三年级奥数暑假复习讲义(学生版)

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三年级奥数暑假复习讲义

【课程说明】

由于培优大纲顺序和本课程顺序不同，所以在学习此课程时，有些讲次安排打乱了，重新排序不会影响知识点的学习。

【课程目标】

提升兴趣

※激发学生学习的主动性，乐于思考，乐于学习

培养习惯

※传授给学生正确的数学学习习惯，解题习惯

收获成绩

※通过正确的引导帮助孩子提高成绩，积累成就感和自信心

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第一讲 高斯求和

第二讲 找简单数列的规律 第三讲 上楼梯问题 第四讲 植树与方阵问题 第五讲 归一问题 第六讲 平均数问题 第七讲 和倍问题 第八讲 差倍问题 第九讲 和差问题 第十讲 年龄问题 第十一讲 鸡兔同笼问题 第十二讲 盈亏问题 第十三讲 巧求周长

第一讲 高斯求和

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老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝ ＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：

（1）1，2，3，4，5， ，100； （2）1，3，5，7，9， ，99； （3）8，15，22，29，36， ，71。

其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；

（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列； （3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

和=（首项+末项）×项数÷2。

【典型例题】

例1、 1＋2＋3＋ ＋1999＝？

例2、 11＋12＋13＋ ＋31＝？

例3 、3＋7＋11＋ ＋99＝？

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例4 、求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

例5、 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问： （1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

例6 、盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里 第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？

练习

1.计算下列各题：

（1）2＋4＋6＋ ＋200； （2）17＋19＋21＋ ＋39；

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2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？

5.求100以内除以3余2的所有数的和。

6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？

第二讲 找简单数列的规律

这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。 按一定次序排列的一列数就叫数列。例如， (1) 1，2，3，4，5，6， (2) 1，2，4，8，16，32； (3) 1，0，0，1，0，0，1，

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一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4。一般地，我们将数列的第n项记作an。

数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。 许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。

数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n项an＝n。

数列(2)的规律是：后项=前项×2，或第n项 数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。

数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即 a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5， a6=3+5=8，a7=5+8=13。

常见的较简单的数列规律有这样几类：

第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。例如数列(1)(2)。 第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4)。

第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。

【典型例题】

例1 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： (1)4，7，10，13，( )， (2)84，72，60，( )，( )； (3)2，6，18，( )，( )， (4)625，125，25，( )，( )； (5)1，4，9，16，( )， (6)2，6，12，20，( )，( )，

例2 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： (1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；

(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；

(3) 3，7，10，17，27，( )；

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例3 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： (1)18，20，24，30，( )；

(2)11，12，14，18，26，( )；

(3)2，5，11，23，47，( )，( )。

例4 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： (1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )；

(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。 练习

1、按其规律在下列各数列的( )内填数。 1. 56，49，42，35，( )。 2. 11， 15， 19， 23，( )， 3. 3，6，12，24，( )。 4. 2，3，5，9，17，( )， 5. 1，3，4，7，11，( )。 6. 1，3，7，13，21，( )。

7. 3，5，3，10，3，15，( )，( )。

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10. 15，21，18，19，21，17，( )，( )。 11. 数列1，3，5，7，11，13，15，17。

(1)如果其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何处？ (2)如果其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？

2、观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数. ①2，5，8，11，（ ），17，20。 ②19，17，15，13，（ ），9，7。 ③1，3，9，27，（ ），243。 ④64，32，16，8，（ ），2。

⑤1，1，2，3，5，8，（ ），21，34 ⑥1，3，4，7，11，18，（ ），47 ⑦1，3，6，10，（ ），21，28，36，（ ）. ⑧1，2，6，24，120，（ ），5040。 ⑨1，1，3，7，13，（ ），31。 ⑩1，3，7，15，31，（ ），127，255。 (11)1，4，9，16，25，（ ），49，64。 (12)0，3，8，15，24，（ ），48，63。 (13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（ ）. (14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（ ）.

3、按一定的规律在括号中填上适当的数： 1.1，2，3，4，5，（ ），7 2.100，95，90，85，80，（ ），70 3.1，2，4，8，16，（ ），64

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5.2，1，3，4，7，（ ），18，29，47 6.1，2，5，10，17，（ ），37，50 7.1，8，27，64，125，（ ），343

8.1，9，2，8，3，（ ），4，6，5，5

第三讲 上楼梯问题

有这样一道题目：如果每上一层楼梯需要1分钟，那么从一层上到四层需要多少分钟？如

果你的答案是4分钟，那么你就错了.正确的答案应该是3分钟。

为什么是3分钟而不是4分钟呢？原来从一层上到四层，只要上三层楼梯，而不是四层楼梯。 下面我们来看几个类似的问题。

例1、裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？

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例3、三年级同学120人排成4路纵队，也就是4个人一排，排成了许多排，现在知道每相邻两排之间相隔1米，这支队伍长多少米？

例4、时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？

例5、某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？

例6、晶晶上楼，从1楼走到3楼需要走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶？

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1.一根木料截成3段要6分钟，如果每截一次的时间相等，那么截7段要几分钟？

2.有一幢楼房高17层，相邻两层之间都有17级台阶，某人从1层走到11层，一共要登多少级台阶？

3.从1楼走到4楼共要走48级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相同，那么从1楼到6楼共要走多少级台阶？

4.一座楼房每上1层要走16级台阶，到小英家要走64级台阶，小英家住在几楼？

5.一列火车共20节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道，需要几分钟？

6.时钟3点钟敲3下，6秒钟敲完，12点钟敲12下，几秒钟敲完？

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8.A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼？

9.铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车的速度，测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2分钟，火车的速度是每秒多少米？

第四讲 植树与方阵问题

一、植树问题

要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题，

首先要牢记三要素：①总路线长.②间距（棵距）长.③棵数. 只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。 关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。 1.不封闭路线 例：如图

① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵。

全长、棵数、株距三者之间的关系是： 棵数=段数+1=全长÷株距+1

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株距=全长÷（棵数-1）

② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为： 全长=株距×棵数； 棵数=全长÷株距； 株距=全长÷棵数。

③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵。 棵数=段数-1=全长÷株距-1.

如右图所示.段数为5段，植树棵数为4棵。株距=全长÷（棵数+1）。 2.封闭的植树路线

例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。 如右图所示。

棵数=段数=周长÷株距.

二、方阵问题

学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

方阵的基本特点是：

① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.

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四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4； 每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。

③ 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。

【典型例题】

例1、有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？

例2、马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？

例3、某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？

例4、晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？

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棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？

例6、一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？

习题 1

1.一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树.问：共需树苗多少株？

2.有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？

3.在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时，乙刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问：甲每分钟走多少米？

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4.在一根长100厘米的木棍上，从左向右每隔6厘米点一个红点.从右向左每隔5厘米点一个红点，在两个红点之间长为4厘米的间距有几段？

练习 2 一、填空题

1.在相距100米的两楼之间栽树,每隔10米栽1棵,共栽了 棵树. 2.圆形滑冰场周长400米,每隔20米装一盏灯,共要装 盏灯.

3.一段公路长3600米,在公路两旁每隔9米栽一棵梧桐树,两端都栽,共栽梧桐树 棵. 4.在一个半径是125米的圆形花园周围以等距离种白杨树157棵,则两树间的距离是 米.

5.一个湖泊周长1800米,沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树,每两棵柳树中间栽一棵桃树,湖泊周围栽柳树 棵,栽桃树 棵.

6.一块三角形地,三边之长分别为156米、234米、186米,要在三边上植树,株距6米,三个角上各有一棵,共植树 棵.

7.一条马路长440米,在路的两旁每隔8米种一棵树,两边都种,共种 棵树.

8.两棵柳树相距408米,计划在这两棵树之间补栽小树23棵,每两棵树间隔相等,则树的间隔 米.

9.公路的每边相隔7米有一棵槐树,芳芳乘电车3分钟看到公路的一边有槐树151棵,电车的速度是每分钟 米.

10.国庆节接受检阅的一列车队共52辆,每辆车长4米,前后每辆车相隔6米,车队每分钟行驶105米.这列车队要通过536米长的检阅场地,要 分钟.

二、解答题

11.参加阅兵的战士有1200人,平均分成5个大队,队距是7.5米.每队6人为一排,排距是2米.整个队伍的总长有多少米.

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12.锯一条4米长的圆柱形的钢条,锯5段耗时1小时20分.如果把这样的钢条锯成半米长的小段,需要多少分钟.

13.一人以相等的速度在小路上散步,从第一棵树走到第12棵树用了11分钟,如果这个人走了25分钟,应走到的第几棵树.

14.在一个正方形的场地四周种树,四个顶点都有一棵,这样每边都种有24棵,四周共种多少棵树.

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第五讲 归一问题和归总问题

为什么把有的问题叫归一问题？我国珠算除法中有一种方法，称为归除法.除数是几，就称几归；除数是8，就称为8归.而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！

归一问题有两种基本类型.一种是正归一，也称为直进归一. 如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？ 另一种是反归一，也称为返回归一.

如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？

正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步.正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。

【典型例题】

例1、 一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？

例2、 一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？

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例3、学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？

例4、一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水排空？

例5、7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？

例6、某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务.由于缩短工期，要求4天完成任务，可是又要增加6人.求每天加班工作几小时？

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例7、甲、乙两个打字员4小时共打字3600个.现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个.求甲、乙二人每小时各打字多少个？

与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。 例8 一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？

例9 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？

例10 修一条公路，原计划60人工作，80天完成。现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？

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1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？

2．4台织布机5时可以织布2600米，24台织布机几小时才能织布24960米？

3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。问：48秒钟可以放映多少张片子？

4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？

5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。问：每天要工作几小时？

6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了，他用

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