2012-2013学年福建省安溪一中养正中学高二上学期期末理科数学试

2012-2013学年福建省安溪一中养正中学高二上学期期末理科数学试

卷（带解析）

一、选择题

1.双曲线的焦距为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

试题分析：∵，∴，∴双曲线的焦距为2c=，故选C。

考点：本题主要考查了双曲线的性质。

点评：双曲线的性质在高考中通常以选择题形式出现，难度不大，要求学生掌握最基本的知识。

2.如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()

A．(0，+∞) B．(0,2) C． (1，+∞) D．(0,1)

【答案】D

【解析】

试题分析：椭圆方程化为，∴，∴0

考点：本题主要考查了椭圆的性质。

点评：椭圆的性质在高考中通常以选择题形式出现，难度不大，要求学生掌握最基本的知识。

3.已知，命题“若，则”的逆否命题是()．

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【解析】

试题分析：求一个命题的逆否命题时，需要把原命题的结论否定后当条件，原命题的条件否

定后当结论，易得命题“若，则”的逆否命题是“若，则”。

考点：本题主要考查了逆否命题的定义及求法。

点评：四种命题的互化题型简单，要求学生掌握常见词的否定形式。

4.抛物线的焦点坐标是()

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

试题分析：∵抛物线可化为，∴抛物线的焦点坐标是，故选D。

考点：本题主要考查了抛物线的基本性质。

点评：抛物线的焦点问题是高考的热点问题，解题时首先要化为标准方程，然后再利用抛物

线的知识求解。

5.中，角所对的边分别是，若角依次成等差数列，且

则等于

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

试题分析：∵角依次成等差数列，∴，又有正弦定理得，∴，∴，∴，∴，故选C。

考点：本题主要考查了正余弦定理的综合运用。

点评：掌握正余弦定理及其变形是解题关键。

6.在下列命题中：①若向量共线，则向量所在直线平行②若三个向量两两共面，则共面；③已知空间的三个向量，则对空间的任意一个向量总存在实数使得。其中正确的命题个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】

试题分析：对于命题①若向量共线，则向量所在直线平行或重合，不正确；对于命题②举反例：当向量所在直线为棱锥顶点引出的三条棱，则不共面，不正确；对于

命题③当空间向量共面时，就满足不了题目中的结论，不正确。故正确的命题个数为0个，故选A∵，∴

考点：本题主要考查了向量共线定义、共面基本定理及空间向量基本定理。

点评：掌握向量共线、共面及空间基本定理是解决关键。

7.过定点作直线，使与抛物线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意直线l的斜率存在，故设为y=kx+2k+2，联立消y得

，当k=0时，方程化为x=1，此时只有一个公共点（1,2），当k≠0时，要使与抛物线有且仅有一个公共点，则，∴

，∴，此时符合条件直线有两条，综上，满足题意的直线共有3条。考点：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系。

点评：解决此类问题时要注意对直线斜率是否存在讨论。

8.设O－ABC是四面体，G

1是△ABC的重心，G是OG

1

上的一点，且OG＝3GG

1

，若＝x

＋y＋z，则(x，y，z)为()

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

试题分析：如图取AB中点E，连接AE，

∵，又

，∴，故x=y=z=，故选A。

考点：本题主要考查了空间向量基本定理的运用。

点评：掌握空间向量基本定理是解决问题的关键。

9.设圆的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()．

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

试题分析：∵．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，∴

，∴点M的轨迹为以点A、C为焦点的椭圆，故2a=5，2c=2，∴，∴，故点M的轨迹方程为，选D。

考点：本题主要考查了轨迹方程的求法。

点评：求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法

10.如图所示，已知椭圆方程为，A为椭圆的左顶点，B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且，则椭圆的离心率等于( )

A、 B、 C、 D、

【答案】C

【解析】

试题分析：令椭圆的右端点为M，连接CM，由题意四边形OABC为平行四边形，且

∠OAB=45°，B，C在椭圆上，可得∠COM=∠CMO=∠OAB=45°，则有∠OCM=90°，故可得,又四边形OABC为平行四边形，B，C在椭圆上，由图形知|BC|=a，且BC∥OA由

椭圆的对称性知，B，C两点关于y轴对称，故C的横坐标为，代入椭圆的方程得

得y=±，由图形知C（，），故有，∴，解得，故，所以

，得e=

考点：本题考查椭圆的简单性质。

点评：求解本题的关键是根据椭圆的对称性得出点C的坐标以及图形中的垂直关系，求出点C的坐标是为了表示出斜率，求出垂直关系是为了利用斜率的乘积为-1建立方程，然后再根据求离心率的公式求出离心率即可．本题比较抽象，方法单一，入手较难，运算量不大．二、填空题

1.已知，，则是的条件。（填“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”或“充要”）

【答案】必要不充分

【解析】

试题分析：对于命题p：∵，∴，∴，∴-5

点评：掌握不等式的解法是解决此类问题的关键。

2.设双曲线x2－y2＝1的两条渐近线与直线x＝围成的三角形区域(包含边界)为E，P(x，y)为该区域的一个动点，则目标函数z＝x－2y的最小值为________．

【答案】

【解析】

试题分析：依题意可知平面区域是由y=x，y=-x，x=构成．可行域三角形的三个顶点坐标为(0，0)，(

，)，(，-)，将这三点代可求得Z的最小值为

．

考点：本题主要考查了双曲线的简单性质和线性规划的运用。

点评：对于线性规划问题要掌握常见类型及其解决方法即可。

3.设

是定义在自然数集上的函数，

，且对任意自然数，有

，则

【答案】5050 【解析】

试题分析：令m=1得

，∴

，∴

考点：本题

主要考查了数列通项公式的求法

点评：当递推式是差的形式，往往利用叠加法求通项公式。 4.已知抛物线上的点P 到抛物线的准线的距离为，到直线

的距离为

，

则+的最小值是 【答案】

【解析】

试试题分析：点P 到准线的距离等于点P 到焦点F （1,0）的距离，从而d 1=，设点F 到直线

的距离为d ，则

，易知d 1+d 2≥d ，故d 1+d 2最小值为

． 考点：本题考查了抛物线的定义及点到直线距离公式。

点评：此类题解答策略主要有：一是根据题目条件适当选择未知量，建立目标函数，再求函数的最值；二是利用抛物线的几何性质进行转化；三是根据题目条件建立多元等式，根据特点选择适当的方法进行求解 5.① 是数列

的前项和，若，则数列

是等差数列

②若，则

③已知函数，若存在

，使得

成立，则

④在中，分别是角A 、B 、C 的对边，若

则

为等腰直角三角

形

其中正确的有 （填上所有正确命题的序号） 【答案】②③ 【解析】

试题分析：对于命题①∵

，∴当n=1时，

，当n≥2时,

，，∴

不是等差数列，不正确；根据不等式的性质易知命题②正确；对于命题③由

在[-1,1]恒成立得

在[-1,1]恒成立，故

，又

当且仅

当x=0时等号成立，所以

，不正确；对于命题④∵，∴

，∴

，∴A=B ，故三角形为等腰三角形，不正确。故正

确的命题有②③

考点：本题主要考查了等差数列的概念、不等式的性质、正余弦定理及函数零点的运用。 点评：对于恒成立问题往往用分离常数法求解。

三、解答题

1.已知命题p ：

，命题q ：，若“p 且q”为真命

题，求实数a 的取值范围。

【答案】a ＝1或a≤－2

【解析】

试题分析：由“p 且q”为真命题，则p ，q 都是真命题． ……2分

p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a≤(x 2)min ＝1，

所以命题p ：a≤1； ……4分

q ：设f(x)＝x 2＋2ax ＋2－a ，存在x 0∈R 使f(x 0)＝0，

只需Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，

即a 2＋a －2≥0?a≥1或a≤－2，

所以命题q ：a≥1或a≤－2. ……9分

由得a ＝1或a≤－2 ∴实数a 的取值范围是a ＝1或a≤－2. ……13分

考点：本题考查了不等式的解法及命题真假的运用。

点评：对于恒成立问题通常解题时有以下几种策略：①赋值法；②利用函数的单调性；③利用函数的有界性；④分离常数法；⑤数形结合法。

2.

的内角A 、B 、C 的对边分别为， (1)求B

(2)若，，求

【答案】(1)

;(2) . 【解析】

试题分析：（1）由

得

， ……6分

（2）

……13分

考点：本题考查了正余弦定理的综合运用。

点评：解决此类问题要求掌握正余弦定理，注意正余弦定理的条件。

3.已知抛物线C关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点

（1）求抛物线C的标准方程

（2）直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，线段AB的中点M的横坐标为3，求弦长以及直线的方程。

【答案】(1);(2)直线方程为：；.

【解析】

试题分析：（1）依题意设抛物线方程为：过得

抛物线方程为……4分

（2）令

当直线斜率不存在时即方程为：此时AB中点为F（1，0）不合题意，舍去……6分令直线方程为：代入抛物线方程得：

得：……9分

得得,

直线方程为：；……13分

考点：本题考查了抛物线方程的求法及直线与抛物线的位置关系。

点评：对于弦长问题，只需联立方程利用韦达定理及弦长公式求解即可。

4.如图，在五面体ABCDEF中，，，，

（Ⅰ）求异面直线BF与DE所成角的余弦值；

（Ⅱ）在线段CE上是否存在点M，使得直线AM与平面CDE所成角的正弦值为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）存在，点M为CE中点。

【解析】

试题分析：解法一：建立如图所示的直角坐标系，……2分

不妨设AB＝１

则

（Ⅰ）

……5分

异面直线BF与DE所成角的余弦值为．……6分

（Ⅱ）设平面CDE的一个法向量为

得

令……8分

设存在点M满足条件，由

……10分

直线AM与平面CDE所成角的正弦值为

故当点M为CE中点时，直线AM与面CDE所成角的正弦值为．……13分

解法二：（Ⅰ）不妨设AB＝１，且

∴∠CED异面直线BF与DE所成角

CE=BF=,ED=DC=,

所以，异面直线BF与DE所成角的余弦值为……6分

（Ⅱ）令A到平面CDE距离为h，在AD上取点N，使得EF=AN，连结EN

，为平行四边形

……8分

……10分

令AM与平面CDE所成角为，

过M作MG//EF交FB于G

在平行四边形EFBC中，MG=BC=1

中

解得：，为FB的中点

MG//EF，为EC的中点。……13分

考点：本题考查了空间几何体中异面直线夹角及线面角的求法与应用。

点评：从近些年看，以多面体为载体，重点考查直线与平面的位置关系一直是高考立体几何命题的热点．因为这类题目既可以考查多面体的概念和性质，又能考查空间的线面关系，并将论证和计算有机地结合在一起

5.为了应对国际原油的变化，某地建设一座油料库。现在油料库已储油料吨，计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的，以后每年的进油量为上一年年底储油量的，且每年运出吨，设为正式运营第n年年底的储油量。（其中）

（1）求的表达式

（2）为应对突发事件，该油库年底储油量不得少于吨，如果吨，该油库能否长期

按计划运营？如果可以请加以证明；如果不行请求出最多可以运营几年。（取

）

【答案】（1）；（2）该油库最多只能运营4年，第五年开始无法正常

运营，因此不能长期运营。

【解析】

试题分析：（1）依题意油库原有储油量为吨，可得

……3分

得：……5分

是以为公比，首项为的等比数列……6分

得

……7分

（2）若时，该油库第n年年底储油量不少于吨。

即，……9分

化简得：……11分

该油库最多只能运营4年，第五年开始无法正常运营，因此不能长期运营……14分

考点：本题考查了等比数列的实际运用。

点评：数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一

种趋势．随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等．

6.如图,已知点是椭圆的右顶点,若点在椭圆上,且满足

.(其中为坐标原点)

（1）求椭圆的方程;

（2）若直线与椭圆交于两点,当时,求面积的最大值.【答案】（1）；（2）。

【解析】

试题分析：（1）因为点在椭圆上，所以……2分

……4分

……5分

（Ⅱ）设，

……6分

……8分

设直线，由，得：

则

……10分

点到直线的距离

……13分

当且仅当

所以当时，面积的最大值为. ……14分

考点：本题考查了椭圆方程的求法及直线与椭圆的位置关系。

点评：新课标高考对双曲线和抛物线要求较低，重点是椭圆，但也不断加强对圆的考查，所以学习中我们要多做一些与椭圆、圆有关的问题，多记忆一些椭圆、圆的性质.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/331q.html