2015年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）

2015年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2015?济宁一模）已知i是虚数单位，复数z=A．2

B．2

C．

D．1

，则|z﹣2|=（ ）

2．（5分）（2015?济宁一模）已知全集U=R，集合A={x||x﹣1|≤2}，CUB=（﹣∞，1）∪[4，+∞），则A∪B=（ ） A．[1，3] B．（1，3] C．[﹣1，4] D．[﹣1，4）

3．（5分）（2015?济宁一模）已知||=1，||=2，?（﹣）=﹣2，则向量与的夹角为（ ） A．

4．（5分）（2015?济宁一模）已知f（x）=2sin（2x+

），若将它的图象向右平移

个单位，

B．

C．

D．

得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（ ） A．x=

5．（5分）（2015?济宁一模）函数f（x）=2

cosx

B．x= C．x= D．x=

（x∈[﹣π，π]）的图象大致为（ ）

A．

B． C． D．

第1页（共54页）

6．（5分）（2015?济宁一模）当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输

出的x不小于103的概率是（ ）A．

B．

C．

D．

7．（5分）（2009?湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（ ） A．18 B．24 C．30 D．36

x﹣2y

8．（5分）（2015?济宁一模）设变量x，y满足约束条件，则z=2的取值

范围为（ ） A．[4，32] B．[

9．（5分）（2015?济宁一模）已知抛物线y=x与双曲线

2

，8] C．[8，16] D．[，4]

﹣x=1（a＞0）有共同的焦点F，

2

O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则A．2

﹣3 B．3﹣2

C．

D．

?的最小值为（ ）

10．（5分）（2015?济宁一模）已知定义在R上奇函数f（x）满足①对任意x，都有f（x+3）=f（x）成立；②当根的个数是（ ） A．4 B．5 C．6

时，则在[﹣4，4]上

D．7

第2页（共54页）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．（5分）（2015?济宁一模）若a=

cosxdx，则二项式（a

﹣

）的展开式中的

4

常数项为 ． 12．（5分）（2015?济宁一模）某企业对自己的拳头产品的销售价格（单位：元）与月销售量（单位：万件）进行调查，其中最近五个月的统计数据如下表所示：

9 9.5 10 10.5 11 价格x 8 6 5 销售量y 11 n 由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：=﹣3.2x+40，则n= ．

13．（5分）（2015?济宁一模）某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为

元，若使用这台仪器的日

平均费用最少，则一共使用了 天． 14．（5分）（2015?济宁一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

15．（5分）（2015?济宁一模）以下四个命题： ①设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则常数c的值是2；

2

②若命题“?x0∈R，使得x0+ax0+1≤0成立”为真命题，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；

22

③圆（x﹣1）+y=1被直线x﹣y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为1：4； ④已知p：x≥k，q：

＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（2，

+∞）．

其中真命题的序号是 （把你认为真命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第3页（共54页）

16．（12分）（2015?济宁一模）已知向量=（=?．

（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（x+

）的值；

sin，1），=（cos，cos

2

），记f（x）

（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围． 17．（12分）（2015?济宁一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，CD=2，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PA⊥平面CDM；

（Ⅱ）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．

18．（12分）（2015?济宁一模）现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．

（Ⅰ）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值； （Ⅱ）若t=，求三人中恰有两人应聘成功的概率；

（Ⅲ）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ=2时对应的概率最大，求E（ξ）的取值范围．

19．（12分）（2015?济宁一模）已知等比数列{an}的公比为q，a1=，其前n项和为Sn（n∈N），且S2，S4，S3成等差数列． （I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=Sn﹣

（n∈N），求bn的最大值与最小值．

*

*

20．（13分）（2015?济宁一模）平面内动点M（x，y）与两定点A（﹣的连线的斜率之积为﹣，记动点M的轨迹为C． （Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；

第4页（共54页）

，0），B（，0）

（Ⅱ）定点F（﹣2，0），T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交曲线C于点P，Q．

（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； （ii）当

21．（14分）（2015?济宁一模）已知函数f（x）=e﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．

（I）当a=e时，求函数f（x）的极值； （Ⅱ）当0≤a≤1时，求证f（x）≥0；

（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（1+）（1+

）…（1+

）＜e．

x

最小时，求点T的坐标．

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2015年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2015?济宁一模）已知i是虚数单位，复数z=

，则|z﹣2|=（ ）

A．2 B．2 C． D．1

【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式求模．

【解答】解：∵z﹣2=﹣2=，

∴|z﹣2|=． 故选：C．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．

2．（5分）（2015?济宁一模）已知全集U=R，集合A={x||x﹣1|≤2}，CUB=（﹣∞，1）∪[4，+∞），则A∪B=（ ） A．[1，3] B．（1，3] C．[﹣1，4] D．[﹣1，4） 【考点】并集及其运算． 【专题】集合．

【分析】先分别求出集合A和集合B，然后再求出集合A∪B． 【解答】解：∵CUB=（﹣∞，1）∪[4，+∞）， ∴B={x|1≤x＜4}，

又∵集合A={x||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3}，

∴A∪B={x|﹣1≤x≤3}∪{x|1≤x＜4}={x|﹣1≤x＜4}． 故选：D．

【点评】本题考查集合的性质和运算，解题时要根据实际情况，注意公式的灵活运用．

3．（5分）（2015?济宁一模）已知||=1，||=2，?（﹣）=﹣2，则向量与的夹角为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．

【分析】由已知求出向量与的数量积，利用数量积公式变形得到所求． 【解答】解：因为||=1，||=2，?（﹣）=﹣2，

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所以=﹣2，所以=﹣2+1=﹣1，

所以向量与的夹角的余弦值为=，

所以向量与的夹角为；

故选B．

【点评】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键．

4．（5分）（2015?济宁一模）已知f（x）=2sin（2x+

），若将它的图象向右平移

个单位，

得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（ ） A．x=

B．x=

C．x=

D．x=

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．

【解答】解：f（x）=2sin（2x+得到函数g（x）=2sin[2（x﹣令2x﹣

=kπ+

），若将它的图象向右平移）+

）]=2sin（2x﹣+

个单位，

）的图象，

，

，k∈z，求得x=，故函数的图象的一条对称轴的方程为x=

故选：C．

【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

5．（5分）（2015?济宁一模）函数f（x）=2

cosx

（x∈[﹣π，π]）的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【考点】函数的图象．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由f（﹣x）=2=2=f（x），得出f（x）为偶函数，则图象关于y轴对称，排除A、D，再令x=π代入f（x）的表达式即可得到答案．

【解答】解：∵f（﹣x）=2=2=f（x），∴f（x）为偶函数，则图象关于y轴对称，排除A、D，

0

把x=π代入得f（π）=2=1，故图象过点（π，1），B选项适合， 故选：B．

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cos（﹣x）

cosx

cos（﹣x）

cosx

【点评】本题主要考查学生的识图能力，由函数所满足的性质排除一些选项，再结合特殊值，易得答案． 6．（5分）（2015?济宁一模）当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输

出的x不小于103的概率是（ ）A．

B．

C．

D．

【考点】程序框图．

【专题】图表型；算法和程序框图． 【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于103得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于103的概率．

【解答】解：设实数x∈[2，30]， 经过第一次循环得到x=2x+1，n=2

经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3

经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x 输出的值为8x+7 令8x+7≥103得x≥12

由几何概型得到输出的x不小于103的概率为P=

=

．

故选：A． 【点评】解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律，属于基础题． 7．（5分）（2009?湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（ ） A．18 B．24 C．30 D．36 【考点】排列、组合的实际应用． 【专题】计算题． 【分析】由题意知本题可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解四名学生中

233

有两名学生分在一个班的种数是C4，顺序有A3种，而甲乙被分在同一个班的有A3种，两个相减得到结果．

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【解答】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班

2

用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C4，

3

元素还有一个排列，有A3种，

3

而甲乙被分在同一个班的有A3种，

233

∴满足条件的种数是C4A3﹣A3=30 故选C．

【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．

x﹣2y

8．（5分）（2015?济宁一模）设变量x，y满足约束条件，则z=2的取值

范围为（ ） A．[4，32] B．[

，8] C．[8，16] D．[

，4]

【考点】简单线性规划．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】由约束条件作出可行域，令t=x﹣2y，由线性规划知识求得t的范围，再由指数函数的值域得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

令t=x﹣2y，化为直线方程的斜截式得：

，

联立，解得A（﹣2，﹣2），

联立，解得C（﹣1，2）．

第9页（共54页）

由图可知，当直线当直线

过A时，直线在y轴上的截距最小，t最大，最大值为2；

过C时，直线在y轴上的截距最大，t最小，最小值为﹣5．

则t∈[﹣5，2]， 由z=2得z∈

x﹣2y

=2t∈[﹣5，2]，

．

t

故选：D．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了指数函数的值域，是中档题．

9．（5分）（2015?济宁一模）已知抛物线y=x与双曲线

2

﹣x=1（a＞0）有共同的焦点F，

2

O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则A．2

﹣3 B．3﹣2

C．

?的最小值为（ ）

D．

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】求出抛物线的焦点，即有双曲线的c=2，进而得到双曲线的方程，设P（m，n），（n），则n﹣3m=3，再由向量的数量积的坐标表示，化简整理成关于n的方程，再由二次函数的最值求法，即可得到最小值． 【解答】解：抛物线y=x的焦点F为（0，2），

2

2

2

2

2

则双曲线﹣x=1的c=2，则a=3，

即双曲线方程为设P（m，n），（n则=

?

=1，

），则n﹣3m=3，

2

2

2

2

=（m，n）?（m，n﹣2）=m+n﹣2n=

2

﹣1+n﹣2n

2

﹣2n﹣1=（n﹣）﹣，

，+∞）在n=的右边，则为增区间， 时，取得最小值，且为

=3﹣2

．

由于区间[则当n=故选B．

第10页（共54页）

【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查平面向量的数量积的坐标表示，考查二次函数在区间上的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题． 10．（5分）（2015?济宁一模）已知定义在R上奇函数f（x）满足①对任意x，都有f（x+3）=f（x）成立；②当

时

，则

在[﹣4，4]上

根的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7

【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】由题意可得奇函数f（x）是周期等于3的周期函数，则上根的个数，就是函数f（x） 与函数 y=

在[﹣4，4]

的交点的个数，结合图象得出结论．

【解答】解：∵f（x+3）=f（x）成立，∴奇函数f（x）是周期等于3的周期函数．

当 0≤x≤时，f（x）=．

则所示： 故选：B．

在[﹣4，4]上根的个数就是函数f（x） 与函数 y=的交点的个数，如图

【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．（5分）（2015?济宁一模）若a=常数项为 24 ．

【考点】定积分；二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．

cosxdx，则二项式（a﹣）的展开式中的

4

第11页（共54页）

【分析】运用积分公式得出a=2，二项式（2（﹣1）?x，

利用常数项特征求解即可． 【解答】解：∵a=∴a=2 ∴二项式（2

﹣

cosxdx=sinx

2﹣r

﹣

）的展开式中项为：Tr+1=

4

?2

4﹣r

?

=sin﹣sin（）=2

）的展开式中项为：Tr+1=

?4×1=6×4=24

4

?2

4﹣r

?（﹣1）?x

2﹣r

，

当2﹣r=0时，r=2，常数项为：

故答案为：24

【点评】本题考察了积分与二项展开式定理，属于难度较小的综合题，关键是记住公式． 12．（5分）（2015?济宁一模）某企业对自己的拳头产品的销售价格（单位：元）与月销售量（单位：万件）进行调查，其中最近五个月的统计数据如下表所示：

9 9.5 10 10.5 11 价格x 8 6 5 销售量y 11 n 由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：=﹣3.2x+40，则n= 10 ．

【考点】线性回归方程． 【专题】概率与统计．

【分析】求解样本中心点（10，联立方程组求解即可． 【解答】解：由题意，=

），将样本中心点代人线性回归方程，建立等式，然后，

=10，==，

因为线性回归直线方程是：=﹣3.2x+40， 所以

=﹣32+40，

所以n=10，

故答案为：10．

【点评】本题重点考查了线性回归直线方程求解、性质，及其平均值的求解等知识，解题关键是求解样本中心点，然后代人直线方程，构造方程． 13．（5分）（2015?济宁一模）某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为

元，若使用这台仪器的日

平均费用最少，则一共使用了 800 天．

【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．

第12页（共54页）

【专题】计算题．

【分析】因为这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为

则日平均费用设为f（n），据题意得：

f（n）=利用基本不等式得到f（n）为最小值时n的值

即可．

【解答】解：日平均费用设为y，据题意得： f（n）=≥

×（2

+99）当且仅当n=

=

×

即n=800时取等号．

=

×（n+

+99）

故答案为：800 【点评】考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，及基本不等式在最值问题中的应用能力． 14．（5分）（2015?济宁一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 8 ．

【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】空间位置关系与距离．

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的棱锥，求出底面面积和高，代入锥柱体积公式，可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的棱锥，

其底面面积S=×（2+4）×4=12， 高h=2，

故棱锥的体积V=Sh=8，

故答案为：8．

【点评】本题考查的知识点由三视图求体积和表面积，其中根据已知中的三视图，判断出几何体的形状，是解答的关键． 15．（5分）（2015?济宁一模）以下四个命题： ①设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则常数c的值是2；

第13页（共54页）

②若命题“?x0∈R，使得a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；

22

③圆（x﹣1）+y=1被直线x﹣y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为1：4； ④已知p：x≥k，q：

＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（2，

2

x0+ax0+1≤0成立”为真命题，则实数

+∞）．

其中真命题的序号是 ②④ （把你认为真命题的序号都填上） 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】简易逻辑．

【分析】①∵随机变量ξ服从正态分布N（2，9），P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），可得：c﹣2=2﹣（c﹣2），解得c即可判断出正误；

②由已知可得△≥0，解得a即可判断出正误；

③由圆心C（1，0）到直线x=y的距离d==r，可得较短弧所对的圆心角为，较短

弧长与较长弧长之比为1：3，即可判断出正误； ④由q：

＜1，解得x＞2或x＜﹣1，而p是q的充分不必要条件，则实数k＞2，即可

判断出正误．

【解答】解：①设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），c﹣2=2﹣（c﹣2），解得c=3，则常数c的值是3，因此不正确；

2

②若命题“?x0∈R，使得x0+ax0+1≤0成立”为真命题，则△≥0，解得a≥2或a≤﹣2，因此实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），正确； ③圆（x﹣1）+y=1被直线x﹣y=0分成两段圆弧，圆心C（1，0）到直线x=y的距离d=确；

④已知p：x≥k，q：

＜1，解得x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，则实数k

=

r，∴较短弧所对的圆心角为

，∴较短弧长与较长弧长之比为1：3，因此不正

2

2

＞2，因此k的取值范围是（2，+∞），正确． 其中真命题的序号是 ②④． 故答案为：②④．

【点评】本题考查了正态分布的性质、简易逻辑的判定方法、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）（2015?济宁一模）已知向量=（=?．

（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（x+

）的值；

sin，1），=（cos，cos

2

），记f（x）

（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．

第14页（共54页）

【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】解三角形；平面向量及应用． 【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式求出f（x）的解析式，然后求值；

（Ⅱ）由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，利用三角函数公式化简求出角A的范围，然后求三角函数值的范围．

【解答】解：（Ⅰ）向量=（=?=

sincos+cos

2

sin，1），=（cos，cossin+cos+=sin（）=，

2

），记f（x）

=）+，

因为f（x）=1，所以sin（所以cos（x+

）=1﹣2sin（

2

）=，

（Ⅱ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC 所以2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC

所以2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，sinA≠0， 所以cosB=，又0＜B＜则A+C=则所以

＜A＜

，即A=，得

，所以B=

， ，

﹣C，又0＜C＜＜A+

＜

，

＜sin（A+）≤1，又f（2A）=sin（A+

]．

），

所以f（2A）的取值范围（

【点评】本题考查了向量的数量积运算以及利用正弦定理以及化简三角函数式、解三角形；角的范围的确定是关键． 17．（12分）（2015?济宁一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，CD=2，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PA⊥平面CDM；

（Ⅱ）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【专题】空间位置关系与距离；空间角．

第15页（共54页）

【分析】（Ⅰ）取DC中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，以O为原点，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由

=0，

=0，

利用向量法能证明PA⊥平面DNC．

（Ⅱ）求出平面BMC的一个法向量和平面CDM的法向量，由此利用向量法能求出二面角D﹣MC﹣B的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：取DC中点O，连结PO， ∵侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD， ∴PO⊥底面ABCD，

∵底面ABCD为菱形，且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，OA⊥DC， 以O为原点，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， 则A（

，0，0），P（0，0，

），B（

）， ）， ），

=（0，2，0），

C（0，1，0），D（0，﹣1，0），∴M（∴∴

=（

=0，

），=0，

=（

∴PA⊥DM，PA⊥DC，又DM∩DC=D，

∴PA⊥平面DNC． （Ⅱ）解：

=（

），

=（

），

设平面BMC的一个法向量=（x，y，z），

则，取x=1，得=（﹣1，﹣，1），

由（Ⅰ）知平面CDM的法向量为∴cos＜

＞=

=

=（

=﹣

，

），

由图象得二面角D﹣MC﹣B是钝角， ∴二面角D﹣MC﹣B的余弦值为﹣

．

第16页（共54页）

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 18．（12分）（2015?济宁一模）现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．

（Ⅰ）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值； （Ⅱ）若t=，求三人中恰有两人应聘成功的概率；

（Ⅲ）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ=2时对应的概率最大，求E（ξ）的取值范围． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．

【专题】概率与统计．

【分析】（Ⅰ）由题意得，由此能求出t的值．

（Ⅱ）t=时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，由此利用相互独立事件乘法公式能求出三人中恰有两人应聘成功的概率．

（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）∵甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2）， 且三人是否应聘成功是相互独立的．

乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率， ∴由题意得解得t=1．

（Ⅱ）t=时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为， ∴三人中恰有两人应聘成功的概率： P=

+

=

．

，

（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，

第17页（共54页）

P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=P（ξ=1）=

，

+=

，

P（ξ=2）=++（1﹣）×=，

P（ξ=3）=

∴ξ的分布列为： ξ 0 P =，

1 2 3 Eξ=

由题意知P（ξ=2）﹣P（ξ=1）=

＞0，

+=t+，

P（ξ=2）﹣P（ξ=0）=＞0，

P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=又0＜t＜2，∴1＜t＜2， ∴

（ξ）＜．

，

【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．

19．（12分）（2015?济宁一模）已知等比数列{an}的公比为q，a1=，其前n项和为Sn（n∈N），且S2，S4，S3成等差数列． （I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=Sn﹣

（n∈N），求bn的最大值与最小值．

*

*

【考点】等比数列的性质；数列的函数特性．

第18页（共54页）

【专题】综合题；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）利用等比数列的前n项和公式表示出S2，S4，S3，然后根据S2，S4，S3成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，将表示出的S2，S4，S3代入得到关于a1与q的关系式，由a1≠0，两边同时除以a1，得到关于q的方程，求出方程的解，即可得到数列{an}的通项公式； （Ⅱ）Sn=1﹣

，分类讨论，利用函数的单调性，即可求出bn的最大值与最小值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，q≠1，则

∵S2，S4，S3成等差数列， ∴2S4=S2+S3，

又数列{an}为等比数列，

232

∴4（a1+a1q+a1q+a1q）=（a1+a1q）+（a1+a1q+a1q），

2

整理得：2q﹣q﹣1=0， 解得：q=1或q=﹣， ∴an=

（Ⅱ）Sn=1﹣n为奇数时，Sn=1+

，

，随着n的增大而减小，所以1＜Sn≤S1=，

（n∈N），

*

；

因为y=x﹣在（0，+∞）上为增函数，bn=Sn﹣所以0＜bn≤； n为偶数时，Sn=1﹣

，随着n的增大而增大，所以S2≤Sn＜1，

（n∈N），

*

因为y=x﹣在（0，+∞）上为增函数，bn=Sn﹣所以﹣所以﹣

≤bn＜0；

≤bn＜0或0＜bn≤，

．

所以bn的最大值为，最小值为﹣

【点评】此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式、求和公式，熟练掌握公式及性

质是解本题的关键．

20．（13分）（2015?济宁一模）平面内动点M（x，y）与两定点A（﹣的连线的斜率之积为﹣，记动点M的轨迹为C． （Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；

第19页（共54页）

，0），B（，0）

（Ⅱ）定点F（﹣2，0），T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交曲线C于点P，Q．

（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； （ii）当

最小时，求点T的坐标．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（I）由已知可得kMA?kMB=的方程；

（II）（i）证明：设T（﹣3，m），则直线TF的斜率kTF=﹣m．当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ=，直线PQ的方程为：x=my﹣2，当m=0时，也满足上述方程．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆的方程联立化为（3+m）y﹣4my﹣2=0，可得y1+y2，y1y2，x1+x2．即可得出PQ的中点N．只要证明直线ON的斜率kON=kOT即可． （ii）由（i）可得|TF|=

．利用弦长公式可得

2

2

=﹣，化简即可得出动点M的轨迹C

|PQ|==．可得

=，再利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：（I）由已知可得kMA?kMB=

=﹣，

化为，

∴动点M的轨迹C的方程为

；

（II）（i）证明：设T（﹣3，m），则直线TF的斜率kTF=

当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ=，直线PQ的方程为：x=my﹣2， 当m=0时，PQ的方程为：x=﹣2，也满足上述方程．

=﹣m．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立

2

2

，

化为（3+m）y﹣4my﹣2=0，

22

△=16m+8（m+3）＞0，

第20页（共54页）

∴y1+y2=，y1y2=

，

∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=

．

∴PQ的中点N．

∴直线ON的斜率kON=﹣． 又直线OT的斜率kOT=﹣． ∴点N在直线OT上， ∴OT平分线段PQ． （ii）由（i）可得|TF|=|PQ|=

．

=

=．

∴===，当且仅

当m=±1时取等号． ∴当

最小时，点T的坐标为（﹣3，±1）．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根

与系数的关系、弦长公式、直线平分线段问题、斜率计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．（14分）（2015?济宁一模）已知函数f（x）=e﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．

（I）当a=e时，求函数f（x）的极值； （Ⅱ）当0≤a≤1时，求证f（x）≥0；

（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（1+）（1+

）…（1+

）＜e．

x

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得出单调区间，从而求出极值； （Ⅱ）只要求出函数的最小值，证明函数的最小值大于等于0即可；

第21页（共54页）

（Ⅲ）由函数的最小值，构造不等式，令x=

，运用累加法即可证明．

，得出关于正整数n的不等式

【解答】解：（Ⅰ）当a=e时，f（x）=e﹣ex﹣e，f′（x）=e﹣e， 当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0；

所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣e，函数f（x）无极大值；

xx

（Ⅱ）由f（x）=e﹣ax﹣a，f′（x）=e﹣a

x

①当a=0时，f（x）=e≥0恒成立，满足条件， ②当0＜a≤1时，由f′（x）=0，得x=lna，

则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0， ∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， ∴函数f（x）在x=lna处取得极小值即为最小值，

lna

f（x）min=f（lna）=e﹣alna﹣a=﹣alna

∵0＜a≤1，∴lna≤0，∴﹣alna≥0，∴f（x）min≥0， ∴综上得，当0≤a≤1时，f（x）≥0；

x

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）≥0 恒成立，所以f（x）=e﹣x﹣1≥0恒成立， 即e≥x+1，∴ln（x+1）≤x，令x=

x

xx

（n∈N+），得

，

∴≤==1﹣

，

∴（1+）（1+

）…（1+

）＜e．

【点评】本题考查了函数的单调性，极值，恒成立问题，以及不等式的证明，运用了等价转

化，分类讨论和化归思想．属于导数中的综合题，较难．

第22页（共54页）

参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；cst；changq；caoqz；智者乐水；w3239003；涨停；双曲线；sdpyqzh；刘长柏；sllwyn；翔宇老师；孙佑中；zlzhan；静定禅心（排名不分先后） 菁优网

2015年11月20日

第23页（共54页）

考点卡片

1．并集及其运算 【知识点的认识】

由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言：A∪B={x|x∈A或x∈B}．

图形语言：．

A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素． 运算形状：

①A∪B=B∪A．②A∪?=A．③A∪A=A．④A∪B?A，

A∪B?B．⑤A∪B=B?A?B．⑥A∪B=?，两个集合都是空集．⑦A∪（CUA）=U．⑧CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）．

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．

2．命题的真假判断与应用 【知识点的认识】

判断含有“或”、“且”、“非”的复舍命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．

注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1=0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】

1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假． 2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．

3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

第24页（共54页）

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．

3．函数的图象 【知识点的认识】

1．利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．

其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换：

y=f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）?y=f（x﹣a）； y=f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）?y=f（x）+b． （2）伸缩变换：

y=f（x） y=f（ωx）；

y=f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）?y=Af（x）．

（3）对称变换：

y=f（x）关于x轴对称?y=﹣f（x）； y=f（x）关于y轴对称?y=f（﹣x）； y=f（x）关于原点对称?y=﹣f（﹣x）． （4）翻折变换：

y=f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边?y=f（|x|）； y=f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y=|f（x）|．

【解题方法点拨】

1、画函数图象的一般方法

（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．

（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论． 2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法 （1）知图选式：

①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性； ③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； ④从图象的循环往复，观察函数的周期性．

第25页（共54页）

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项． （2）知式选图：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ④从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．

注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口． 3、（1）利有函数的图象研究函数的性质

从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． （2）利用函数的图象研究方程根的个数

有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．

4、方法归纳：

（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点

在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错． （2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点： ①正确求出函数的定义域；

②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+的函数；

③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．

（3）3种方法﹣﹣识图的方法

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：

①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；

②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；

③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．

4．根的存在性及根的个数判断 【根的存在性及根的个数判断】

第一个定理应该叫介值定理．内容是如果一个连续的函数f（x），[a，b]在这个函数的定义域内，并且f（a）与f（b）异号，那么存在c∈[a，b]使得f（c）=0也就是c是方程f（x）=0的根

第二个定理可以叫Rolle定理

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如果函数f（x） 在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b） 内可导，且f（a）=f（b），那么在（a，b） 内至少有一点ξ （a＜ξ＜B），使得函数f′（ξ）=

=0，这

个可以判断出导函数零点是否存在． 第三个定理是代数学基本定理

任何复系数一元n次方程在复数域上至少有一根（n≥1）由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算），这个是复数域上，高考较少涉及． 【判定方法】

这里面用的比较多的是f（a）?f（b）＜0和数形结合法，我们以具体例子为例：

x

例题：判断函数f（x）=e﹣5零点的个数

3

解：法一 f（0）=﹣4＜0，f（3）=e﹣5＞0， ∴f（0）?f（3）＜0．

x

又∵f（x）=e﹣5在R上是增函数，

x

∴函数f（x）=e﹣5的零点仅有一个．

xx

法二 令y1=e，y2=5，画出两函数图象，由图象可知有一个交点，故函数f（x）=e﹣5的

零点仅有一个

【高考趋势】

根的存在问题相对来说是零点里头最重要的一个点，也是比较常考的点，一般都是以中档题的形式在选择题里出现，在解这种题的时候，做出函数图象是首要选择，然后根绝图形去寻找答案．

5．根据实际问题选择函数类型 【知识点的知识】

1．实际问题的函数刻画

在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容． 2．用函数模型解决实际问题 （1）数据拟合：

通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合． （2）常用到的五种函数模型：

①直线模型：一次函数模型y=kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y=kx（k＞0）． ②反比例函数模型：y=（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．

③指数函数模型：y=a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．

第27页（共54页）

④对数函数模型，即y=mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．

2

⑤幂函数模型，即y=a?xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y=ax+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．

在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等． 3．函数建模

（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模． （2）过程：如下图所示．

【典型例题分析】

典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003

x

600

≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）

x

2

A．y=0.025x B．y=1.003C．y=l+log7x D．y=

分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x?25%，然后一一验证即可． 解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足： 当x∈[10，1000]时，

①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x?25%=x，

A中，函数y=0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；

B中，函数y=1.003，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；

C中，函数y=l+log7x，易知满足①，当x=1000时，y取最大值l+log71000=4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求； D中，函数y=

x，易知满足①，当x=400时，y＞5不满足公司要求；

2x

故选C

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．

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典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x=

（k

为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求： （1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；

（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．

（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大． 解答：解：（1）由题意：3﹣x=且当t=0时，x=1． 所以k=2，所以3﹣x=

，…（1分）

，…（2分） …（3分）

=

，（t≥50）；…（2分）

当且仅当

，即t=7时取等号，…（4分）

，

生产成本为 32x+3，每件售价所以，y==16x﹣（2）因为

所以y≤50﹣8=42，…（1分）

答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．

【解题方法点拨】

用函数模型解决实际问题的常见类型及解法： （1）解函数关系已知的应用题

①确定函数关系式y=f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y=f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案． （2）解函数关系未知的应用题 ①阅读理解题意

看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型； ②抽象函数模型

在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；

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③研究函数模型的性质

根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解； ④得出问题的结论

根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．

6．定积分 【定积分】

定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由 y=0，x=a，x=b，y=f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．

【定积分的求法】

求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例． 例1：定积分 解： 2

∫1|3﹣2x|dx =

+

=

=（3x﹣x）|

2

+（x﹣3x）|

2

=

通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解． 例2：用定积分的几何意义，则 解：根据定积分的几何意义，则半圆的面积，

．

表示圆心在原点，半径为3的圆的上

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