第九章多柔体系统动力学分析方法概要

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第九章 多柔体系统动力学分析方法概要9. 1 运动柔性单元的动力学建模严格建立在柔性多体系统动力学分析理论基础上，抛弃了瞬 时结构假设。弹性单元上任一点的运动如图9-1所示。P

y r 0 o z

P

x

R R0

y

r

vr0P

x

o z

Y

O

X

Z

图9-1 弹性单元上任一点的运动

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图中 O X Y Z 为整体坐标系， oxyz 为随单元一起运动的 r R 局部坐标系， 代表局部坐标系中 P点的位置， 代表 整体坐标系中P点的位置， 为单元在随动坐标系中的弹 v 性变形。由图中可以看出

r r0 vR R0 T r R0 T r0 v

(9-1)P

(9-2)z

y r 0 o

P

x

R R0

y

r

vr0P

x

o z

式中

T为方向转换阵.Z

Y

O

X

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在有限元理论中，单元上任一点的变形可由节点位移来描 述

v NU

(9-3)

由此，我们可以得到P点的运动状态：R R0 T r0 N U

R T r N U T N U R 0 0 R T r N U 2T NU T NU R 0 0

根据达朗倍尔原理和虚位移原理，可建立单元平衡方程：

T d r T q d r T p dS ε r T T 1 R σd S

(9-4)

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单元中应力-应变及应变-单元节点位移的关系为：

σ Dεε BU将式(6-9)、(6-10)代入方程(6-8)可得

(9-5) (9-6)

M U M U Q f KU MU 1 2

式中

B D B d M N N d N d M N T T N d M 2 N T T T r d Q N T R f N q d N p dSK T T T 1 1 T 1 2 T 1 0 0 T T s

(9-7)

(9-8)

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由于坐标转换矩阵 T 不再是常数矩阵，方程(9-7)是一个 变系数非线性微分方程。系统方程的组建和求解非常困难。

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9.2 基于多柔性系统动力学的平面梁单元运动方程：在平面运动中，坐标转换矩阵为：

cos T sin 由此得出

sin cos

sin T cos sin T cos

cos sin cos 2 cos sin sin sin cos

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代入(9-7)式，得

C 2 M M1 C M 2 2

0 1 1 T T C N T N d N N d 1 0 梁单元形函数和应变位移矩阵为：

T

(9-9)

2 2 2 x x x2 x x x x x x x 6 2 3 y 1 4 3 2 y 6 2 3 y 2 3 2 y 1 l l l l l l l N l

l 2 l 3 2 3 2 3 2 3 x x x x x x x x 0 1 3 2 x 2 0 3 2 2 3 2 2 3 2 l l l l l l l l

1 1 2x 4 6x 1 1 2x 2 6x B 6 2 3 y 2 y 6 2 3 y 2 y l l l l l l l l l l

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并将式(9-9)代入方程(9-7) , 就可以得到梁单元的平面运动方程：

Ku Mu 2 Mu Cu 2 Cu f Q式中

(9-10)

0 Al 2 12I E K 3 l 对

0 6I l 4I l 2

Al 2 0 0 Al 2

0 12I 6I l 0 12I

称

0 6I l 2I l 2 0 6I l 2 4I l (9-11)

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140 0 0 70 0 156 22l 0 54 2 4 l 0 13l Al M 140 0 420 对 称 156

0 0 0 0 36 3l 13l 2 3l I 4l 2 0 30l 对 称 22l 2 4l

0 0 36 3l 2 0 3l l 0 0 0 36 3l 2 4l 0 0(9-12)

0 21 Al 3l C 60 0 9 2l

21 3l 0 0 9 0 0 0 0 2l 0 0

0 9 2l 0 21 3l

2l 0 0 0 0 21 3l 0 0 0 0

9

(9-13)

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0 6 cos 6 sin 6 sin 6 cos 9 Al 2 60I .. 2 Al 3 2 2 Al l sin l cos X 0 Al Q . . 0 12 6 cos 6 sin Y 60 6 0 21Al 2 60I 6 sin 6 cos 3 3 Al l sin l cos

1 0 0 2 0 0

(9-14)

A l g T 6 sin 6 cos l cos 6 sin 6 cos l cos f0 12(9-15)

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M 是我们所熟知的单元质量阵和单元刚度阵；矩 矩阵 K 、 阵 C 是局部坐标系的刚体运动和单元的弹性变形耦合产生 的附加质量矩阵； Q 是局部坐标系的刚体运动产生的广义 2是刚弹耦合运动产生的法向加速度， 固端力。不难看出， U 为对应的切向加速度，而 则是哥氏加速度， 为单 U f0 U 2 元自重力。 对于刚体位移产生的惯性力Q r Q Mu

下面证明Q能表示如下：0 3L 4L2 0 3L L2 0 0 0 0 0 0 0 36 3L 0 36 3L r1 0 u r 2 3L u 2 r 3 u L r 4 0 u r 5 3L u 2 r 6 4L u

0 70 0 0 140 0 0 0 0 156 22L 0 0 36 54 13 L 2 2 0 22L 4L 0 13L 3L I 0 3L aL 420 70 0 0 140 0 0 30L

0 0 0 54 13L 0 156 22L 0 36 2 2 0 13L 3L 0 22L 4L 0 3 L

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r —— 名义刚体运动加速度列阵 式中 u 平面刚体动力学指出，平面刚体上任一点的运动由随基点的 平动和绕基点的转动两部分组成，对于平面梁单元而言， 图9-2所示为其平面刚体运动和局部坐标系下的结点位移编号， 将基点设在梁端，基点的平动速度、加速度分别为 Y X 、 ,绕基点的转动速度和加速度分别为 X

Yy

5 6

x4

2 Y

3 X 1r

Y

O

X图9-2 平面梁单元的刚体运动

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依照刚体运动学理论，梁两端点与结点弹性变形自由度对应的 名义刚体运动加速度可表为： r1 1 u u r 2 0 r 3 u 0 r u r 4 1 u u r 5 0 r 6 0 u 0 1 0 cos 0 sin 1 0 0 0 0 0 sin X 1 2 0 L cos Y 0 1 L 0 1 0

(9-17)

将式(9-17)代入式(9-16),可以得到同(9-14)式完全相同的表达式，而式(9-16)中

Q 的物理意义是显而易见的，其是名义刚体运动产生的惯性力，即名义刚体运动所引起的梁单元结点上的等效惯性力，可以通过刚体动力学分析的方法获 得。 因此，平面梁单元运动方程可表为：

Ku Mu 2 Mu Cu 2 Cu f Mur

(9-18)

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9.3 梁单元在整体坐标系下的动力学方程式 Ku Mu Mu Cu 2 Cu f Mur 的动力学方程是在单元 局部坐标系内建立的，由于柔性系统中各单元的局部坐标系各不相 同，不能直接组集，因此在集成系统整体动力学方程前必须将各单 元的动力学方程变换到统一的整体坐标系下。使用随动坐标法，通 过选取适当的随动坐标系来实现上述转换。2

9.3.1结点运动参数在整体与随动坐标系下的关系

如图9-3所示随动坐标系，图中XOY 为整体坐标系，

xoy 为随动坐标系，其初始时与单元局部坐标系x ' o' y ' 重合由图9-3可得随动坐标系和整体坐标系下结点位移的相互关系

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Y

u6

U6

yu3

U3

u5u4U5

x

y'U2X oo Yoo

U1

u1

u2

o 0

x'U4

o'Xo

Yo

O图9-3 随动坐标系

X

u T U Us .

(9-19)

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式中 U U1 U6 为单元结点在整体坐标系下的位移向量； T 为方向变换矩阵；U s 为附加位移向量。 c s 0 T 0 0 0 s c 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 c 0 s 0 0 0 0 0 s c

0 0 0 0 0 0 1

(9-20)

X 0 X 00 Y Y 0 00 0 Us X 0 X 00 l c c0 Y0 Y00 l s s 0 0

(9-21)

其中 c0 cos 0

s0 sin 0

0 为梁单元初始时的转角。

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为不失一般性，图9-3中的随动坐标系相对单元的位置并未加以 限定，为了消除单元运动的刚体位移，特取如下随动坐标系：取随 动坐标系的原点在单元的始端，坐标轴穿过单元的另一端。因此有 以下边界条件

u1 u2 u5 0从而可将式(9-19)改写为 u T 1U U 0式中

(9-22)

(9-23)

0 0 0 0 0 0 T1 c s 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 c 0 0

0 0 0 s 0 0

0 0 0 0 0 1

(9-24)

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0 0 0 U0 l 1 cos 0 0 0

(9-25)

对式(9-23)求一阶和二阶导即可得随动坐标系和整体坐标系下 结点速度和加速度的相互关系

u T1U T1U U0

(9-26)(9-27)

u T1U 2T1U T1U U0

将式(9-26),(9-27)代入式(9-10)或(9-18)即可得梁单元在 整体坐标系下的运动方程

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Me U De U K e U Qe Fe

(9-28)

使用有限元方法根据自由度的对号入座法即可集成由多个单元组 成的梁杆系统的运动方程。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/32hi.html