实变函数练习及答案

实变函数练习及答案

一、选择题

1、以下集合，（ ）是不可数集合。

A.所有系数为有理数的多项式集合； B.[0,1]中的无理数集合；

C.单调函数的不连续点所成集合； D.以直线上互不相交的开区间为元素的集。

2、设E是可测集，A是不可测集，mE?0，则E?A是（ ）

A.可测集且测度为零； B.可测集但测度未必为零； C.不可测集； D.以上都不对。

3、下列说法正确的是（ ）

A.f(x)在[a,b]L—可积?f(x)在[a,b]L—可积； B.f(x)在[a,b]R—可积?f(x)在[a,b]R—可积；

C.f(x)在[a,b]L—可积?f(x)在[a,b]R—可积； D.f(x)在?a,???R—广义可积?f(x)在[a,b]L—可积

4、设{En}是一列可测集，E1?E2?...?En...,则有（ ） A. m(??E)?limmE； B.m(?E)?limmE；

nn?1n??nnn?1n??nn????C.m(?En)?limmEn； D.以上都不对。

n?15、

?A\\B??C?A\\?B\\C?成立的充分必要条件是（ ）

A.A?B； B.B?A； C.A?C； D.C?A。

6、设E是闭区间

?0,1?中的无理点集，则（ ）

A.mE?1； B.mE?0； C.E是不可测集； D.E是闭集。

7、设mE则

???，?fn?x??是E上几乎处处有限的可测函数列，f?x?是E上几乎处处有限的可测函数，

n?f?x??几乎处处收敛于f?x?是?fn?x??依测度收敛于f?x?的（ ）

1

A.必要条件； B.充分条件； C.充分必要条件； D.无关条件。

8、设

f?x?是E上的可测函数，则（ ）

A.f?x?是E上的连续函数； B.f?x?是E上的勒贝格可积函数； C.f?x?是E上的简单函数； D.f?x?可表示为一列简单函数的极限。c

二、填空题： 1、设E2、设E3、设

?Rn，x0?Rn，如果x0的任何邻域中都含有E的 点，则称x0是E的聚点。 ?Rn，若E是有界 点集，则E至少有一个聚点。

f?x?是E上的可测函数，mA?0，则f?x?是E?A上的 函数。

nnnk4、设在E上，

?f?x??依测度收敛于f?x?，则存在?f?x??的子列?f?x??，使得在E上，

?f?x?? 敛于f?x?。

nk5、设设

1An?[1,2?],(n?1,2,...),则limAn?________________。

nn??6设P是Cantor集，G?[0,1]\\P，则mG?___________。

7、写出一个(0,1)与(??,??)之间一一对应关系式___________________ 。

?x??e,x是有理数8.设f?x???2，则(L)?f?x?dx? 。

1??0，??x,x是无理数9、设E是[0,1]?[0,1]中有理数全体，则E的闭包E 为_____________。

10、直线上的任意非空开集可以表示成___________________________________的并集。 三、判断题。

1、R与R的势是不等的。……………………( )

2、设mE???，若在E上{fn(x)}a.e收敛于a.e{fn(x)}为E上一列a.e有限的可测函数，

有限的可测函数f(x)，则{fn(x)}在E上依测度收敛于f(x)。…………( ) 3、若{fn(x)}?L,p?1,limfn(x)?f(x)?L,则limfn?fn??n??23

Ppp?0。……………( )

2

4、设f(x)在(0,??)上R可积,则f(x)在(0,??)上必L可积。………………( ) 5、若P不是E的聚点，则P是E的孤立点。……………………………………( ) 6、设mE?0，则对E上的任何实值函数f(x)都有

q?Ef(x)dx?0。………………( )

7、设f在E?R上可测，则由f在E上可积可以推出f在E上可积，但反之不

对。…( )

8、若{fn}为E上非负单调可测函数列，且limfn(x)?f(x)，则

n??lim?fn(x)dx??f(x)dx。…( )

n??EE

四、计算题与证明题 1、证明：若 2、设

3、设E1，E2都是可测集，试证：mE1?mE2

4、设在可测集E上，fn??f?x?，且fn?x??fn?1?x?a.e于E?n?1,2,???，试证明：?x???A?B，B?B?C，则A?A?C。

f?x?是R1上的实值连续函数，a是任意给定的实数，证明G??xf?x??a?是开集。

?m?E1?E2??m?E1?E2?。

limfn?x??f?x?a.e.于E.

n?? 5、设fn

???f?x?,fn?x????g?x?,则f(x)?g(x)在E上几乎处处成立. ?x???3

6、叙述并且证明鲁津定理的逆定理.

7、计算lim

8、若r,p,q?0,

答案

一．选择题

1．B 2．C 3．A 4. B 5.D 6.A 7.B 8.D 二．填空题

1.无穷多个 2.无穷 3.可测 4.几乎处处收敛 5. [1,2] 6.1 7.y?ctg?x 8.3 9.[0,1]?[0,1] 10.有限个或可列个构成区间 三、判断题

1．× 2. √ 3. × 4. × 5. ×

6.√ 7、× 8.× 四、证明与计算

1.证明：根据集合的性质有：

1n??0??1?nx2dx。 2n(1?x)111??,且有关函数的积分存在，证明：fgr?frpqpgq。

A???A\\?B?C??????A??B?C??? A?C???A\\?B?C?????B?C?

并且集合由于BA\\?B?C?与A??B?C?，A\\?B?C?与B?C是不相交的。

?A，因此B???A??B?C????B?C，由题设B?B?C可知A??B?C??B?C，

4

于是

A?A?C。

/2、设x0?A，则存在而

A中的互异点列?xn?，使得xn?x0，因f?x?连续，所以f?x0??limf?xn?，

n??f?xn??a,n?1,2,??，由极限的保号性，f?x0??a，因此x0?A，故A是闭集。 ?A，故G是开集。

由于G3、证明：由于E1，E2都是可测集，根据可测集的性质，如果mE1和mE2中至少有一个为??，则结论显然成立。 设mE1E1?E2和E1?E2都是可测集。

???，mE2???。根据集合的性质可知

E1?E2???E1\\?E1?E2??????E2\\?E1?E2?????E1?E2?

而且上式右端三个集合是两两不相交的可测集，因此根据测度的有限可加性有

m?E1?E2??m??E1\\?E1?E2????m??E2\\?E1?E2????m?E1?E2??mE1?m?E1?E2??mE2?m?E1?E2??m?E1?E2??mE1?mE2?m?E1?E2?所以mE1?mE24、证明：因fn

?m?E1?E2??m?E1?E2?成立。

nkk??nk?x??f?x?，则由黎斯定理，存在子列?f?x??，使得limf?x??f?x?.a.e.于E。

???令E0???E?fn?x??fn?1?x????E?fn?x??f?x??，则mE0?0。对任意x0?E\\E0，有

???k??n?1?fn?x0??fn?1?x0?，且limfn?x0??f?x0?。

k??由于

?f?x??是增加数列，故limf?x??limf?x??f?x?，因此在E\\E上恒有

n0n??n0k??nk000limfn?x??f?x?成立，故limfn?x??f?x?a.e.于E.

n??n??5、.证明: 由于

f(x)?g(x)?f(x)?fk(x)?fk(x)?g(x),

故对任何自然数n,

111{x?E:|f?g|?}?{x?E:|f?fk|?}?{x?E:|fk?g|?},

n2n2n从而m({x?E111:|f?g|?})?m({x?E:|f?fk|?})?m({x?E:|fk?g|?})

n2n2n5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/32zv.html