上海市2015年重点中学自主招生数学模拟试题（含答案）

上海市2015年重点中学自主招生数学模拟试题

答题时注意:

1、试卷满分150分;考试时间：120分钟.

2、试卷共三大题，计1６道题。考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。

一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）

1、如果关于x的方程x?ax?a?3?0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ ） A、?2?a?2 ] B、3?a?2 C、?3?a?2 D、?3?a?2 2、如图，已知：点E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，BD、DF分别交CE于点G、H，若正方形ABCD的面积是240，则四边形BFHG的面积等于????????（ ） EBAA、26 B、28 C、24 D、30

G3 、设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：

622x(y?x)?6x(z?x)?6y?x?x?z，则代数式

D3333F6H333x?y?z?3xyz的值是??????? （ ）

CA、0 B、1 C、3 D、条件不足，无法计算 D4、如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知： 3BC?10,cos?BCD?,?BCE?30?，则线段DE的长

5是??????? （ ）

A、89 B、73 C、4+33 D、3+43

5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成 E一个n排的等腰梯形阵，且这n排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是??????? （ ）

A、296 B、221 C、225 D、641

BCA

1

二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）

6、已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：⑴asin??bcos??c?0； ⑵acos??bsin??d?0（其中?为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：

。

7、函数y?x?1?2x?2?3x?3?4x?4的最小值是 。 8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 。 9、已知：x?35?2，则2可用含x的

有理系数三次多项式来表示为：2= 。

10、设p、q、r 为素数，则方程 p3?p2?q2?r2 的所有可能的解p、q、r组成的三元数组( p, q, r )是 。

三、解答题（共6题，共90分）

11、（本题满分12分）

赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学．后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的a，b，c，，z26个字母（不论大小写）依次用1，2，3，，26这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：

?x?[2]?1(其中x是不超过26的正奇数）；已知对于任意的实数x，记号[x]表示y??x?1?[]?13(其中x是不超过26的正偶数）?28?1]?13?17，即h变成q ，不超过x的最大整数；将英文字母转化成密码，如8?[211再如11?[]?1?6，即k变成f。他们给出下列一组密码：etwcvcjw ej ncjw

2wcabqcv，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来，并简单地

写出翻译过程。

2

12、（本题满分15分）

如果有理数m可以表示成2x2?6xy?5y2（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”。 ⑴ 个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为什么？ ⑵ 证明：两个“世博数”a、b（b?0）之商也是“世博数”。

3

13、（本题满分15分）

如图，在四边形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面积之比是3∶1∶4，点

E在边AD上，CE交BD于G，设

⑴求37k2?20的值； ⑵若点H分线段BE成

BGDE??k。 GDEABH?2的两段，且AH2?BH2?DH2?p2，试用含p的代数HE式表示△ABD三边长的平方和。

AHBCGED 4

14、（本题满分16分）

观察下列各个等式： 12?1,12?22?5,12?22?32?14,12?22?32?42?30,???。⑴你能从中推导出计算1?2?3?4???n的公式吗？请写出你的推导过程； ⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题：

已知：如图，抛物线y??x2?2x?3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OA

22222?、An?1，分别过这n?1个点n等分，分点从左到右依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、作x轴的垂线依次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、?、Bn?1，设△OBA1、 △A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、?、△An?1Bn?1A的面积依次为

S1、S2、S3、S4、?、Sn 。

①当n?2010时，求S1?S2?S3?S4?S5??S2010的值；

②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？

5

15、（本题满分16分）

有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC； ②腰长为4、顶角为36?的等腰三角形JKL； ③腰长为5、顶角为120?的等腰三角形OMN；

④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS；

⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ。

它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环。 我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”。

⑴证明：第④种塑料板“可操作”；

⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。 MSJPACNBKLOQR

WZX

Y

6

16、（本题满分16分）

定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。

如图所示，已知：⊙I是△ABC的BC边上的旁切圆，E、F分别是切点，AD?IC于点D。

⑴试探究：D、E、F三点是否同在一条直线上？证明你的结论。 ⑵设AB?AC?5,BC?6,如果△DIE和△AEF的面积之比等于m，出分别以

DE?n，试作EFmn、为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。 nmDCIEAB

F7

2015年重点中学自主招生数学模拟试题

参考答案与评分标准

一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）

1、如果关于x的方程x?ax?a?3?0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ C ） A、?2?a?2 ] B、3?a?2 C、?3?a?2 D、?3?a?2 2、如图，已知：点E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，BD、DF分别交CE于点G、H，若正方形ABCD的面积是240，则四边形BFHG的面积等于????????（ B ） EBAA、26 B、28 C、24 D、30

G3 、设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：

622x(y?x)?6x(z?x)?6y?x?x?z，则代数式

D3333F6H333x?y?z?3xyz的值是??????? （ A ）

CA、0 B、1 C、3 D、条件不足，无法计算 D4、如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知： 3BC?10,cos?BCD?,?BCE?30?，则线段DE的长

5是??????? （ D ）

A、89 B、73 C、4+33 D、3+43

5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成 E一个n排的等腰梯形阵，且这n排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是??????? （ B ）

A、296 B、221 C、225 D、641

BCA二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。不设中间分）

8

6、已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：⑴asin??bcos??c?0； ⑵acos??bsin??d?0（其中?为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是： a?b?c?d 。

7、函数y?x?1?2x?2?3x?3?4x?4的最小值是 8 。 8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 84—? 。

22229、已知：x?35?2，则2可用含x的

有理系数三次多项式来表示为：2=

?1311x?x 。 6610、设p、q、r 为素数，则方程 p3?p2?q2?r2 的所有可能的解p、q、r组成的三元数组( p, q, r )是 (3,3,3) 。

三、解答题（共6题，共90分。学生若有其它解法，也按标准给分）

11、（本题满分12分）

赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学，后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的a，b，c，，z26个字母（不论大小写）依次用1，2，3，，26这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：

?x?[2]?1(其中x是不超过26的正奇数）；已知对于任意的实数x，记号[x]表示y??x?1?[]?13(其中x是不超过26的正偶数）?28?1]?13?17，即h变成q ，不超过x的最大整数。将英文字母转化成密码，如8?[211再如11?[]?1?6，即k变成f。他们给出下列一组密码：etwcvcjw ej ncjw

2

9

wcabqcv，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来，并简单地

写出翻译过程。

略解：由题意，密码etwcvcjw对应的英语单词是interest, ej对应的英语单词是is, ncjw对

应的英语单词是best, wcabqcv对应的英语单词是teacher. (9分) 所以，翻译出来的一句英语是Interest is best teacher,意思是“兴趣是最好的老师”。

（3分） 12、（本题满分15分）

如果有理数m可以表示成2x2?6xy?5y2（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”。 ⑴ 个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为什么？ ⑵ 证明：两个“世博数”a、b（b?0）之商也是“世博数”。

略解：?m?2x2?6xy?5y2=(x?2y)2?(x?y)2，其中x、y是有理数，

?“世博数”m?p2?q2（其中p、q是任意有理数），只须p?x?2y,q?x?y

即可。 （3分）

?对于任意的两个两个“世博数”a、b，不妨设a?j2?k2,b?r2?s2,其中j、

k、r、s为任意给定的有理数， （3分）

则ab?(j2?k2)(r2?s2)?(jr?ks)2?(js?kr)2是“世博数”；（3分）

aj2?k2(j2?k2)(r2?s2)(jr?ks)2?(js?kr)2 ??(3分）?br2?s2(r2?s2)2(r2?s2)2 =(jr?ks2js?kr2)?()也是“世博数”。 （3分） 2222r?sr?s

13、（本题满分15分）

如图，在四边形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面积之比是3∶1∶4，点

E在边AD上，CE交BD于G，设

⑴求37k2?20的值；

BGDE??k。 GDEA 10

⑵若点H分线段BE成

BH?2的两段，且AH2?BH2?DH2?p2，试用含p的代数HE式表示△ABD三边长的平方和。

略解：⑴不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4，

∵

BGDE6k??k， ∴△ABD的面积是6，△BDE的面积是 ， GDEAk?114k6k， △CDE的面积为 ，△DEG的面积是。 k?1k?1(k?1)214k6k24k?3k?1?0，∴k?1 （3分）+=，即 2k?1(k?1)k?1△CDG的面积是

（3分）由此可得：

∴37k2?20=3 （1分）

⑵由⑴知：E、G分别为AD、BD的中点，又∵点H分线段BE成

BH?2的两段， HE∴点H是△ABD的重心。 （2分）

而当延长BE到K，使得BE?EK，连结AK、DK后便得到平行四边形ABDK，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得：

?2(BD2?AD2)?AB2?4DM2，2(AB?BD)?AD?4BE，类似地有?2222?2(AB?AD)?BD?4AG2222其中点M为边AB的中点。∴3(AB?BD?AD)?4(BE?DM?AG)。

222222222AG,BH?BE,DH?DM ，AH2?BH2?DH2?p2，333922222222∴BE?DM?AG?p，∴AB?BD?AD?3p。（3分）

4（3分）∵AH?

11

14、（本题满分16分）

观察下列各个等式： 12?1,12?22?5,12?22?32?14,12?22?32?42?30,???。⑴你能从中推导出计算1?2?3?4???n的公式吗？请写出你的推导过程； ⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题：

已知：如图，抛物线y??x2?2x?3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OA n等分，分点从左到右依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、?、An?1，分别过这n?1个点作

22222?、Bn?1，设△OBA1、 x轴的垂线依次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、?、△An?1Bn?1A的面积依次为

S1、S2、S3、S4、?、Sn 。

①当n?2010时，求S1?S2?S3?S4?S5??S2010的值；

②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？

略解：⑴∵n?(n?1)?3n?3n?1，∴当式中的n从1、2、3、…依次取到n时，就

332可得下列n个等式： （2分）

12

13?03?3?3?1,23?13?3?22?3?2?1,33?23?3?32?3?3?1,??, n3?(n?1)3?3n2?3n?1，将这n个等式的左右两边分别相加得： n3?3?(12?22?32???n2)?3?(1?2?3???n)?n （2分）

n3?3(1?2?3???n)?nn(n?1)(2n?1)?即1?2?3?4???n=。（3分）

3622222(0,3)，⑵先求得A、B两点的坐标分别为(3,0)、∴点A1、A2、A3、A4、A5、A6、?、An?13693(n?1)、、、?、，点B1、B2、B3、B4、B5、B6、?、Bn?1的纵坐nnnn323663(n?1)23(n?1)?()2?2()?3、?、?[]?2??3。 标分别为?()?2()?3、nnnnnn的横坐标分别为（3分）∴

99(n2?2n?3)9(n2?4n?12)9[n2?2(n2?n)?3(n?1)2]S1?,S2?,S3?,?,Sn?2n2n32n32n3∴

9{n3?2n(1?2?3???n?1)?3[12?22?32???(n?1)2]}S1?S2?S3???Sn?2n3n(n?1)n(n?1)(2n?1)?3?9(2n2?n?1)26=。 （3分） ?322n4n∴①当n?2010时， 9[n3?2n?9(2?20102?2009)72739881?； S1?S2?S3?S4?S5???S2008=2161604004?20109(2n2?n?1)999???②∵S1?S2?S3???Sn? 24n4n24n2∴当n取到无穷无尽时，上式的值等于

99，即所有三角形的面积和等于。 （3分） 22

15、（本题满分16分）

有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC； ②腰长为4、顶角为36?的等腰三角形JKL；

13

③腰长为5、顶角为120?的等腰三角形OMN；

④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS；

⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ。

它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为2.4、2.7的铁圆环。 我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”。

⑴证明：第④种塑料板“可操作”；

⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。

略解：⑴由题意可知四边形PQRS必然是等腰梯形，（2分）不妨设

QS?PR?QR?4,PQ?PS?RS=x，分别过点S、Q作QR、RS的垂线，垂足为

4?xRIRSxI、F，则由△QRF∽△RSI得到?，即2?，解得x?25?2。

xRFQR42∴SI?RS2?IR2?x2?(4?x2)?10?25＜2.4, 2∴第④种塑料板“可操作”。 （5分） ⑵如上图所示，分别作直角三角形ABC斜边BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、等腰三角形OMN底边上的高MG，易求得：AH=2.4, MG=2.5. (2分) 又由⑴可得等腰梯形PQRS的锐角底角是72?，△JKL≌△PQR，∴KE=SI.

而黄金矩形WXYZ的宽等于4?5?1?25?2＞2.4， （4分） 2

14

∴第①②④三种塑料板“可操作”；而第③⑤两种塑料板“不可操作”。 ∴从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率P?7。（3分） 10 16、（本题满分16分）

定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。

如图所示，已知：⊙I是△ABC的BC边上的旁切圆，E、F分别是切点，AD?IC于点D。

⑴试探究：D、E、F三点是否同在一条直线上？证明你的结论。 ⑵设AB?AC?5,BC?6,如果△DIE和△AEF的面积之比等于m，出分别以

略解：⑴结论：D、E、F三点是同在一条直线上。（1分）

证明：分别延长AD、BC交于点K，由旁切圆的定义及题中已知条件得：

DE?n，试作EFmn、为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。 nmAD?DK，AC?CK，再由切线长定理得：AC?CE?AF,BE?BF，（3分）

∴KE?AF。∴

KDAFBE???1，由梅涅劳斯定理的逆定理可证D、E、F三点共DAFBEK线。 （3分）

⑵∵AB?AC?5,BC?6,∴A、E、I三点共线，CE?BE?3,AE?4，连结IF，则△ABE∽△AIF，△ADI∽△CEI，A、F、I、D四点共圆。（2分） 设⊙I的半径为r，则：

34AD3?,r?6,∴AI?10,?,即AD?25，ID?45， r8ID6

15

∴由△AEF∽△DEI得：m?(4525DE455)?,??,DE?25，84AE825IE512?,EF?5，∴n?。 （4分）

6EF25?mn13?n?m?6mn∴?，因此，由韦达定理可知：分别以、为两根且二次项系数为6的一

mnnm???1?nm个一元二次方程是6x?13x?6?0。 （3分）

2

16

∴由△AEF∽△DEI得：m?(4525DE455)?,??,DE?25，84AE825IE512?,EF?5，∴n?。 （4分）

6EF25?mn13?n?m?6mn∴?，因此，由韦达定理可知：分别以、为两根且二次项系数为6的一

mnnm???1?nm个一元二次方程是6x?13x?6?0。 （3分）

2

16

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