昌平区2011-2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习

昌平区2011－2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习

数 学 试 卷（理科） 2012. 4 第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知全集U = R，集合A x|x2 4x 0 ，B {x|x 2}，则A B= A. {x|x 0} B. {x|0 x 2} C. {x|2 x 4} D. {x|0 x 4} 2. 在复平面内，与复数

1

对应的点位于 1 i

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. “a 1” 是“直线x y 0和直线x a2y 0垂直”的

A. 充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知直线l： 距离是

x t

，圆C： 2cos ，则圆心C到直线l的(t为参数）

y t 1

A. 2 B. 3 C.

2 D. 1

主视图

左视图

5.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有

A. 0个 B. 1个

C. 2个 D. 3 个

6. 某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有

A. 60种 B. 120种 C. 144种 D. 300种

7．如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上 任意一点，E、F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是

A. 点P到平面QEF的距离

1

B. 直线PQ与平面PEF所成的角 C. 三棱锥P QEF的体积 D.二面角P EF Q的大小

3

A1

C

8. 设等差数列 an 的前n项和为Sn，已知 a7 1 2012(a7 1) 1， a2006 1 2012(a2006 1) 1，则下列结论正确的是

A．S2012 2012，a2012 a7 B．S2012 2012，a2012 a7 C．S2012 2012，a2012 a7 D．S2012 2012，a2012 a7

3

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在 ABC中，a 2,b

2,A

4

那么角C=_________.

x2

y2 1，10.已知双曲线的方程为则其渐近线的方程为____________,若抛物线y2 2px的焦点与双曲线的右焦点4

重合，则p _______.

11. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值,若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有 ___________个.

12. 如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，CA切⊙O于点A，CD交AB的延长线于点E.若AC 3，

ED 2，则BE=________;AO=________.

A

E

x 0

13. 若变量 x , y满足约束条件 y 0表示平面区域M，则当-4 a 2时，动直线x y a所经过的平面区域M

y x 4

的面积为_____________.

14. 若对于定义在R上的函数f (x) ,其图象是连续不断的，且存在常数 ( R)使得

f (x + ) + f (x) = 0对任意实数x都成立，则称f (x) 是一个“ —伴随函数”. 有下列关于“ —伴随函数”的结论：①f (x) =0 是常数函数中唯一个“ —伴随函数”；②f (x) = x不是“ —伴随函数”；③f(x) = x2是一个“ —伴随函数”； ④“伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确的序号是________________（填上所有不正确的结论序号）． ．．．．．．

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

1

—2

15．（本小题满分13分）

已知向量a (cos ,sin ), b = (, 1), （Ⅰ）当a b时，求 的值; （Ⅱ）求|a b|的取值范围.

16．(本小题满分13分)

某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在A区射击3

次或选择在B区射击2次，在A区每射中一次得3分，射不中得0分; 在B区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在A区和B区每次射中移动靶的概率分别是

. 22

1

和p(0 p 1). 4

击区的标准，如果选手

(Ⅰ) 若选手甲在A区射击，求选手甲至少得3分的概率； (Ⅱ) 我们把在A、B两区射击得分的数学期望高者作为选择射甲最终选择了在B区射击，求p的取值范围.

17.（本小题满分14分）

在正四棱柱ABCD A1BC11D1中, AA1 2AB 2,

E为AD中点, F为CC1中点.

（Ⅰ）求证:AD D1F； （Ⅱ）求证:CE//平面AD1F；

(Ⅲ) 求平面AD1F与底面ABCD所成二面角的余弦值.

18．（本小题满分13分） 已知函数f(x) x

a

(a 1)lnx,a R . x

（Ⅰ）当a 1时，求f(x)的单调区间;

（Ⅱ）若f(x)在[1,e]上的最小值为 2，求a的值. 19．（本小题满分14分）

x2y2如图，已知椭圆M:2 2 1(a b 0),离心率e ,椭圆与x正半轴交于点A，直线l过椭圆中心O ，且

ab3

与椭圆交于B、C两点，B (1,1).

(Ⅰ) 求椭圆M的方程；

（Ⅱ）如果椭圆上有两点P、Q,使 PBQ的角平分线垂直于AO，问是否存在实数 ( 0)使得 成立？

20. (本小题满分13分)

实数列a0,a1,a2,a3 ，由下述等式定义

an 1 2n 3an,n 0,1,2,3, .

（Ⅰ）若a0为常数，求a1,a2,a3的值； （Ⅱ）求依赖于a0和n的an表达式；

（Ⅲ）求a0的值，使得对任何正整数n总有an 1 an成立.

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数学( 理科)试卷参考答案及评分标准 2012.4

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)

题号

答案

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)

B

D

A

C

C

B

B

A

1

2

3

4

5

6

7

8

7 1

10. y x , 2 11. 3 122

3

12. 1 ， 13． 7

2

14. ① ③ 注：10,12题第一空2分

9．

三、解答题(本大题共6小题，共80分) 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ） a⊥b ∴a b cosθ sinθ 0 2分 得tanθ

3 又∵

4分 22

即：θ=

6分 3

2

2

（Ⅱ）|a b|=a| 2a b |b| 2(3cosθ sinθ) 4

5 4sin(θ ) 9分

3

5

θ θ 11分 22636

1

( ) 2 4sin(θ ) 4 1 sinθ323

|a b| 3 13分

16．（本小题满分13分)

解：（Ⅰ）设“选手甲在A区射击得0分”为事件M,“选手甲在A区射击至少得3分”为事件N,则事件M与事件N为对立事件, P(M) C3 (

10127) (1 )3 2分 4464

2737

4分 6464

P(N) 1 P(M) 1

(Ⅱ) 设选手甲在A区射击的得分为 ,则 的可能取值为0，3，6,9.

127122711P( 0) (1-)3 ;P( 3) C3 (1 ) ; 4644464119131

P( 6) C32()2(1 ) ; P( 9) ()

4464464

所以 的分布列为

2727919 3 6 9 646464644

设选手甲在B区射击的得分为 ，则 的可能取值为0，2，4. E 0

2

P( 0) (1-p)2；P( 2) C12 p (1 p) 2p(1 p);P( 4) p

所以 的分布列为

E 0 (1 p)2 2 2p(1 p) 4 p2 4p

根据题意， 有 E E 4p 17.（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：在正四棱柱ABCD A1BC11D1中

99

, p 1 13分 416

四边形ABCD是正方形, AD CD

DD1 平面ABCD，AD 平面ABCD AD DD1 DD1 CD D AD 平面CDD1C1

4分 D1F 平面CDDC11 AD D1F

M,连结ME,MF. （Ⅱ）证明：在正四棱柱ABCD A1BC11D1中,连结A1D,交AD1于点 M为AD1中点.

E为AD中点，F为CC1中点. ME//DD1且ME

又 CF//DD1且CF

1

DD1 6分 2

1

DD1 2

四边形CEMF是平行四边形. CE//MF 8分

CE 平面AD1F,MF 平面AD1F.

CE//平面AD1F. 9分

(Ⅲ)解：以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图. 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2),F(0,1,1) 10分

平面ABCD的法向量为DD1 (0,0,2)

11分

设平面AD1F的法向量为n (x,y,z).

AF ( 1,1,1),AD1 ( 1,0,2)，分

n AF 0,则有

n AD1 0.

所以

x y z 0,

x 2z 0.

取z 1，得n (2,1,1).

n DD1. 13分 cos n,DD1 nDD1

平面AD1F与平面所成二面角为锐角.

所以平面AD1F与底面ABCD

14分

18．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）f (x)的定义域为｛x |x 0｝ 1分.

aa 1x2 a (a 1)x(x 1)(x a)f (x) 1 2 3分 22

xxxx

a 1 令f (x) 0，即

(x 1)(x a)

0,得x 1或x a，

x2

∴f(x)的增区间为（0，1），(a, ) ……………4分 令f (x) 0，即

(x 1)(x a)

0,得1 x a， 2

x

∴f(x)的减区间为(1,a) ………………5分 （Ⅱ）①当a 1时， f (x) 0在[1,e]上恒成立，

f(x)在[1,e]恒为增函数. 6分

[f(x)]min f(1) 1 a 2，得a 3(舍去）. 7分

②当1 a e 时，令f (x) 0，得x a或1. 当1 x a时，f (x) 0 f(x)在(1,a)上为减函数； 当a x e时，f (x) 0 f(x)在(a,e)上为增函数；

[f(x)]min f(a) a 1 (a 1)ln(a) 2，得（舍） 10分

③当a e时，f (x) 0在[1,e]上恒成立，

此时f(x)在[1,e]恒为减函数.

[f(x)]min f(e) e

a

(a 1) 2，得 a e. 12分 e

综上可知 a e. 13分

19．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由题意可知e

b

()2,得 a2 3b2 2分 3a

点B(1,1)在椭圆上

11422 1a 4,b 解得： 4分 22

3ab

x23y2

1 4分 故椭圆M的方程为：44

（Ⅱ）由于 PBQ的平分线垂直于OA即垂直于x轴，故直线PB的斜率存在设为k，则QB斜率为 - k，因此PB、QB

的直线方程分别为y = k (x-1)+1， y = -k (x-1) +1

6分

y k(x 1) 1

由 x23y2 得(1 3k2)x2 6k(k 1)x 3k2 6k 1 0①

1 4 4

由 0 ，得k

1

8分 3

点B在椭圆上，x =1是方程①的一个根，设P(xp,yp),Q(xQ,yQ)

3k2 6k 13k2 6k 13k2 6k 1

xP 1 即 xP ，同理xQ 10分 222

3k 13k 13k 1

kPQ

2(3k2 1)

yP yQk(xP xQ) 2kk 2 2k1

12kxP xQxP xQ3 2

3k 1

1

A(2,0),C( 1, 1) kAC 即：kPQ kAC

3

向量//，则总存在实数 使 成立. 13分

20.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）a1 1 3a0,a2 1 9a0,a3 7 27a0 2分

an 1an2n（Ⅱ）由an 1 2 3an,得 3分

( 3)n 1( 3)n( 3)n 1

n

an2n

令bn ，所以bn 1 bn nn 1

( 3)( 3)

所以bn b1 (b2 b1) (b3 b2) (bn bn 1)

222232n 1

b1 234n

( 3)( 3)( 3)( 3)

1222

b1 ( )[( ) ( )2 ( )n 1]

3333

22( )(1 ( )n 1)1 b1 ( )31 ( )3

22

b1 (1 ( )n 1), 6分

153

所以

ana122n 1

(1 ( )) 7分 ( 3)n 31532

[( 3)n 3 2n 1] 15

2n 1nn 1

(1 3a0)( 3) [( 3) 3 2]

15

所以an a1 ( 3)

n 1

1

[2n ( 1)n 1 3n] ( 1)n 3n a0 8分 5

1n 1nn 1n 1n 1

（Ⅲ）an 1 an [2 ( 1) 3] ( 1) 3 a0

51

[2n ( 1)n 1 3n] ( 1)n 3n a0 511

2n ( 1)n 4 3n( a0) 55

112n1n

所以n(an 1 an) () ( 1) 4 ( a0) 10分

3535

12n

如果 a0 0，利用n无限增大时，()的值接近于零，对于非常大的奇数n，有an 1 an 0；如果

53

111

a0 0，对于非常大的偶数n，an 1 an 0，不满足题目要求.当a0 时，an 1 an 2n,于是对于任何正555

1

整数n，an 1 an，因此a0 即为所求.

5

13分

【 以上答案仅供参考，若有其它解法，请酌情给分】

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/33oj.html