a+b=(3,k+2),又a+b与a共线,所以k+2=3k,解得k=1,于是a=(1,1),设a与c夹角为θ,

解析:由l1⊥l2知a⊥b,因此,由-1+3k=0,得k=,所以直线l2的斜率即为,又l2过点(0,5),所以l2方程为y-5=x,即x-3y+15=0. 答案:A

6.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3,则b= . 解析:由题意知b=λ(1,-2)=(λ,-2λ)(λ<0).

又|b|=3,

∴=3. ∴5λ2=45, ∴λ2=9. ∵λ<0, ∴λ=-3. ∴b=(-3,6).

答案:(-3,6)

7.直线y=2x-1与直线x+y=1的夹角的余弦值为 .

解析:由已知得两直线的方向向量分别是m=(1,2),n=(1,-1),于是cos θ==-,于是两直线的夹角的余弦值是. 答案:

8.在直角三角形ABC中,∠C=90°,E,F是斜边AB的两个三等分点,且AC=6,BC=8,那么= . 解析:

以C为原点,CB,CA分别为x轴、y轴建立坐标系,由已知可得,

C(0,0),E,F,于是,于是.

答案:

9.已知a=(1,2),b=(-3,2). (1)求a-b及|a-b|;

(2)求ka+b与a-b垂直,求实数k的值. 解:(1)a-b=(4,0),

|a-b|==4.

(2)ka+b=(k-3,2k+2),a-b=(4,0).

∵(ka+b)⊥(a-b),∴(ka+b)·(a-b)=4(k-3)+(2k+2)·0=0,解得k=3.

10.导学号03070108已知a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;

(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ. 解:(1)设c=(x,y),∵|c|=2,

∴=2,即x2+y2=20.

由c∥a和|c|=2,可得 解得

故c=(2,4)或c=(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b),

∴(a+2b)·(2a-b)=0,

即2a+3a·b-2b=0,

2

2

2

∴2×5+3a·b-2×=0,

整理得a·b=-,

∴cos θ==-1.

又θ∈[0,π],∴θ=π.

B组

1.已知向量a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),则a与b夹角的余弦值为( ) A. 答案:B

2.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量方向上的射影为( ) A. C.- 答案:A

3.已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是( ) A.(-2,+∞) B. C.(-∞,-2) D.(-2,2)

解析:由a·b=2+k>0得k>-2,又当a∥b时,2k=1,k=,所以a与b夹角为锐角时,k的范围是. 答案:B

4.(2016江西吉安高三月考)△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=1,设点P,Q满足=λ=(1-λ),λ∈R,若=-2,则λ=( ) A.

B.

C.

D.2

解析:以点A为坐标原点,为x轴的正方向,为y轴的正方向,建立平面直角坐标系,由题意知

B. D.- B.-

C.±

D.

解析:由a+b=(2,-8),a-b=(-8,16)得a=(-3,4),b=(5,-12),所以cos==-,故选B.

解析:=(2,1),=(5,5),向量方向上的射影为||cos<>=|.

B(2,0),C(0,1),P(2λ,0),Q(0,1-λ),则=(-2,1-λ),=(2λ,-1),∵=-2,∴-2×2λ+(1-λ)×(-1)=-2,解得λ=,故选A. 答案:A

5.设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45°,则t的值为 . 解析:∵a=(4,-3),b=(2,1),

∴a+tb=(4+2t,-3+t). ∵a+tb与b的夹角为45°,

∴(a+tb)·b=|a+tb||b|cos 45°,∴2(4+2t)+(-3+t)×1=, ∴5t+5=.∴(t+1).①

将①式两边平方得t+2t-3=0,解得t=1或t=-3. 而t=-3时,①式无意义,∴t=-3舍去,故t=1. 答案:1

6.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).

2

3

(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值. 解:(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),

则=(2,6),=(4,4), 所以||=2,||=4.

故所求的两条对角线的长分别为2,4.

(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)·=0,得 (3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 从而5t=-11, 所以t=-.

7.导学号03070109在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?

解:因为a+b+c+d=0,所以a+b=-(c+d).

所以(a+b)=(c+d),

即|a|+2a·b+|b|=|c|+2c·d+|d|. 由于a·b=c·d,所以|a|+|b|=|c|+|d|.① 同理,有|a|+|d|=|c|+|b|.② 由①②可得|a|=|c|,且|b|=|d|, 即四边形ABCD的两组对边分别相等. 所以四边形ABCD是平行四边形. 又由a·b=b·c得b·(a-c)=0. 而由平行四边形ABCD的性质得a=-c, 代入上式得b·(2a)=0,

即a·b=0.所以a⊥b,亦即AB⊥BC. 综上所述,四边形ABCD是矩形. 8.导学号03070110 2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

如图,在△ABC中,=0,||=8,||=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点. (1)求的值;

(2)判断的值是否为一个常数,并说明理由.

解:(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系,由题意易知

|BC|=10,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A,

此时=(-10,0), 所以=-×(-10)+×0=14.

4

(2)设点E的坐标为(0,y)(y≠0), 此时,

所以=-×(-10)+×0=14,为常数, 故的值是一个常数.

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