2018届高考数学（理）热点题型：数列（含答案）

数列

热点一 等差数列、等比数列的综合问题

解决等差、等比数列的综合问题时、重点在于读懂题意、灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题、求解这类问题要重视方程思想的应用.

3

【例1】已知首项为2的等比数列{an}不是递减数列、其前n项和为Sn(n∈N*)、且S3＋a3、S5＋a5、S4＋a4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式；

1

(2)设Tn＝Sn－S(n∈N*)、求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.

n

解 (1)设等比数列{an}的公比为q、 因为S3＋a3、S5＋a5、S4＋a4成等差数列、 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5、即4a5＝a3、 a51

于是q2＝a＝4.

3

31

又{an}不是递减数列且a1＝2、所以q＝－2. 3?1?n－1

故等比数列{an}的通项公式为an＝2×?－2?

??3

＝(－1)n－1·2n. 11＋?n，n为奇数，n?21??(2)由(1)得Sn＝1－?－2?＝?

??1

??1－2n，n为偶数，当n为奇数时、Sn随n的增大而减小、 3

所以1

11325

故0

1

当n为偶数时、Sn随n的增大而增大、

3

所以4＝S2≤Sn<1、

11347

故0>Sn－S≥S2－S＝4－3＝－12. n

2

715

综上、对于n∈N*、总有－12≤Sn－S≤6.

n

57

所以数列{Tn}最大项的值为6、最小项的值为－12.

【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题、既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解、更要善于根据具体问题情境具体分析、寻找解题的突破口.

【对点训练】已知数列{an}是公差不为零的等差数列、其前n项和为Sn、满足S5－2a2＝25、且a1、a4、a13恰为等比数列{bn}的前三项. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)设

?1????Tn是数列aa?的前??nn＋1??

1

n项和、是否存在k∈N、使得等式1－2Tk＝b成立？

k

*

若存在、求出k的值；若不存在、请说明理由. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)、 5×4???

??5a1＋d?－2（a1＋d）＝25，

2??∴? 2??（a1＋3d）＝a1（a1＋12d），解得a1＝3、d＝2、∴an＝2n＋1. ∵b1＝a1＝3、b2＝a4＝9、

∴等比数列{bn}的公比q＝3、∴bn＝3n. (2)不存在.理由如下： ∵

1?111?1＝＝2?2n＋1－2n＋3?、 anan＋1（2n＋1）（2n＋3）??

1??1??11??11??1

∴Tn＝2??3－5?＋?5－7?＋…＋?2n＋1－2n＋3??

????????1?1?1

＝2?3－2n＋3?、 ??

21∴1－2Tk＝3＋(k∈N*)、

2k＋3

??1??

易知数列?2k＋3?为单调递减数列、

????

1?21311?

∴3<1－2Tk≤15、又b＝3k∈?0，3?、

??k1

∴不存在k∈N*、使得等式1－2Tk＝b成立.

k

热点二 数列的通项与求和

数列的通项与求和是高考必考的热点题型、求通项属于基本问题、常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征、选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等. 【例2】设等差数列{an}的公差为d、前n项和为Sn、等比数列{bn}的公比为q、已知b1＝a1、b2＝2、q＝d、S10＝100. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式；

an(2)当d>1时、记cn＝b、求数列{cn}的前n项和Tn.

n

?10a1＋45d＝100，

(1)解 由题意有?

ad＝2，?1?2a1＋9d＝20，

即? ad＝2，?1

?a1＝9，?a1＝1，?解得?或?2

d＝?d＝2?9.?

1?an＝9（2n＋79），

?an＝2n－1，?故?或? n1n－1?bn＝2?2?

??9?b＝9·.n???

－

(2)解 由d>1、知an＝2n－1、bn＝2n－1、 2n－1

故cn＝n－1、

2

2n－13579

于是Tn＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋n－1、①

22n－1113579

2Tn＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2n.②

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