第7章 方差分析（定稿）

第7章 方差分析

课前预习导引

一、大纲解读

1．教学大纲解读

（1）教学内容

方差分析基本思想，单因素方差分析的数学模型，多重比较，利用计算机进行单因素方差分析，双因素方差分析的数学模型及方差分析，利用计算机进行有交互及无交互作用的双因素方差分析.

（2）教学要求

① 了解方差分析的基本思想；

② 了解单因素方差分析中的数学模型和使用的统计量，理解计算方法并能运用方差分析表做出正确判断；

③ 理解交互作用的概念，能运用方差分析表做无交互作用的双因素方差分析，了解有交互作用的双因素方差分析；

④ 能运用计算机进行单因素及双因素方差分析，并能解释所得结论的实际意义.

2．考研大纲解读（2012版）

本章内容不做要求.

二、问题搜索

第７.１节 方差分析的基本思想

问题：

1．方差分析是对观察或试验数据进行科学分析的一种行之有效的方法，其主要用于研究什么样的问题？

2．如何确定指标、因素及因素的水平？

3. 方差分析的基本思想是什么？根据方差分析中包含因素的多少，方差分析可分为哪些类型？

读者的问题：

第７.2节 单因素方差分析

问题：

1．单因素试验方差分析的基本思想和基本原理是什么？

2. 如何理解总离差平方和、误差平方和及效应平方和？它们之间的关系怎样？ 3. 为什么进行多重检验？如何进行检验？

4. 单因素方差分析的实施步骤是什么？怎样利用Excel软件进行单因素方差分析？

读者的问题：

193

第７.3节 双因素方差分析

问题：

1．与单因素方差分析相比，双因素试验的方差分析的基本思想、基本原理及实施步骤如何？两者有何区别与联系？

2．分别考虑在有交互作用及无交互作用下的双因素方差分析，两者有何区别与联系？

3. 如何理解总离差平方和、误差平方和及每个因素各自效应平方和？它们之间的关系怎样？ 4. 怎样利用Excel软件进行双因素方差分析？

读者的问题：

整理、归纳和提升

一、知识整理

本课程进入本章学习应具备的知识 1．统计估计；2．统计检验 本章（方差分析）学习的知识 类型 思 想 单因素方差分析 双因素方差分析 通过对各样本值与总平均值之间的离差平方和的分解，比较各因素的效应平方和与误差平方和的大小，从而确定各个因素对试验结果的影响是否显著；或者说，在同方差假设下，检验若干个正态总体的均值是否相等. 1. 对下列试验结果（数据）进行统计分析: 水平 A1 A2 ? A r 1.对下列试验结果（数据）进行统计分析: A B B1 x11 x21 ? xr1 B2 x12 x22 ? xr2 ? ? ? ? ? Bs x1s x2s ? xrs 观 测 值 x11 x21 ? xr1 x12 x22 ? xr2 ? ? ? ? x1nix2ni A1 A2 ? A r ? xrni 基 本 原 理 2. 建立模型： xij??i??ij?xij????i??ij,?ij~N(0,?)，各εij相互独立,其中??r22. 建立模型（不考虑因素间的交互作用）： xij??ij??ij????i??j??ij,?ij~N(0,?2)且相互独立，其中??1??j?r1rii?n?ni?1ri?1,?i??i?? (i?1,2,3,?,r)，且知rsrs??i?1j?1?ij,?i??1s?s?ij, j?1n??i?1ni，?ni?i?0. 1rr?j?1?ij,?i??i???,?i???j??，且知 s??i?0,i?1??j?1j?0. 3. 检验： (1) H0:?1??2????r (2) 作?i及?2的估计并进行多重比较 3. 检验（不考虑因素间的交互作用）： (1) H01:?1???2?????r? (2) H02:??1???2?????s 194

1. 根据总离差平方和分解为： 1. 根据总离差平方和分解为： rniijrniijrr2sijQ???(xi?1j?1?x)2???(xi?1j?1?xi)??n(xii?1i?x)2 Q???(xi?1j?1?x)?Q1?Q2?Q3,22?Q1?Q2Q1?s?(xi.?x)Q3?Q2?r?(x.j?x)22 计算Q1,Q2的值. ??(xij?xi.?x.j?x)计算Q1,Q2,Q3的值. 2. 计算统计量 Q12. 计算统计量 Q2基 本 步 骤 F?(r?1)(n?r) ~F(r?1,n?r)FA?(r?1) ~F(r?1,(r?1)(s?1))Q3Q1(r?1)(s?1)Q2(s?1) ~F(s?1,(r?1)(s?1))的值 3.给定?，确定分位数F?(r?1,n?r) FB?Q3(r?1)(s?1)的值 3.给定?，确定分位数F?(r?1,(r?1)(s?1))及F?(s?1,(r?1)(s?1)) 4. 列出方差分析表： F值 显著性 F4. 列出方差分析表： 方差 平方和 自由度 均方和 来源 2r?1 Q2 S2 因素 2误差 Q1n?rS1总和 Qn?1方 差 平方和 来 源 因素A 因素B 误 差 总 和 自由度 r?1s?1(r?1)(s?1)rs?1均方和 S1SS2F值 FAFB显著性 Q1Q2Q3Q 22235. 做出决策 5. 做出决策 结束本章学习后可进一步学习的本课程知识 相关与回归分析 二、技能归纳 1．利用Excel软件进行单因素方差分析

要领： 要掌握利用Excel进行单因素方差分析的基本技能，首先要理解单因素方差分析的基本思想和原理，能准确解释不同参数的含义. 在此基础上，再利用Excel软件进行分析，其具体步骤：

（1） 将试验所得的样本数据输入到Excel的工作表中，建立数据文件； （2） 在Excel菜单中 “工具”的下拉菜单选择“数据分析”，并在分析工具窗口选择“方差分析：单因素方差分析”，单击“确定”；

（3） 在“输入区域”输入正确的数据范围或用鼠标拖到数据区，根据问题的要求选择相应的“行”或“列”，并输入给定的显著性水平?的值，单击“确定”；

（4） 选择“输出区域”为新工作表（也可指定为本工作表的一个数据区域）； （5） 根据软件分析的结果，做出决策。

例1 为了考察红丁香的氮含量同几种菌种的关系，现用五种菌种和这五种菌种的合成来培养红丁香的氮含量，获得有关资料如表7-1所示.

表7-1 五种菌种及其合成培养红丁香的氮含量

观察次数 菌种 1 2 3 4 5 6（compose）

1 2 3 4 5 19.4 32.6 27.0 32.1 33.0 14.3 14.4 11.8 11.6 14.2 19.4 9.1 11.9 15.8 17.0 17.7 24.8 27.9 25.2 24.3 20.7 21.0 20.5 18.8 18.6 17.3 19.4 19.1 16.9 20.8 195

试据此分析菌种对红丁香氮含量的影响是否显著（??0.05）.

解 设原假设H0表示菌种的不同对红丁香氮含量无显著影响. 按照Excel进行单因素方差分析的具体步骤，其分析过程如图7-1—图7-4所示：

图7-1 样本数据输入方式

图7-2 数据分析对话框

图7-3单因素方差分析参数设置对话框

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图7-4 方差分析结果

根据图7-4知F?14.3075?Fcrit?2.62065，所以拒绝原假设H0，即认为因菌种不同对红丁香的氮含量的影响是显著的.

2．利用Excel软件进行双因素方差分析

要领： 要掌握利用Excel进行双因素方差分析的基本技能，首先要理解双因素方差分析的基本思想和原理，能准确解释不同参数的含义. 在此基础上，再利用Excel软件进行分析，其具体步骤：

（1） 将试验所得的数据录入到Excel的工作表中，建立数据文件； （2） 在Excel菜单中“工具”的下拉菜单中选择“数据分析”，并根据问题的实际情况相应的方差分析方法（如果进行无交互作用的方差分析在分析工具窗口选择“方差分析：无重复双因素分析”，而如果进行有交互作用的方差分析则在分析工具窗口选择“方差分析：可重复双因素分析”），单击“确定”；

（3） 在“输入区域”输入正确的数据范围或用鼠标拖到数据区，并根据问题的要求选择相应的“行”或“列”，并输入给定的显著性水平?的值，单击“确定”；

（4） 选择“输出区域”为新工作表（也可指定为本工作表的一个数据区域）； （5） 根据软件分析的结果，做出决策.

例2 设有6种不同品种的种子和5种不同的施肥方案，在30块同样面积的土地上，分别采用6类种子和5种施肥方案的各种搭配进行实验，产量如表7-2所示.

表7-2 采用6类种子和5种施肥方案各种搭配的产量

施肥方案 品 种 1 2 3 4 5 6 1 12 11.5 11.5 11 9.5 9.3 2 10.8 11.4 12 11.1 9.6 9.7 3 13.2 13.1 12.5 11.4 12.4 10.4 4 14 14 14 12.3 11.5 9.5 5 11.6 13 14.2 14.3 13.7 12 试分析种子的品种和施肥方案对产量的影响（??0.01）.

解 本试验是无重复双因素试验，品种作为因素A有6个水平，施肥方案作为因素B有5个水平. 在30种组合中每种水平组合下只做一次试验，且不考虑A，B的交互作用。

?分别表示种子的品种和施肥方案对产量无显著影响. 按照Excel进行无交互作设原假设H0和H0用下的双因素方差分析的步骤，其分析过程如图7-5—图7-8所示.

图7-6 数据分析对话框

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图7-5 样本数据输入方式

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