六年级奥数-第三讲 - 方程综合运用. - 北师版

小学六年级奥数

第三讲 方程综合运用

教学目标

1、会解各种方程及方程组，熟练掌握各种解方程的解法 2、根据题意寻找等量关系的方法来构建方程及方程组 3、合理规划等量关系，设未知数、列方程（组）。 例题精讲

【例 1】 用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球，如图所示，

每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？

【解析】 设这个足球上共有x块白色皮块，则共有3x条边是黑白皮块共有的．另一方面，黑色皮块有

块，共有（条边是黑白皮块共有的（如图）．由于在这个足球上黑白皮块共有的边（32?x）532?x）是个定值，列得方程：3x?（，解得x?20．即这个足球上共有20块白色皮块． 532?x）【例 2】 某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如abcdefg4，则七位数abcdefg应是 ． 【解析】 设x?abcdefg，则(20000000?x?)?310x?8571428 【巩固】

，47x?59999996，x?8571428，即七位数应是

有一个六位数1abcde乘以3后变成abcde1，求这个六位数．

【解析】 设x?abcde，则有六位数1x和x1，有（100000?x）?3?10x?1，解得x?42857，所以原六位数

是142857．

【例 3】 有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是68，求这

三个连续整数.

【解析】 设最小的那个数为x，那么中间的数和最大的数分别为x?1和x?2．则x?2(x?1)?3(x?2)?68，

x?10．所以这三个连续整数依次为10、11、12．

【例 4】 小军原有故事书的本数是小力的3倍，小军又买来7本书，小力买来6本书后，小军所有的书

是小力的2倍，两人原来各有多少本书？

【解析】 设小力原有故事书x本，则小军原有故事书3x本。小力原有故事书5本，小军原有故事书15本． 【巩固】 水果店运来的西瓜的个数是白兰瓜的个数的2倍．如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若

干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩360个．水果店运来的西瓜和白兰瓜共多少个？

【解析】 设白兰瓜进了x个，则西瓜进了2x个，有 ??4y?3x?15?(1)??x?4??y?3??xy?3，得?，所以西瓜和白兰瓜共?（个）． ?5x?4y?15?(2)xy?x?4y?5?5???????法一：(涉及到分数，慎重选讲)

注意到两种瓜卖的天数相等这一等量关系，设白兰瓜进了2x?30个，则西瓜进了x?15个， 列方程得：x?15，解得y?15，19?12?15?15?11?20?673， 所以西瓜和白兰瓜共480?960?1440个．

法二：设卖了27天，根据题意列方程得18，解得12，所以西瓜和白兰瓜共有8

【例 5】 一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：

进球数 人数 0 7 1 5 2 4 ?? ?? 8 3 9 4 10 1 还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球．问：共有多少人参加测验？ 【解析】 设有x人参加测验．

由上表看出，至少投进3个球的有?x?7?5?4?人，投进不到8个球的有?x?3?4?1?人． 投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数， 为0?7?1?5?2?4?6??x?7?5?4??5?8?6??x?16??6x?83；

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也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数， 为3??x?3?4?1??8?3?9?4?10?1?3??x?8??24?36?10?3x?46；

由此可得方程：6x?83?3x?46，解得x?43． 故共有43人参加测验．

【例 6】 甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，

需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克．如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元．求每人可免费携带的行李重量．

【解析】 设每人可免费携带x千克行李．一方面，三人可免费携带3x千克行李，三人携带150千克行李超

重?150?3x?千克，超重行李共付4元行李费；另一方面，一人携带150千克行李超重?150?x?千克，超重行李需付行李费8元．根据超重行李每千克应付的钱数相同，可列方程：

150?3x150?x，x?30．所以每人可免费携带的行李重量为30千克． ?48【例 7】 某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖， 儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，

如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团(每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各自买票少花120元，问这个旅游团一共有多少人？

【解析】 设八个家庭中有x个是三口之家，y是个两口之家，则

20?(21?x)?24?(21?y)?924?20x?24y，所以旅游团一共有16x?18y?924?20x?24y人。

【例 8】 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度

从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。问：队伍有多长？

【解析】 这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍

长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了?650?x?秒，于是不难列方程。 设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得，2.6x?1.4x?2.6?650?x??1.4?650?x?，解得x?500推知队伍长为?2.6?1.4??500?600（米）。

【巩固】 解放军某部快艇追及敌舰，追到A岛时敌舰已逃离该岛12分钟，敌舰每分钟行1000米，我军快

艇每分钟行1360米。如果距敌舰600米处可以开炮射击，解放军快艇从A岛出发经过多少分钟可以开炮射击敌舰？

【解析】 根据题意可以知道题中的等量关系是：解放军所行路程-敌舰所行路程=600米 设解放军快艇从A岛出发经过x分钟可以开炮射击敌舰，由题意得： 1360x?(1000?12?1000x)?600 1360x?1000x?600?12000 x?35

所以，解放军快艇从A岛出发经过35分钟可以开炮射击敌舰。 【巩固】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，

骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？

【解析】 本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。

火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为22?x?1?或26?x?3?，由此不难列出方程。 设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得22?x?1??26?x?3?，解得x?14。 所以火车的车身长为?14?1??22?286（米）。

【例 9】 有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时；丙是22岁，当乙的年龄是丙的2倍，甲是

31岁；当甲60岁时，丙是多少岁?

【解析】 设丙22岁时，乙的年龄是x岁，当时甲的年龄就是2x岁，甲乙的年龄差为x岁． 那么甲是3l岁时，乙是(31?x)岁，丙是22?(31?2x)?53?2x岁， 列方程得，31?x?2(53?2x)，解得x?25，

所以乙25岁时，甲50岁，丙22岁．那么甲60岁时，丙32岁．

【巩固】 甲、乙两人在10年前的年龄比为2：3，现在他俩的年龄比为3：4，那么10年后他俩的年龄比

为多少？ 第 2 页 共 11 页

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【解析】 设10年前甲的年龄为2x岁，则当时乙的年龄为3x岁，那根据现在两人的年龄比可得方程：

?2x?10?:?3x?10??3:4，等式两边前后项交叉相乘可得8x?40?9x?30，解得x?10，所以10年前甲的年龄为20岁，乙的年龄为30岁，10年后两人分别是40岁、50岁，10年后两人的年龄比为4：5．

【巩固】 已知哥哥5年后的年龄与弟弟3年前的年龄和恰好是29岁，而弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍，那么试问哥哥今年多少岁？

【解析】 在这道题中，哥哥和弟弟的年龄是多少都不知道，未知的量不止一个，那么如何设未知数成了问

题的关键．按理说弟弟的年龄小，如果设弟弟的年龄未知数，那哥哥的年龄如何表示，这就要涉及到题目中的一个条件——弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍．通过这个条件可以发现，原来年龄差是他们两人年龄的最基本的组成元素．

设他们两人的年龄差是x岁，那么弟弟现在的年龄是4x岁，而哥哥现在的年龄是4x?x?5x岁．根据“哥哥A年后的年龄与弟弟B年前的年龄和恰好是B岁”这个条件可以得出方程，两个人的年龄差是M岁，于是弟弟的年龄是A岁，哥哥的年龄是B岁．

1【例 10】 金银合金的重量是250克，放在水中称重时，重量减轻了16克，已知金在水中称重量减轻，

191银在水中称重量减轻，求这块合金中金、银各含多少克？

10【解析】 设250克合金中，金有x克，则银有(250?x)克；依题意： 11x?(250?x)?16，解得x?190， 1910所以这块合金中金有190克，银有250?190?60克．

【巩固】 有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重6千克，乙块重4千克，现在从甲、乙两块合金上各切

下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，则切下的重量为________千克．

【解析】 设切下的部分重量为x千克，则甲切下的x千克与乙剩下的(4－x)千克混合．由于得到的两块新

合金的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的含铜率应与原来的两块新合金的含铜率相同，而这一大块合金是由6千克甲块合金与4千克乙块合金混合而成的，所以9:7千克甲块合金与7:5千克乙块合金混合后的含铜率与x千克甲块合金与y千克乙块合金混合后的含铜率相同，而甲、乙两块合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同，即??x?282??x?1?:y?9:7，所以：，解得28?21?49．即切下的重量为千克． ??7?y?21??x:?y?1??7:5【例 11】 从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们．题目是：我有金、

银两个首饰箱，箱内分别装有若干件首饰，如果把金箱中(7x?70):(3x?70)?7:4的首饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中x?30的首饰送给第二个算对这个题目的人，然后我再从金箱中拿出7?30?210件送给第三个算对这个题目的，再从银箱中拿出3?30?90件送给第四个算对这个题目的人．最后我的金箱中剩下的首饰比分掉的多2件，银箱中剩下的首饰与分掉的比是x．王子的金箱中原来有首饰________件，银箱中原来有首饰________件．

?x7?y?3??x?210【解析】 设原来金箱中有首饰y件，银箱中有首饰?x?707件，则：?，90，解得3，7?3?4，

?y?90????y?704故金箱中原来有首饰7?4?3件，银箱中原来有首饰[3,4]?12件．

【例 12】 运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比

丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个？

【解析】 设乙车运来x箱，每箱装y个苹果，根据题意列表如下：

车别 甲 乙 第 3 页 共 11 页

丙 小学六年级奥数

箱数 每箱苹果数 x x?35 x?7?7?2(x?7)?7 x?14?2x?21 35 35?7?7?49 根据上表可列出如下方程： ??4y?3x?15?(1)??x?4??y?3??xy?3，化简为? ?5x?4y?15?(2)???xy??x?4??y?5??5⑴?⑵，得：2x?30，于是x?15．

将x?15代入⑴或⑵，可得：y?15．

所以甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个．三车苹果的总数是：19?12?15?15?11?20?673(个)． 【例 13】 有大、中、小三种包装的筷子27盒，它们分别装有18双、12双、8双筷子，一共装有330双筷

子，其中小盒数是中盒数的2倍．问：三种盒各有多少盒？

【解析】 设中盒数为x，大盒数为y，那么小盒数为2x，根据题目条件有两个等量关系： ?2x?x?y?27 ?

18y?12x?8?2x?330??x?6 该方程组解得?，所以大盒有9个，中盒有6个，小盒有12个.

y?9?【巩固】 用62根同样长的木条钉制出正三角形、正方形和正五边形总共有15个.其中正方形的个数是

三角形与五边形个数和的一半，三角形、正方形和五边形各有多少个？

?x?y?【解析】 设三角形的个数为x，五边形的个数为y，那么正方形的个数为??，由此可列得方程组：

?2???x?y??x??2??y?15??? ?

x?y??3x?4????5y?62?2????x?4?x?y? 该方程组解得：?，所以???5，因此三角形、正方形、五边形分别有4、5、6个. y?62???【例 14】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个B配件组成．甲每天生产300个A配

件，或生产150个B配件；乙每天生产120个A配件，或生产48个B配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？

【解析】 假设甲、乙分别有天和y天在生产x?8?6配件，则他们生产x?8?2配件所用的时间分（x?8）别为x?8?6?2天和x?6?（天，那么10天内共生产了x?26配件(300x?120y)个，共2x?16）生产了B配件150?(10?x)?48?(10?y)?1980?150x?48y个．

要将它们配成套，A配件与B配件的数量应相等，即300x?120y?1980?150x?48y，得到75x?28y?330，

330?28y则x?．

75330?28y此时生产的产品的套数为300x?120y?300??120y?1320?8y，要使生产的产品最多，就要使

75得y最大，而y最大为10，所以最多能生产出1320?8?10?1400套产品．

【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生

产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？

【解析】 假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x天和y天，则他们用于生产裤子的天数分别为

(21?x)天和(2?1y天)，那么总共生产了上衣(16x?18y)件，生产了裤子20?(21?x)?24?(21?y)?924?20x?24y件．

根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以16x?18y?924?20x?24y，即2x，即7?那2()1x?1?2?51.?xx．么共生产了2x?6?3.5x套衣服．要使生产的衣服最多，就要使得1.5x?6最小，则x?4应最大，而x最大为21，此时2?4?1.5?4?14．故最多可以生产出14?1.6?12.4套衣服．

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【例 15】 米老鼠从A到B，唐老鸭从B到A，米老鼠与唐老鸭行走速度之比是6∶5，如下图所示．

26AC4MDB

M是A、B的中点，离M点26千米的C点有一个魔鬼，谁从它处经过就要减速25%，离M点4千米的D点有一个仙人，谁从它处经过就能加速25%．现在米老鼠与唐老鸭同时出发，同时到达，那么A与B之间的距离是 千米． 【解析】 设AM?MB?x，米老鼠的行走速度为6k，则唐老鸭的行走速度为5k(k?0)，如下图，则有米

老鼠从A到B需要时间

x-26AC30x-4MDBx?2630x?4 ??6k6k?(1?25%)6k?(1?25%)?(1?25%)1?16??x?14?(x?4)?， 6k?15?唐老鸭从B到A需要时间 x?430x?26 ??5k5k?(1?25%)5k?(1?25%)?(1?25%)?1?16??x?20?(x?26)?． 5k?15?因为米老鼠与唐老鸭用的时间相同，所以列方程

1?1616?1???x?14?(x?4)???x?20?(x?26)?， 6k?1515?5k??解得x?46．

所以，A、B两地相距92千米． ?

11的溶液，从乙容器取出的溶液，结果两个容45器共剩下2000克.问：两个容器原来各有多少溶液？

【解析】 设甲容器有溶液x克，乙容器有溶液y克，根据题目条件有两条等量关系,一是两容器溶液加起来

等于2600克，二是取溶液后两容器加起来有2000克.由此可列得方程组: ?x?y?2600? ??1? ?1?1?x?1?y?2000????4???5????x?1600 方程组最终解得?，所以甲容器中有溶液1600克，乙容器中有溶液1000克．

y?1000?【巩固】 甲、乙两个容器共有溶液2600克,从甲容器取出

【例 16】 甲、乙两种商品的原来价格比是．如果它们的价格各自上涨70元，它们的价格比变为

7:4．求甲乙两种商品的原价各是多少元？

【解析】 方法1：设甲乙两种商品原来价格分别为7x元，3x元，根据涨价后价格比为7:4，列方程得

(7x?70):(3x?70)?7:4，解得x?30，所以原来两种商品的原价各是7?30?210元，3?30?90元

?x7?y?3??x?210方法2：设甲乙两种商品原价各是x元,y元，依题意列方程组得?x?707解得?

?y?90????y?704甲乙两种商品原价各是210元,90元

方法3：由于原来两种商品相差7?3?4份，涨价后相差7?4?3份，由于涨价钱数相同，所以应涨[3,4]?12第 5 页 共 11 页

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xx?4所以价格涨了x?232份，恰是A元，?1?10??1，

812所以B份是50元，所以原来两种商品的价格各是为A元，3元

【巩固】 兄弟两人每月收入比B，支出钱数比4，他们每月都节余10元，求兄弟两人月收入各多少？ 【解析】 方法360:设兄弟两人每月收入分别为290元，A元，根据支出钱数比B列方程得A，解得x，所

以兄弟两人收入各是B元，(50?x)元

份，所以原来两种商品的价格比x，涨价后价格比

?200?5x?360方法A：9x?4(50?x)?200?5x：设兄弟两人月收入各是3x?10(50?x)?500?7x元，?元

?500?7x?290根据两个比例列方程得30?x?32解得x所以兄弟两人收入各是A元，2700元

方法B：由于兄弟结余相同，所以兄弟收入差和支出差相同，而收入差为A份，支出差为B份，所以收入差应为和支出差应为A份，所以兄弟收入比为B，所以结余应为20?18?15?13?2份对应360元，所以1份就是180元，所以兄弟两人月收入各是180?20?3600元，180?15?2700元 【例 17】 求方程3x＋5y＝31的整数解

31?5y1?y【解析】 方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得 x＝，即 x＝10－2y＋，要使方程有整数

331?y解必须为整数．

31?y取y＝2，得x＝10－2y＋＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2

31?y当y＝5，得x＝10－2y＋＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5

31?y当y＝8，得x＝10－2y＋＝10－16＋3无解

3?x?7?x?2 所以方程的解为：? ,?y?2y?5??方法二：利用余数的性质3x是3的倍数，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根据

这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为： 取y＝1，2y＝2，2÷3＝0??2（舍）

y＝2，2y＝4，4÷3＝1??1（符合题意） y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）

y＝4，2y＝8，8÷3＝2??2（舍）

y＝5，2y＝10，10÷3＝3??1（符合题意） y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）

当y＞6时，结果超过31，不符合题意。

?x?7?x?2,?所以方程的解为：? y?2y?5???1800a?1200b?800c?16000【例 18】 解方程? （ 其中a、b、c均为正整数 ）

a?b?c?15??9a?6b?4c?80【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得?，根据消元的思想将第二个式子扩大4倍

?a?b?c?15相减后为：(9a?6b?4c)?4(a?b?c)?80?4?15，整理后得5a?2b?20，根据等式性质，2b为偶数，20为偶数，所以5a为偶数，所以a为偶数，当a?2时，5?2?2b?20，b?5，所以c?8，

?a?2?当a?4时，5?4?2b?20，b?5，所以无解。所以方程解为?b?5

?c?8?1??5x?3y?z?100【例 19】 解不定方程? (其中x、y、z均为正整数) 3??x?y?z?100第 6 页 共 11 页

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?15x?9y?z?300【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得?，根据消元思想与第二个式子相减得

x?y?z?100?14x?8y?200，根据等式的性质两边同时除以2得：7x?4y?100，根据等式性质4y为4的倍

?x?4?x?8?x?12???数，100为4的倍数，所以7y为4的倍数，所以y为4的倍数试值如下?y?18,?y?11,?y?4

?z?78?z?81?z?84???【例 20】 某公交车起点站已停放10辆公交车，第一辆公交车开出后，每隔8分钟就有一辆公交车开出，

在第一辆公交车开出4分钟后，有一辆公交车进站，以后每隔12分钟就有一辆公交车进站，回站的公交车在原有的公交车依次开出之后又依次每隔8分钟开出一辆，问：第一辆公交车开出后，经过多少时间，车站第一次不能正点发车？

【解析】 假设第一辆公交车开出x分钟后车站无车可发，可列方程： xx?4?1?10??1，解得x?232． 812第一辆公交车开出后第232分钟可以发一趟车，到第240分钟时就无车可发了，所以答案是经过240分钟后车站第一次不能正点发车．

【巩固】 某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产A、B两种产品共50件，已知每生产一件A产品需甲

原料9千克和乙原料3千克；每生产一件B产品需甲原料4千克和乙原料10千克．现在工厂里只有甲原料360千克和乙原料290千克，那么该工厂利用这些原料，应该生产A、B两种产品各多少件，才能完成任务？请求出所有的生产方案．

【解析】 设生产A产品x件，则生产B产品(50?x)件．

共需要甲原料9x?4(50?x)?200?5x千克，需要乙原料3x?10(50?x)?500?7x千克．

?200?5x?360为避免原料不够用，则?，解得30?x?32．

500?7x?290?由于x是整数，所以共有3种方案：①生产A产品30件，B产品20件；②生产A产品31件，B产品19件；③生产A产品32件，B产品18件． 【例 21】 如图，图中5、8和10分别代表包含该数字的三个三角形的面积．试问：包含X这个字母的四

边形面积是多少？

X51085aXb810

【解析】 如图，设虚线把四边形X分成面积为a、b的两个三角形.利用同高的两个三角形面积之比等于

55?10881?0相应底边之比，可得：?（可化简为2a?b?8）和?（可化简为5b?4a?20），

a8?a?bb5?a?b由这两条方程构成方程组：

?2a?b?8?a?10，方程组可解得：， ??5b?4a?20b?12??所以四边形X的面积为10?12?22.

ACBACB1S【巩固】 三角形ABC中，1?1?1?，问：?DEF??

A1BB1CC1A2S?ABC第 7 页 共 11 页

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AB1AB1FC1DBEA1FC1DC

EA1C CB1【解析】 根据题意，直接建立?DEF与?ABC的联系是解答本题的关键，因为1?，所以连接AD后，

C1A2既可以使?BDC1与?ABC建立联系，又可使四边形AFDC1与?ABC也建立联系.

设S?ABC?1，S?BDC1?a，S?ADB1?x，则：S?ADC1?2a，S?CDB1?2x. 根据题意，

ACBACB11?1?1?，可列方程： A1BB1CC1A2B14??3a?x?x????3，方程解得?21， ???2a?3x?2?a?1??3?21?所以四边形AC1DB1的面积等于x?2a?以剩下的三角形DEF的面积为

22，同理四边形CB1FA1的面积和四边形BA1EC1的面积都是，所771. 7【例 22】 甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张，按每人

所拿的自然数得分，重复玩了3次后，甲共得19分，乙和丙各得13分，那么这三张牌上写的数是哪三个数？

【解析】 三张牌上的三个数之和是?19?13?13??3?15．

因为3不能整除13和19，所以甲、乙、丙谁也不可能三次拿到同一张牌，，又因为谁也没有拿到

三张牌各1次，所以三人都是拿了某张牌两次、另一张牌一次．设三张牌从大到小写的数依次为a、b、c.由乙、丙各得13分，推知乙、丙的三张牌是c、c、a和x、?24?x?、x.则甲的三张牌是8x??24?x??2??24?x??x、x?6、x.

y

由x?y?24得8x?y?2y?x.

?x?y?24???(1) 由?得y?3x，从而x?3x?24x?6.

8x?y?2y?x?(2)? 将y?18代入?1?、?3?得b?5，c?3.

所以，三张牌从大到小写的数依次是7，5，3. 【例 23】 三张卡片上分另标有p、q、r数码(整数)且0?p?q?r，游戏时将三张卡片随意分发给A、

B、C三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记分，如此重复游戏若干轮，结果A、三人得分总数分别为20、10、9．已知B在最后一轮的得分是r，那么⑴ 在B、第一轮得分是q；（2）p、q、r分别是 、 、 ．

【解析】 三人总分为20?10?9?39?1?39?3?13． 如果游戏进行了39或13轮，则p?q?r?1或3，与0?p?q?r矛盾；如果游戏只进行了1轮，则r?20，被A得到，与“B在最后一轮的得分是r”矛盾．所以游戏进行了3轮，且p?q?r?13．

⑴因为B共得10分，且最后一次得r分，所以前两次都得p分，否则三次至少得13分．因为C三次总分比B少，所以C没得过r分，前两次都得q分，即第一轮得q分的是C．

⑵假设C三次都得q，由B得p?p?r?10和A得r?r?p?20，解得r?10，p?0，与p?0矛盾，所以C前两次得q，最后一次得p．

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?p?2q?9,?由?2p?r?10,解得p?1，q?4，r?8． ?2r?q?20,?【例 24】 购买3斤苹果，2斤桔子需要6.90元；购买8斤苹果，9斤桔子需要22.80元，那么苹果、桔子

各买1斤需要 元.

【解析】 假设购买1斤苹果、桔子分别需要x元、y元，则： ?3x?2y?6.9， ?8x?9y?22.8?两式相加得11x?11y?29.7，即x?y?2.7。 所以各买1斤需要2.7元。

点评：从上面的过程可以看出，本题可以直接采用算术解法：买3?8?11斤苹果和2?9?11斤苹果，须6.90?22.80?29.7元，所以各买1斤需要29.7?11?2.7元. 【例 25】 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；则购买甲、乙、丙各1件，共需要 元。

?3x?7y?z?20??(1)【解析】 设甲、乙、丙的单价分别为x，y，z，则?，

4x?10y?z?27??(2)?由(1)?3?(2)?2得x?y?z?3?20?2?27?6，即各买一件需要6元。

点评：本题实际上是三元一次方程，但整体代入消元的思想与二元一次方程是相同的。 【例 26】 假设五家共用一井取水，甲用绳2根不够，差乙家绳子1根；乙用绳3根不够，差丙家绳子1根；

丙用绳子4根不够。差丁家绳子1根；丁用绳子5根不够，差戊家绳子1根；戊用绳6根不够，差甲家绳子1根．如果各得所差的绳子1根，都能到达井深．问井深，绳长各是多少？（井深为小于1000的整数）

【解析】 依次设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为A、B、C、D、E，井深k，则可列出方程组如下：

?2A?B?k?3B?C?k?? ?4C?D?k

?5D?E?k???6E?A?k这个方程组不是二元一次方程组，但是解方程组的思想方法与二元一次方程组相同，依次迭代B?k?2A，

C?k?3B?6A?2k，D?k?4C?9k?24A，E?k?5D?120A?44k，

代入最后一个式子，6??120A?44k??A?k，即721A?265k，所以A?265，k?721． 于是，B?191，C?148，D?129，E?76． 【例 27】 在同一路线上有4个人:第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人骑

自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的12时追上乘助力车的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇是16时．开摩托车的遇到乘助力车的是17时，并在18时追上骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助力车的？

【解析】 12时以前的位置关系对于这个问题的解决不起任何作用，所以我们从12时开始考虑．

设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为a、b、c、d，设在12时骑自行车的与坐汽车的距离为x，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为y． ?x?2?a?d??????1???x?y?4?a?b?????2?有? x?y?5b?c???3??????y?6b?d????4??????1??2??3??2??2???4?得到3x?10?c?d?，即x?10?c?d? 3设骑自行车的在t时遇见骑助力车的，则

101x??t?12???c?d?，即t?12?，所以t?15．

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所以骑自行车的在15时20分遇见骑助力车的． 【例 28】 河水是流动的，在Q点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P到Q，然后穿过湖到R，

共用3小时．若他由R到Q再到P，共需6小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，

5那么从P到Q再到R需小时．问在这样的条件下，从R到Q再到P需几小时？

2【解析】 设游泳者的速度为1，水速为y，PQ?a，QR?b，则有： ?a?b?3???1??1?y??a?b5 ??????2?

1?y2??a?b?6???3??1?y? 且有1?y、1?y、y均不为0．

by11?y ?1???2?得?????4? ?，即b?2y1?y23?1?y2?2ay???5? ?3???1?得?3，即a?2y1?y251?y 由?2?、?4?、?5?得：??1?y??a?b???4?3y?，即5y?4?3y．

22y5?1?151．由?2?得：a?b???1???．

2?2?42a?b15?1?15 ???1???小时．

1?y4?2?215 即题中所述情况下从R到Q再到P需小时．

2课后练习：

练习1. 丁丁和玲玲两人摘苹果，丁丁说：“把我摘的苹果给玲玲7个，玲玲摘的苹果的个数就是我的2

倍．”玲玲说：“把我摘的苹果给丁丁7个，他的苹果个数就和我的一样多了．”问丁丁和玲玲各摘了多少个苹果？

【巩固】 设丁丁摘了x个苹果，由题意得： x?7?7?2(x?7)?7 x?14?2x?21 x?35．

即丁丁摘了35个苹果，而玲玲的苹果个数为35?7?7?49(个)． 练习2. 大强参加6次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多2分，比后两次的平均分少2分．如

果后三次的平均分比前三次的平均分多3分，那么第四次比第三次多得多少分？

【解析】 设第三次分数是a分，第四次的分数为分，则前两次的分数之和分，最后（a?x）（2a?x?4）两次的分数之和分，有（2a?x?4）（2a?x?4）?（a?x）?（2a?x?4）?a?9，解得x?1，即第四次比第三次多得1分．

练习3. 儿子与父亲下围棋，双方约定父亲胜一局就得2分，儿子胜一局得8分，负的一方不管是谁都要

扣1分，比赛24局以后，父子得分相同，问他们各胜几局？

【解析】 法一：设儿子胜了x局，输了?24?x?局，父亲胜了?24?x?局，输了x局，

于是，y?则由得分关系得8x??24?x??2??24?x??x，解得x?6，

所以儿子赢了6局，父亲赢了18局．

法二：本题中要求儿子和父亲各胜多少局，可分别设两个未知数为x和y，要求两个未知数的值，一般要根据不同的等量关系列出两个方程．题中儿子、父亲比赛的总局数是24局，可列出一个方程：另x?y?24．外，两人的得分相同，儿子胜的局数正好是父亲负的局数，由此列出另一个方程：8x?y?2y?x．所以

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?x?y?24???(1)可列出方程组：?

8x?y?2y?x?(2)?将⑵变形为y?3x，代入⑴，得x?3x?24，解得x?6，所以y?18． 所以儿子胜了6局，父亲胜了18局．

练习4. 一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与

母羊的只数比是9:7；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7:5．这群羊原来有多少只？

【解析】 设原来公羊有x只，母羊有y只，那么根据题目条件有以下数量关系： ???x?1?:y?9:7 ?

x:y?1?7:5?????x?28 根据有关比例性质，方程组可化简为：?，所以这群羊原来有28?21?49只.

y?21?练习5. 有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆

中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？

【解析】 解：设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙堆后，甲乙两堆都是个石子；再从乙（x?8）堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（x?8?6）个石子；此时又从丙堆中取2个给甲堆，那么甲堆石子数变成（x?8?2）个，丙堆石子数变成（x?8?6?2）个，有x?6?（，2x?16）解得x?26．

月测备选

【备选1】有一个五位数，在它后面写上一个7，得到一个六位数；在它前面写上一个7，也得到一个六

位数．如果第二个六位数是第一个六位数的5倍，那么这个五位数是 ．

【解析】 设五位数是x，那么第一个六位数是10x?7，第二个六位数是700000?x．依题意列方程

，解得x?1425． 700000?x?（510x?7）【备选2】松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天可以采12个，它一连几天采了112个松子，

平均每天采14个，问这几天当中有几天是下雨天？

【解析】 根据题意，松鼠妈妈采的松子有晴天采的，也有雨天采的，总的采集数可以求得，采集天数也确

定，因此可列方程组来求解．

设晴天有x天，雨天有y天，则可列得方程组：

?20x?12y?112???1?? ? 112x?y?????2????14 ?1?化简为5x?3y?28 ?????3?

用加减法消元：?2??5??3?得：5(x?y)?(5x?3y)?40?28 解得y?6.所以其中6天下雨.

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?x?y?24???(1)可列出方程组：?

8x?y?2y?x?(2)?将⑵变形为y?3x，代入⑴，得x?3x?24，解得x?6，所以y?18． 所以儿子胜了6局，父亲胜了18局．

练习4. 一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与

母羊的只数比是9:7；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7:5．这群羊原来有多少只？

【解析】 设原来公羊有x只，母羊有y只，那么根据题目条件有以下数量关系： ???x?1?:y?9:7 ?

x:y?1?7:5?????x?28 根据有关比例性质，方程组可化简为：?，所以这群羊原来有28?21?49只.

y?21?练习5. 有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆

中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？

【解析】 解：设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙堆后，甲乙两堆都是个石子；再从乙（x?8）堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（x?8?6）个石子；此时又从丙堆中取2个给甲堆，那么甲堆石子数变成（x?8?2）个，丙堆石子数变成（x?8?6?2）个，有x?6?（，2x?16）解得x?26．

月测备选

【备选1】有一个五位数，在它后面写上一个7，得到一个六位数；在它前面写上一个7，也得到一个六

位数．如果第二个六位数是第一个六位数的5倍，那么这个五位数是 ．

【解析】 设五位数是x，那么第一个六位数是10x?7，第二个六位数是700000?x．依题意列方程

，解得x?1425． 700000?x?（510x?7）【备选2】松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天可以采12个，它一连几天采了112个松子，

平均每天采14个，问这几天当中有几天是下雨天？

【解析】 根据题意，松鼠妈妈采的松子有晴天采的，也有雨天采的，总的采集数可以求得，采集天数也确

定，因此可列方程组来求解．

设晴天有x天，雨天有y天，则可列得方程组：

?20x?12y?112???1?? ? 112x?y?????2????14 ?1?化简为5x?3y?28 ?????3?

用加减法消元：?2??5??3?得：5(x?y)?(5x?3y)?40?28 解得y?6.所以其中6天下雨.

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