北航机械考研971972动力学课后答案概7

碰 撞

物体在运动过程中受到冲击作用，在极短的时间内，运动状态发生突变，这种现象称为碰撞。由于碰撞过程比较复杂，因此我们只研究碰撞前后运动状态的变化规律。 一、碰撞的基本概念

1、碰撞的特点与基本假设 特点： （1） 碰撞过程持续的时间?极短，碰撞前后物体的速度发生了突

变。 （2） 碰撞时物体间产生极大的作用力，称为碰撞力。碰撞力的作

用以冲量的形式来度量

（3）碰撞过程常伴随有机械能的损失。 基本假设 （1） 由于碰撞力很大，因此忽略非碰撞力（常规力）的影响。 （2） 由于碰撞过程时间很短，因此忽略碰撞过程中物体的位移，

也就是假设在碰撞过程中，物体或质点系在空间的位置保持不变。 （3） 当物体碰撞时，物体的变形局限在接触点附近的很小区域

内。

2、碰撞过程的两个阶段与恢复系数

压缩阶段：从两物体开始接触直至碰撞点处的压缩变形达到最大

0I*??Fdt?值。在这一阶段碰撞力的冲量称为压缩冲量，其大小用I1表示。

恢复阶段：从两个物体在碰撞点处的变形开始恢复，直至两个物体脱离。在这一阶段碰撞力的冲量称为恢复冲量，其大小用I2表示。

恢复系数：两个物体碰撞的恢复系数e定义为

e?I2I1

（9-1）

恢复系数的取值范围为0?e?1，可以证明上式等价于

e??u1n?u2nv1n?v2n（9-2）

其中：v1n,v2n,u1n,u2n为物体1和物体2的碰撞点，在碰撞前后的速度在碰撞法线上的投影。 3、碰撞的分类

1

按恢复系数e的大小，碰撞可分为 （1） 弹性碰撞：0?e?1 （2） 完全弹性碰撞：e?1 （3） 完全塑性碰撞：e?0

按几何或运动条件，碰撞可分为 （1） 对心碰撞：两个物体的质心都在碰撞法线上，这样的碰撞称

为对心碰撞。 （2） 偏心碰撞：两个物体的质心不都在碰撞法线上。 （3） 正碰撞：两个物体碰撞点的速度都平行于碰撞法线。 （4） 斜碰撞：两个物体碰撞点的速度不都平行于碰撞法线。 二、碰撞的基本定理 1、碰撞过程的冲量定理

定理：碰撞前后质点系动量的改变量等于作用于质点系上外碰撞力冲量的矢量和，即

p2?p1??I*（9-3） 或表示成

mvC2?mvC1??I*

（9-4）

对于平面问题，上述两个矢量微分方程，各等价于两个常微分方程。 2、碰撞过程的冲量矩定理

定理：碰撞前后质点系对惯性参考系中固定点0的动量矩的改变量等于作用于质点系上外碰撞力冲量对O点之矩的矢量和，即

LO2?LO1??MO(I*)

（9-5）

定理：碰撞前后质点系相对质心C的动量矩的改变量等于作用于质点系上外碰撞力冲量对质心C之矩的矢量和，即：

LC2?LC1??MC(I*)

（9-6）

对于平面问题，上述两个矢量微分方程，各等价于一个常微分方程。对于作平面运动的质点系，其动量定理和动量矩定理等价于三个常微分方程。

思考题与习题

（碰撞）

9－1 两个相同的均质杆OA、AB用铰链连接悬挂在天花板上，每

2

个杆的质量为m长为L，若在AB杆上作用一水平冲量I，使得冲击结束后的瞬时，OA杆的角速度为零，求冲量的作用位置x。

O O D B A A I B x I x

题9－1图

题9－2图

9－2 两个相同的均质杆OA、BD用铰链连接悬挂在天花板上，每个杆的质量为m长为L，杆的下端用铰链与边长为L质量为m的正方形均质板连接，系统静止。若在板上作用一水平冲量I，使得冲击时，铰链O和D处没有铅垂方向的约束冲量，试确定冲量I作用在板上的位置x。

9－3 两个相同的均质杆OA、AB用铰链连接静止放在光滑的水平地面上，且两个杆在同一直线上，每个杆的质量为m长为L，若在AB杆的B端作用一垂直于AB杆的水平冲量I，求冲击结束后的瞬时，各杆的角速度和AB杆上B点的速度。

O O D

A

v A

I B B

题9－3图 题9－4图

m的砝码（视为质点）用绳索连接，通过两个定 9-4 l两个质量均为

滑轮铅垂静止吊起，绳索BD的长度为L，一质量为m的小球以水平速度v与砝码B发生完全弹性碰撞。忽略滑轮的尺寸，不计绳索的质量和所有摩擦。求碰撞结束后的瞬时，砝码A和B的速度及其加速度。

3

9-5 质量为m半径为R的均质圆盘与长为4R质量为m的均质细杆AB固连在一起，静止放在光滑的水平地面上,AB杆水平，其中心与圆盘中心重合。有一质量为m的粘土块自某一高度自由落下,以速度v与杆上的A点发生碰撞,碰撞结束后两者粘在一起。求两物体碰撞结束后的瞬时，圆盘的角速度、角加速度和地面的约束力。 B

u R B A I A 题9－5图 题9－6图

9－6 质量为m长为L 的均质细杆AB静止放在水平面上,杆与地面的

动滑动摩擦因数为f,有一水平冲量I垂直于杆作用在杆的A端。求冲击结束后的瞬时，杆上A点的速度和加速度。

9-7 质量为m倾角为450的斜块B静止放在光滑的水平面上，质量为m的小球A以速度v铅垂落到斜块B上，两者发生完全弹性碰撞。求碰撞结束后的瞬时，小球的速度uA和滑块的速度uB

A

B v 450 题9－7图

4

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