江苏省海安高级中学模考卷一

2018年江苏省海安高级中学高三模考卷一

2018.3.1

一. 填空题 (每题5分,计70分)

1. 已知集合A?yy?sinx,x?R，集合B?yy????x,x?R，则A?B? .

?2. “a?0”是“复数a?bi(a,b?R)是纯虚数”的 条件 3. 将函数y?sin(2x??3)的图象先向左平移

?3，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的

，则所得到的图象对应的函数解析式为_______________ 2倍（纵坐标不变）

x24. 若抛物线y??2px(p?0)的焦点与双曲线?y2?1的左焦点重合,则p的值 .

325. 函数f(x)?x?2?lnx在定义域内零点的个数为

6. 已知直线y?kx?1与曲线y?x?ax?b切于点（1, 3），则b的值为

37. 若规定

abcd1x????????8. 若平面向量a,b满足a?b?1,a?b平行于x轴，b?(2,?1)，则a=

9．在△ABC中，AB?BC，cosB??心率e? . 10. 直线y??ad?bc，则不等式log311?0的解集是 7．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离183x?2与圆心为D的圆(x?3)2?(y?1)2?3交于A、B两点，则直线AD与BD3的倾斜角之和为 11.如果函数f(x)?2sin?x(??0)在???2?2??,?上单调递增，则?的最大值为 33??12. 等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1??2008，

S2007S2005??2，则S2008=_____． 20072005????????13 .△ABC满足AB?AC?23，?BAC?30?，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义

f(M)?(x,y,z)，其中x,y,z分别表示△MBC,△MCA,△MAB的面积，若

141f(M)?(x,y,)，则?的最小值为

2xy14. 设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)?2010，且对任意的x?R，满足

f(x?2)?f(x)?3?2x,f(x?6)?f(x)?63?2x，则f(2010)?

二. 解答题 (解答应给出完整的推理过程,否则不得分)

15. （14分）已知全集U?R,集合A?xx?x?6?0，B?xx?2x?8?0，

?2??2?C?xx2?4ax?3a2?0，若CU(A?B)?C，求实数a的取值范

围.

16. （14分）如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x?y?1.已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y?kx?m(k?0)，记角A、B、C所对的边分别是a，b，22??c。 （1）若3k?2ac2A?C,求cos?sin2B的值；

2a2?c2?b2（2）若k?2,记?xOA??(0???

?2),?xOB??(????3?),求sin(???)的值。 217.（15分）某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改

造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：

①y与a?x和x的乘积成正比；

②x?③0?a2时，y?a； 2x?t，其中为常数，且t?[0,1]。

2(a?x)求：（1）设y?f(x)，求f(x)表达式，并求y?f(x)的定义域； （2）求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入。

18. （15分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M(2,t) (t?0)在椭圆的准线

上。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求以OM为直径且被直线3x?4y?5?0截得的弦长为2的圆的方程； （3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，

求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。

19. （16分）已知函数f(x)?xlnx，

（1）判断函数f(x)的奇偶性； （2）求函数f(x)的单调区间； （3）若关于x的方程

20. （16分）已知数列?an?满足a1（1）求a2k?1(k?N?)； （2）数列{yn},{bn}满足

2f(x)?kx?1有实数解，求实数k的取值范围．

?1,a2?3,且an?2?(1?2cosn?2)an?sinn?,n?N?, 2111yn?a2n?1,b1?y1，且当n?2时bn?yn2(2?2??? )．2y1y2yn?1证明：当n?2时，

bn?1bn1； ??222(n?1)nn1111)?(1?)?(1?)???(1?)与4的大小关系． b1b2b3bn（3）在（2）的条件下，试比较(1?

理科加试

21．已知(x?12x)n的展开式中前三项的系数成等差数列．

（1）求n的值；

（2）求展开式中系数最大的项．

[来源:学。科。网]

22．“抽卡有奖游戏”的游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏．

（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为

25．请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？ 28（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用?表示4人中的某人获

奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求?的概率分布及?的数学期望．

23．已知曲线C的方程y

24．已知抛物线C的顶点在原点, 焦点为F(2, 0). （1）求抛物线C的方程；

[来源:学+科+网]2?3x2?2x3，设y?tx，为参数，求曲线C的参数方程．

（2）过N(?1,0)的直线交曲线C于A,B两点，又AB的中垂线交y轴于点D(0,t)，

求的取值范围．

参考答案

一.填空题(每题5分,计70分) 1.?0,1? 2. 必要不充分 3.y?sin(x?8. ??1,1?或??3,1? 9．

?3) 4. 4 5. 2 6. 3 7. (1,2)

343 10. ? 11. 。 12. -2008 13 .18。14. 22010?2009 834二.解答题(解答应给出完整的推理过程,否则不得分)

15. 解：A?x?2?x?3,B?xx??4,或x?2，A?B?xx??4,或x??2 CU(A?B)?x?4?x??2，而C?x(x?a)(x?3a)?0???7分 （1）当a?0时，C?xa?x?3a，显然不成立???9分

（2）当a?0时，C??，不成立???11分

?????????????3a??44（3）当a?0时，要使CU(A?B)?C，只要?，即?2?a??。C??x3a?x?a?，

3?a??2???14分

16.解：（1） 变式得：3sinB2ac1?2,解得sinB?, ??4分 22cosBa?c?b3原式?sin2B1?cosB9?22； ????7分 ?sin2B??2sinBcosB?2218（2）解法一：∠AOB=???，作OD⊥AB于D，

??xOD??????2????2,?tan???2?kOD??11??,???11分 k2sin(???)?42??. ???14分

???51?tan222tan????x2?y2?1解法二 :?,5x2?4mx?m2?1?0?y?2x?m4mm2?1设A(x1,y1),B(x2,y2),x1?x2??,x1x2?.

55sin(???)?sin?cos??cos?sin??y1x2?x1y2?(2x1?m)x2?x1(2x2?m)4?4x1x2?m(x1?x2)??????14分5

17.解：（1）设y?k(a?x)x，当x?∴定义域为[0,a2时，y?a，可得：k?4，∴y?4(a?x)x 22at]，为常数，且t?[0,1]。 ??????7分 1?2ta（2）y?4(a?x)x??4(x?)2?a2

22ata1a当?时，即?t?1，x?时，ymax?a2 1?2t2222ata12at当?，即0?t?，y?4(a?x)x在[0,]上为增函数 1?2t221?2t8a2t2at∴当x?时，ymax? ????????14分

(1?2t)21?2t∴当

1a?t?1，投入x?时，附加值y最大，为a2万元； 228a2t12at当0?t?，投入x?时，附加值y最大，为万元???15分

(1?2t)221?2t18. 解：（1）由2b?2，得b?1 ?????1分

a21?c2又由点M在准线上，得?2，故?2，?c?1 从而a?2 ?4分

ccx2所以椭圆方程为?y2?1 ?????5分

2t2t2（2）以OM为直径的圆的方程为(x?1)?(y?)??1

242t2t?1 ?????7分 其圆心为(1,),半径r?42因为以OM为直径的圆被直线3x?4y?5?0截得的弦长为2 所以圆心到直线3x?4y?5?0的距离d?r2?1 ?t ?????9分 2所以

3?2t?5t?，解得t?4 5222所求圆的方程为(x?1)?(y?2)?5 ?????10分 （3）方法一：由平几知：ON2?OK?OM 直线OM：y?t2x，直线FN：y??(x?1) ?????12分 2tt?y?x?t2t2t244?22由?得xK?2?ON?1?xK?1?xM?(1?)?2?2?2

2444t?4t?4?y??(x?1)?t?所以线段ON的长为定值2。 ?????15分

?????????FN?(x0?1,y0),OM?(2,t)方法二、设N(x0,y0)，则???? ?????MN?(x0?2,y0?t),ON?(x0,y0)??????????FN?OM,?2(x0?1)?ty0?0,?2x0?ty0?2

?????????2又?MN?ON,?x0(x0?2)?y0(y0?t)?0,?x0?y02?2x0?ty0?2

所以，ON?x02?y02?2为定值。

19. 解：（1）函数f(x)的定义域为{x|x?R且x?0} ??????? 1分

f(?x)?(?x)2ln|?x|?x2lnx?f(x)∴f(x)为偶函数 ????? 4分

（2）当x?0时，f?(x)?2x?lnx?x2?若0?x?e?121?x?(2lnx?1) ??????? 5分 x?12，则f?(x)?0，f(x)递减； 若x?e， 则f?(x)?0，f(x)递增．

再由f(x)是偶函数，得f(x)的 递增区间是(?e?12,0)和(e12

?12,??)；

?12递减区间是(0,e

?

)和(??,?e)???9分

1?k ?????? 10分 x(3)由f(x)?kx?1，得：xln|x|?1x2?11令g(x)?xln|x|?，当x?0，g?(x)?lnx?1?2?lnx? ???12分

xxx2显然g?(1)?0，0?x?1时，g?(x)?0，g(x)?，x?1时，g?(x)?0，g(x)? ∴x?0时，g(x)min?g(1)?1 ??????? 14分 又g(?x)??g(x)，?g(x)为奇函数，∴x?0时，g(x)max?g(?1)??1 ∴g(x)的值域为（－∞，－1]∪[1，＋∞）

∴k的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．???16分

20. （1）设n?2k?1,k?N 由a2k?1?(1?2cos?(2k?1)?(2k?1)?)a2k?1?sin?a2k?1?1 22?a2k?1?a2k?1?1，∴当k?N?时，数列{a2k-1}为等差数列．

∴a2k?1?a1?(k?1)?1?k

（2）证：yn?a2n?1?n当n?2时， 由bn?yn2(??4分

bn111111，得， ????)?????y12y22yn?12yn2y12y22yn?12即

bn11bn?11111??① ∴??② ??????????n21222(n?1)2(n?1)21222n2bn?1bn1，得证． ???8分 ??222(n?1)nn1115?2?4；当n?2时， (1?)(1?)?2??4， b1b1b24②式减①式，有

（3）解：当n?1时， 1?bn?11?bn1?bnn2由（2）知，当n?2时， ???10分 ?2??(n?1)2nbn?1(n?1)2∴当n?3时，(1?1111)?(1?)?(1?)???(1?) b1b2b3bn?1?bn1?b111?b21?b31?bn?11?b11?b21?b3?????????????(1?bn) b1b2b3bnb1b2b3b4bn12232(n?1)2n21111?2??2?2???b?2[1??????] 22n?12222434n(n?1)23(n?1)n∵

1111???(n?2)， n2n(n?1)n?1n1211231112?)]?2(2?)?4??4， n?1nnn[来源:学科网ZXXK]

∴上式?2[1?(1?)?(?)???(∴(1?1111)?(1?)?(1?)???(1?)?4． ???16分 b1b2b3bn1121． 解：（1）由题设，得 C0?C2?C1n?n?2?n，

42即n2?9n?8?0，解得n＝8，n＝1（舍去）． 1r?1?1rC≥C8，8r?1??2r2（2）设第r＋1的系数最大，则? 11r?1?Cr≥C8.8rr?1??221?1≥，?8?r2(r?1)?即? 解得r＝2或r＝3．

11?≥.??2r9?1592[来源:学+科+网Z+X+X+K]

所以系数最大的项为T3?7x，T4?7x．

2Cn2522．解：（1）设盒子中有“会徽卡”n张，依题意有，1?2?C828

[来源:学#科#网Z#X#X#K]解得n=3 即盒中有“会徽卡”3张．

（2）因为?表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，

C525所以?的所有可能取值为1，2，3，4， P(??1)?2?；

C814112C32C52C3?C5C42； P(??2)?2?2???C8C6C82C62711111122211C32C1?C5C3?C5C3?C5C323C4C2C4C2?C4P(??3)?2?2?2???2??2?2?；

C8C6C4C82C62C4C82C6C4141111112C3?C5C1?C3C2?C4C21， P(??4)?????22C82C62C4C27概率分布表为：

1 P

2

3

4

5142731417??的数学期望为E??1?523115?2??3??4??。 147147723．解：将y?tx代入y2?3x2?2x3，

得t2x2?3x2?2x3，即2x3?(3?t2)x2． 当 x=0时，y=0；

3?t2当x?0时， x?．

23t?t3 从而y?．

2?3?t2x?,??2 ∵原点(0,0)也满足?， 3?y?3t?t??2?3?t2x?,??2（为参数） ∴曲线C的参数方程为?． 3?y?3t?t??224．解：（1）设抛物线方程为y?2px，则所以，抛物线的方程是y?8x．

22p?2，?p?4 2?y?k(x?1),（2）直线的方程是y?k(x?1)，联立?消去x得ky2?8y?8k?0，

2?y?8x.显然k?0，由??64?32k2?0，得0?|k|?由韦达定理得，y1?y2?2．

8,y1y2?8， ky?y2844所以x1?x2?1?2?2?2，则AB中点E坐标是(2?1,)，

kkkk由 kDE?k??1可得 k3t?3k2?4?0， 所以，t?4312， 3，令，则，其中t?4x?3x??x|x|?k3kk222),(,??)上增函数． 22因为t??12x2?3?0，所以函数t?4x3?3x是在(??,?所以，的取值范围是(??,?52)?(52,??)．

22

3?t2当x?0时， x?．

23t?t3 从而y?．

2?3?t2x?,??2 ∵原点(0,0)也满足?， 3?y?3t?t??2?3?t2x?,??2（为参数） ∴曲线C的参数方程为?． 3?y?3t?t??224．解：（1）设抛物线方程为y?2px，则所以，抛物线的方程是y?8x．

22p?2，?p?4 2?y?k(x?1),（2）直线的方程是y?k(x?1)，联立?消去x得ky2?8y?8k?0，

2?y?8x.显然k?0，由??64?32k2?0，得0?|k|?由韦达定理得，y1?y2?2．

8,y1y2?8， ky?y2844所以x1?x2?1?2?2?2，则AB中点E坐标是(2?1,)，

kkkk由 kDE?k??1可得 k3t?3k2?4?0， 所以，t?4312， 3，令，则，其中t?4x?3x??x|x|?k3kk222),(,??)上增函数． 22因为t??12x2?3?0，所以函数t?4x3?3x是在(??,?所以，的取值范围是(??,?52)?(52,??)．

22

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