第二讲 三角形的角及倒角模型

第二讲 三角形的角及倒角模型

1、 如图1，求证：AB＋AE＞BC＋CD＋DE

2、 如图2，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O，求证：AC＋BD＞（AB

＋BC＋CD＋AD）。

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3、 如图3，⊿ADE和⊿ABC中，∠EAD＝∠AED＝∠BAC＝∠BCA＝45°又有∠BAD＝∠BCF， （1） 求∠ECF＋∠DAC＋∠ECA的度数；

（2） 判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明。

4、 求∠a的度数。 5、如图5，∠A＝30°，求∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数。

6、将图6-1中线段AD上一点E（点A、D除外）向下拖动，依次可得图6-2、图6-3、图6-4，分别探究图6-2、图6-3、图6-4中∠A、∠B、∠C、∠D、∠E（∠AED）之间有什么关系？

7、如图7，在⊿ABC中D是BC上任意一点，E是AD上任意一点，试说明：AB＋AC＞BE＋EC。

8、如图8，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，则∠C＝ 。

9、如图9所示，点E和点D分别在⊿ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，试探索∠F与∠B，∠D的关系： 。

10、如图10，⊿ABC的一条外角平分线是CE，F是CA延长线上一点，FG∥EC交AB于点G，已知∠DCE＝50°，∠ABC＝40°，求∠FGA的度数。

11、如图11，在⊿ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，ED⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF＝ 。

12、如图12-1，BP、CP是任意⊿ABC的∠B、∠C的角平分线。 （1）探求∠BPC与∠A的数量关系。 （2）∠BPC能等于90度吗？说明理由。 （3）当∠A为多少度时，∠BPC＝2∠A？

（4）把图12-1中的⊿ABC变成图12-2中的四边形ABCD，BP、CP仍然是∠B、∠C的角平分线，猜想∠BPC与∠A，∠D有何数量关系？（只写出猜想结果，不写说理过程）。

13、如图13，在⊿ABC中，∠ABC的两个外角平分线交于点F，探索∠F和∠A的关系。

14、如图14，在⊿ABC中，∠ABC的平分线与∠ABC的外角平分线交于点A1，若∠A＝40°，则∠A1为 度；同样的方法作出∠A2，则∠A2的度数是 度；依次下去，当作出∠An时，它的度数是 度。

15、如图15，由图15-1的⊿ABC沿DE折叠得到图15-2；图3；图4。 （1）如图2，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由； （2）如图3，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由； （3）如图4，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由；

16、如图16，已知⊿ABC，将点A向下拖动，依次可得到图1、图2、图3。分别探究图中 ∠A、∠B、∠C、∠D、∠E有什么关系？

17、（1）小明有两根5㎝、8㎝的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根（ ）长的木棒。

A、5㎝ B、8㎝ C、5㎝或8㎝ D、大于3㎝且小于13㎝的任意长 （2）⊿ABC中，有两边长分别为6和7，则周长l的取值范围是（ ）

A、1＜l＜13 B、13＜l＜25 C、14＜l＜26 D、无法确定

（3）已知⊿ABC的边长分别为2x＋1，3x，5，则⊿ABC的周长L的取值范围是（ ） A、6＜L＜36 B、10＜L≤11 C、11≤L＜36 D、10＜L＜36 （4）设a，b，c是⊿ABC的三边长，则：|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－b－a|＝ 。 18、（1）已知四根长度分别为3、6、8、10的木棒，任意选取三根木棒组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

（2）长为9、6、5、3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（ ）种选法。 A、4 B、3 C、2 D、1

19、⑴盒中装有四根长度分别为1、3、4、5的细木棒，小明手中有一根长度为3的细木棒，现从盒中取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起组成三角形，则不同的取法有（ ） A、3种 B、4种 C、5种 D、6种

⑵设a，b，c均为自然数，且a≤b≤c，a＋b＋c＝11，试问以a，b，c不边长的三角形有多少个？

20、如图，⊿ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点在，点E是AB上的一个动点，若CD＝4，则DE的最小值为 。

21、如图，在⊿ABC中，点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且S⊿ABC＝6平方厘米，则S阴影＝ 。

22、给出下列命题：

①三角形的一个外角大于它的任何一个内角；

②若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形； ③三角形的最小内角不能大于60°；

④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 其中真命题有（ ）个

23、在⊿ABC中，2∠A＝3∠B，且∠C－30°＝∠A＋∠B，则⊿ABC是（ ）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、有一个角是30度的直角三角形 D、等腰直角三角形 24、如图，在⊿ABC中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2＝ 。

25、如图，⊿ABC的三条角平分线交于I点（∠ACB＞∠ABC），AI交BC于D，作IE⊥BC于E，下列结论：①∠CID＋∠ABI＝90°；②∠BID＝∠CIE；③∠IBD＝∠DIE；④∠DIE＝∠ACI－∠ABI。其中正确的结论是（ ）（填序号）

26、⑴如图，∠ACD是⊿ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，……，∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An，同样操作，作⊿ABC的两个外角的平分线BP1，CP1交于点P1，⊿A1BC中两个外角的平分线BP2，CP2交于点P2，……，⊿An-1BC两个外角的平分线BPn，CPn，交于点Pn，设∠A＝a，则∠BPnC＝ 。

⑵如图，在⊿ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013＝ 度。

⑶已知∠ACE是⊿ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∠BAC＝50°，则∠BDC的度数为 ，∠CAD的度数为 。

⑷如右图所示，在⊿ABC中，CD、BE是外角平分线，BD、CE是内角平分线，BE、CE交于E，BD、CD交于D，试探索∠D与∠E的关系： 。

27、阅读下面的材料，并解决问题：已知在⊿ABC中，∠A＝60°， 如图1∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则可求得∠BOC＝120°；

如图2，∠ABC、∠ACB的三等分点交于点O1、O2，则∠BO1C＝ 。

如图3，∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O1、O2、……On，则∠BO1C＝ 。 ∠BOn-1C＝ 。（用含n的代数式表示）

⑵如图，在⊿ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013＝ 度。

⑶已知∠ACE是⊿ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∠BAC＝50°，则∠BDC的度数为 ，∠CAD的度数为 。

⑷如右图所示，在⊿ABC中，CD、BE是外角平分线，BD、CE是内角平分线，BE、CE交于E，BD、CD交于D，试探索∠D与∠E的关系： 。

27、阅读下面的材料，并解决问题：已知在⊿ABC中，∠A＝60°， 如图1∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则可求得∠BOC＝120°；

如图2，∠ABC、∠ACB的三等分点交于点O1、O2，则∠BO1C＝ 。

如图3，∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O1、O2、……On，则∠BO1C＝ 。 ∠BOn-1C＝ 。（用含n的代数式表示）

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