2018年山东省济南市天桥区中考数学二模试卷

2018年山东省济南市天桥区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（4分）﹣5的绝对值为（ ） A．﹣5 B．5

C．﹣ D．

2．（4分）下列计算正确的是（ ） A．x2+x2=x4 B．x8÷x2=x4

C．x2?x3=x6 D．（x2）3=x6

3．（4分）数据3329用科学记数法表示正确的是（ ） A．3.329×102 B．33.29×103 C．3.329×103 D．0.3329×105

4．（4分）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线a上．若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）

A．100° B．110° C．120° D．130°

5．（4分）如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα=（ ）

A． B． C． D．

6．（4分）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A．0

B．﹣1 C．2

D．﹣3

7．（4分）某药品经过两次连续降价，销售单价由原来的50元降到32元，设该

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药品每次降价的百分率均为x，根据题意可列方程是（ ）

2

A．50（1﹣x2）=32 B．50（1﹣2x）=32 C．50（1﹣x）2=32 D．50（1﹣x%）=32

8．（4分）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ） A．20 B．24 C．28 D．30

9．（4分）下列命题是真命题的是（ ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．菱形的对角线相等

C．四边都相等的四边形是矩形

D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形

10．（4分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）

A．105° B．100° C．95° D．90°

11．（4分）如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，AB边如图所示，则使△ABC是直角三角形的点C有（ ）

A．12个 B．10个 C．8个 D．6个

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12．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC．则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＞0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣；⑤抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2，且x1+x2＞4，则y1＞y2．其中正确的结论有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.） 13．（4分）不等式4+2x≤6的解集是 ． 14．（4分）计算：tan45°+

= ；

15．（4分）某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是 小时．

16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于 ．（结果保留π）

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17．（4分）一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=若y1＞y2，则x的取值范围是 ．

（k1?k2≠0）的图象如图所示，

18．（4分）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，…按此规律，写出tan∠BAnC= （用含n的代数式表示）．

三、解答题（本大题共9个小题，共78分.） 19．（6分）计算：（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3） 20．（6分）解方程组：

21．（6分）在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．

22．（8分）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．

23．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在

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AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD=2

，BF=2，求⊙O的半径．

24．（10分）为传承中华优秀传统文化，某校组织了一次全校3000名学生参加的“双字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，该校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，制成如下不完整的统计图表：

成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 根据所给信息，解答下列问题：

（1）本次参与调查的学生共 人，m= ，n= ； （2）补全频数分布直方图；

（3）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？

（4）成绩前五名的学生有3男2女，从中任选2人参加区竞赛，求恰好选到一男一女的概率．

频数（人） 10 30 40 m 50 频率 0.05 0.15 n 0.35 0.25 第5页（共32页）

2x≤6﹣4 x≤1，

故答案为：x≤1

【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．

14．（4分）计算：tan45°+

= 5 ；

【分析】先代入三角函数值、计算算术平方根，再计算加法可得答案． 【解答】解：tan45°+故答案为：5．

【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值和算术平方根的定义．

15．（4分）某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是 11 小时．

=1+4=5，

【分析】根据统计图中的数据可以得到一共多少人，然后根据中位数的定义即可求得这组数据的中位数． 【解答】解：由统计图可知， 一共有：6+9+10+8+7=40（人），

∴该班这些学生一周锻炼时间的中位数是第20个和21个学生对应的数据的平均数，

∴该班这些学生一周锻炼时间的中位数是11， 故答案为：11．

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【点评】本题考查折线统计图、中位数，解答本题的关键是明确中位数的定义，利用数形结合的思想解答．

16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于

．（结果保留π）

【分析】先根据ACB=90°，AC=1，AB=2，得到∠ABC=30°，进而得出∠A=60°，再根据AC=1，即可得到弧CD的长．

【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=1，AB=2， ∴∠ABC=30°， ∴∠A=60°， 又∵AC=1， ∴弧CD的长为故答案为：

．

（弧

=

，

【点评】本题主要考查了弧长公式的运用，解题时注意弧长公式为：l=长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．

17．（4分）一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=

（k1?k2≠0）的图象如图所示，

若y1＞y2，则x的取值范围是 x＜﹣2或0＜x＜1 ．

【分析】根据图象可以知道一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=

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（k1?k2≠0）

的图象的交点的横坐标，若y1＞y2，则根据图象可以确定x的取值范围． 【解答】解：如图，依题意得一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=的图象的交点的横坐标分别为x=﹣2或x=1， 若y1＞y2，则y1的图象在y2的上面， x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1． 故答案为x＜﹣2或0＜x＜1

【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合的方法解决问题．

18．（4分）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，…按此规律，写出tan∠BAnC= 的代数式表示）．

（用含n（k1?k2≠0）

【分析】作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根据正切的概念求出tan∠BA4C，总结规律解答． 【解答】解：作CH⊥BA4于H， 由勾股定理得，BA4=

△BA4C的面积=4﹣2﹣=， ∴×

×CH=，

，

， ，

，A4C=

，

解得，CH=则A4H=∴tan∠BA4C=1=12﹣1+1， 3=22﹣2+1，

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7=32﹣3+1， ∴tan∠BAnC=故答案为：

， ，

【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．

三、解答题（本大题共9个小题，共78分.） 19．（6分）计算：（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）

【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值． 【解答】解：（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3） =x2﹣4x+4﹣（x2﹣9） =x2﹣4x+4﹣x2+9 =﹣4x+13．

【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

20．（6分）解方程组：

【分析】利用加减消元法求解可得． 【解答】解：

①+②×2，得：5x=10， 解得：x=2，

将x=2代入②，得：2+y=1， 解得：y=﹣1， 则方程组的解为

．

，

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【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

21．（6分）在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．

【分析】根据翻转变换的性质得到BE=BC=AD，∠EBD=∠CBD，根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，根据等腰三角形的判定定理得到OB=OD，计算即可． 【解答】证明：由折叠的性质可知，BE=BC=AD，∠EBD=∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠ADB=∠EBD， ∴OB=OD， ∴OA=OE．

【点评】本题考查的是翻转变换的性质、平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

22．（8分）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．

【分析】求的汽车原来的平均速度，路程为420km，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了2h．等量关系为：原来时间﹣现在时间=2．

【解答】解：设汽车原来的平均速度是x km/h，

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根据题意得：解得：x=70

﹣=2，

经检验：x=70是原方程的解． 答：汽车原来的平均速度70km/h．

【点评】本题考查了分式方程的应用．应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

23．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD=2

，BF=2，求⊙O的半径．

【分析】（1）求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可； （2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，

理由是：连接OD，∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD=∠CAD， ∴∠ODA=∠CAD，

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∴OD∥AC， ∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，即OD⊥BC， ∵OD为半径，

∴线BC与⊙O的位置关系是相切；

（2）设⊙O的半径为R， 则OD=OF=R，

在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2=BD2+OD2， 即（R+2）2=（2解得：R=2， 即⊙O的半径是2．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定，切线的判定，勾股定理等知识点，能求出BC是⊙O的切线是解此题的关键．

24．（10分）为传承中华优秀传统文化，某校组织了一次全校3000名学生参加的“双字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，该校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，制成如下不完整的统计图表：

成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 根据所给信息，解答下列问题：

（1）本次参与调查的学生共 200 人，m= 70 ，n= 0.2 ； （2）补全频数分布直方图；

（3）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？

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）2+R2，

频数（人） 10 30 40 m 50 频率 0.05 0.15 n 0.35 0.25

（4）成绩前五名的学生有3男2女，从中任选2人参加区竞赛，求恰好选到一男一女的概率．

【分析】（1）用第1组的频数除以频率得到调查的总人数，然后用总人数乘以第4组的频率得到m的值，用40除以总人数得到n的值； （2）利用m的值补全频数分布直方图；

（3）根据样本估计总体，用样本中成绩是“优”等的百分比乘以3000即可估计该校参加本次比赛的成绩是“优”等的人数；

（4）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选到一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）10÷0.05=200， 即调查的总人数为200人， 所以m=200×0.35=70，n=故答案为200，70，0.2； （2）频数分布直方图为：

=0.2，

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（3）3000×0.25=750，

所以估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有750人； （4）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中恰好选到一男一女的结果数为12， 所以恰好选到一男一女的概率=

=．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体和统计图．

25．（10分）实验数据显示，一般成人喝半斤白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用正比例函数y=100x刻面；1.5小时后（包括1.5小时）y与x的关系可近似地用反比例函数y=（x＞0）刻画（如图）． （1）求k的值；

（2）当y≥75时肝功能会受到损伤，请问肝功能持续受损的时间多长？ （3）按国家规定，驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路，假设某驾驶员晚上20：00喝完半斤白酒，第二天早上7：00能否驾车？请说明理由．

【分析】（1）当x=1.5时，求出y=150，进而代入y=，代入可求得k的值； （2）把y=75分别代入反比例函数解析式和一次函数解析式，可求得x的值，则

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可求得持续时间；

（3）可求得时间为11小时，把x=11代入反比例函数解析式可求得酒精含量，结合规定可进行判断．

【解答】解：（1）由题意可得：当x=1.5时，y=150，则满足y=（k＞0）， ∴k=xy=150×1.5=225；

②把y=75代入y=解得x=3；

，

把y=75代入y=100x得，x=0.75， ∵3﹣0.75=2.25小时，

∴喝酒后血液中的酒精含量不低于75毫克的时间持续了2.25小时， 答：肝功能持续受损的时间为2.25小时；

（3）不能驾车上班，理由如下：

∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时， ∴将x=11代入y=

，则y=

＞20，

∴第二天早上7：00不能驾车去上班．

【点评】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法、一元一次方程等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．本题难度不大，较易得分．

26．（12分）如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE． （1）①依题意补全图形；②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案．

（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，在正方形ABCD中，AB=点A到BP的距离．

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，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出

【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②根据旋转的性质，即可解答； （2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：根据旋转的性质，证明A、D、E三点在同一条直线上，得到AE=AD+DE．再证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE．又CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE，得到DE=2CM，所以AE=BE+2CM．

（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题． 【解答】解：（1）①如图所示：

②∠ADC+∠CDE=180°．

（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下： ∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE， ∴CD=CE，∠DCE=90°． ∴∠CDE=∠CED=45°． 又∵∠ADC=135°， ∴∠ADC+∠CDE=180°，

∴A、D、E三点在同一条直线上． ∴AE=AD+DE． 又∵∠ACB=90°，

∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，

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即∠ACD=∠BCE． 在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE． ∴AD=BE．

∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE． ∴DE=2CM． ∴AE=BE+2CM．

（3）点A到BP的距离为理由如下： ∵PD=1，

∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上． ∵∠BPD=90°，

∴点P在以BD为直径的圆上． ∴点P是这两圆的交点．

①当点P在如图3①所示位置时，

连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H， 过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=∴BD=2． ∵DP=1， ∴BP=

．

，∠BAD=90°． 或

．

∵∠BPD=∠BAD=90°，

∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上， ∴∠APB=∠ADB=45°． ∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，

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∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD． ∴

=2AH+1．

．

∴AH=

②当点P在如图3②所示位置时，

连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，

过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②． 同理可得：BP=2AH﹣PD． ∴

=2AH﹣1．

．

或

．

∴AH=

综上所述：点A到BP的距离为

【点评】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．

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27．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．

（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A，B两点代入可求解析式．

（2）分类讨论，以AB为边的菱形和以AB为对角线的菱形，抓住菱形边长为4和E的横坐标为3，可解F点坐标，即可求点F到二次函数图象的垂直距离． （3）构造三角形，根据两点之间线段最短，可得最短距离为AN，根据勾股定理求AN．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0）， ∴0=a+b+ 0=25a+5b+ ∴a=，b=﹣3

∴解析式y=x2﹣3x+

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（2）当y=0，则0=x2﹣3x+ ∴x1=5，x2=1

∴A（1，0），B（5，0）

∴对称轴直线x=3，顶点坐标（3，﹣2），AB=4 ∵抛物线与y轴相交于点C． ∴C（0，）

如图1

①如AB为菱形的边，则EF∥AB，EF=AB=4，且E的横坐标为3 ∴F的横坐标为7或﹣1 ∵AE=AB=4，AM=2，EM⊥AB ∴EM=2∴F（7，2

），或（﹣1，2）

∴当x=7，y=×49﹣7×3+=6 ∴点F到二次函数图象的垂直距离6﹣2②如AB为对角线，如图2

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