§1-1 - 1-2 - 1-3 - 1-4三角函数的有关计算导学案

第一章 直角三角形的边角关系

§1.1 从梯子的倾斜程度谈起

学习目标

1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程

2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比

4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算

学习重点和难点

重点：理解正切、正弦、余弦函数的定义 难点：理解正切、正弦、余弦函数的定义

学习过程

第一单元

一、引入课题

直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。 二、自主学习

1、梯子的倾斜程度

梯子是我们是日常生活中常见的物体。

（1）在图1-1中，梯子AB和EF哪个更陡？

你是怎样判断的？你有几种判断方法？

（2）在图1-2中，梯子AB和EF哪个更陡？

你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 归纳小结：

如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值 ，则梯子越陡； 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值 ，则梯子越陡； 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值 ，则梯子越陡； 2、想一想

如图1-3,小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明 梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们 的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小亮的看法吗？ （1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？ (2)

B1C1B2C2和有什么关系？ AC1AC2（3）如果改变B2在梯子上的位置呢？比值 。由此我们得出结论：当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也 。 二、明确概念

通过对前面的问题的讨论，我们知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的

倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的

有关，而与直角三角形的大小 。 正切函数

（1）明确各边的名称 （2）tanA?B斜边A∠A的对边C?A的对边

?A的邻边∠A的邻边（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）tanA表示的是∠A的对边与∠A的邻边的比值。

（4）通常用倾斜角的正切值来表示一个物体的倾斜程度，也经常用坡角的正切来描述山坡的坡度（山坡坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度，也称坡比）．

tanA的值越大，梯子越陡 ☆巩固练习一 A1、如图1，在△ACB中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；

2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ； 3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ；C 2、如图2，在△ACB中，tanA = 。（不是直角三角形） 三、例题学习

例1 图1－5中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 5m分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。

B BA C

α甲 8m解：甲梯中，tan???，乙梯中，tan???，

13mβ图1－5

乙 5m因为tan? ta?n所以 梯更陡。 例2

如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6，tanB?3，求BC、AB的长。 4A分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

BC

例3 有一山坡，它在水平方向上每前进100米就升高60米，这个山坡的坡度是 。 三、随堂练习

1、在直角△ACB中，∠C = 90°，AC = 5，AB= 13，求tanA和tanB 2、在直角△ACB中，∠C = 90°，BC = 5，求tanA?四、课堂小结

正切函数的定义及应用。

5,求AC. 12

第二单元

一、复习引入

正切：锐角Ａ的 与 之比叫做∠Ａ的正切。即tanA?二、明确概念

1、正弦、余弦函数 正弦：sinA?。

B斜边A∠A的对边C?A的邻边?A的对边，余弦：cosA?

斜边斜边∠A的邻边☆巩固练习一

（1）如图，在△ACB中，∠C = 90°，

①sinA = ；cosA = ；sinB = ；cosB = ； A②若AC = 4，BC = 3，则sinA = ；cosA = ； ③若AC = 8，AB = 10，则sinA = ；cosB = ； B（2）如图，在△ACB中，sinA = 。（不是直角三角形） C2、三角函数

锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数。 3、梯子的倾斜程度与三角函数的关系

sinA的值 ，梯子越陡；cosA的值 ，梯子越陡 三、例题学习

例4、如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，AC = 200，sinA?0.6，求BC的长。

分析：本例是利用正弦的定义求对边的长。

C

例5、如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 10，cosA?分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

AB12，求AB的长及sinB。 13B

三、随堂练习

0

CA1、在Rt△ABC中，∠B＝90，AB＝3，BC＝4，则sinA= 0

BC?3cm,则SinA= cosA= 2、在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝5cm3、Rt△ABC中，∠C＝90，SinA=

0

4,AB=10,则BC＝ 5

四、课堂小结

正弦、余弦函数的定义及应用。 五、作业

0

1、在△ABC中，∠C＝90，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝9，b＝12，则sinA=

,sinB= .

2、在Rt△ABC中，∠C＝90，若2a?3b则tanA=

0

3、Rt△ABC中，∠A＝60，c=8，则a＝ ，b＝

4、在Rt△ABC中，若c?23,b＝3，则tanB= ,面积S＝

5、在Rt△ABC中，AC：BC＝1：3，AB＝6，∠B＝ ，AC＝ 。BC＝

0

6、在Rt△ABC中，∠B＝90，AC边上的中线BD＝5，AB＝8，则tanACB= 7、等腰三角形中，腰长为5cm，底边长8cm，则它的底角的正切值是

8、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦值（ ） A、都扩大2倍 B、都扩大4倍 C、没有变化 D、都缩小一半 9、在Rt△ABC中，已知a边及∠A，则斜边应为（ ） A、asinA B、 a C、acosA D、a

sinAcosA0

10、在△ABC中，A，B为锐角，且有sinA＝cosB，则这个三角形是（ ）A、等腰三角形

B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形

0

11、在Rt△ABC中，∠C＝90，，AB＝13，BC＝5，求sinA, cosA, tanA。

12、在Rt△ABC中，∠C＝90，若sinA?12 求cosA, sinB, cosB

0

13

0

13、在Rt△ABC中，∠C=90，a=2,b=1, 求∠A的三个三角函数值。

00

10、 在Rt△ABC中，∠C＝90，b=17, ∠B=45,求a, c与∠A

22，腰长是6，上底是22求下底及面积 11、等腰梯形的一个底角的余弦值是3

§1. 2 30°、45°、60°角的三角函数值

学习目标

5、 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体

会三角函数的意义

6、 能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算

7、 能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小 学习重点和难点

重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算 难点：记住30°、45°、60°角的三角函数值 学习过程 一、复习引入

正切： 正弦: 余弦:

BCA二、合作探究

利用三角函数的定义求30°、45°、60°角的三角函数值：

BA

CBC度数 30° 45° 60° 三、例题学习 例3

（3）

Asinα cosα tanα 计算：（1）sin30°+ cos45°； （2）1?3cos30?；

cos30??sin45?22； （4）sin60??cos45??tan45?。

sin60??cos45?

例4

填空：（1）已知∠A是锐角，且cosA =

1，则∠A = °，sinA = ； 2 （2）已知∠B是锐角，且2cosB= 1，则∠B = °；

（3）已知∠A是锐角，且3tanA ?3= 0，则∠A = °； 例5 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。

O分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用。

C BD A 例6

在Rt△ABC中，∠C = 90°，2a?3c，求

a，∠B、∠A。 c分析：本例先求出比值后，利用特殊角的三角函数值，再确定角的大小。

四、小结 五、作业

B

1,Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则当a=5、c=13 时，有sinA= ，cosA= 。 2，Rt△ABC中，∠C=90°若sinA=

1时，tanA= 。 3A 12题图 C 3，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=3BC，则cosA= 。 4，若sinA=cos45°则∠A= 。 5，△ABC中，有cosA?2

30° 3?2sinB?1?0,那么∠C= 。 213题图

26, 若∠A=60°，则化简(1?sinA)? . 7，Rt△ABC中，∠C=90°且sinA+cosB=3,则∠A= 。

2

2

8，若sin22°31′=cosA，则∠A= 。 9若sinA+cos21°= 1，则∠A= 。 10，比较大小：①tan21° tan31°，②sin21° cos21°。③cos21° cos22° 11,△ABC的周长为60cm，∠C等于90°，tanA=

12，则△ABC的面积为 . 5o

12，如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米，∠BAC=30，要建造阶梯AB，使每阶

高为20cm，则此阶梯要建 阶（最后一阶的高不足20cm时，按一阶计算,3=1.732）. 13，如图：将宽为1的两条矩形纸条按30°的角交叉重叠，则重叠部份的面积为 。 14、在Rt△ABC中，∠C?900，a＝2，b＝3，则cosA＝ ，sinB＝ ，tanB＝ ， 15、直角三角形ABC的面积为24cm，直角边AB为6cm，∠A是锐角，则sinA＝ ； 16、已知tan?＝5，?是锐角，则sin?＝

1217、等腰三角形一边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为 . 18、在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA=

2

3，AB＝8cm ，则△ABC的面积为______ 319、菱形ABCD中对角线AC交BD于点O，且AC=8，BD=6，则下列结论中正确的为（ ）

3443 B、cos∠DAB= C、tan∠DBA = D、tan∠ADB= 5534333120、∠A为锐角，且sinA=，则cos A=（ ） A、 B、3 C、 D、

2422A、sin∠ADB=

21、计算：2sin45°+4cos60°=（ ） A、 2 B、 1 C、 0 D、-2

22、若0°

A、sinA > cosA B、sinA ≥cosA C、sinA < cosA D、sinA≤cosA 23、 把一个Rt△ABC中的各边同时扩大2倍，则它的锐角A的正弦和余弦值（ ）

A，都扩大两倍 B，都缩小一半 C，都不变 D，正弦扩大2倍，余弦缩小一半 24、若cosA=

2

2

3，则下列结论正确的为（ ） 4C A、0°<∠A<30° B、30°<∠A<45° C、 45°<∠A<60 D、60°<∠A<90° 25、设sinA+cosA=m，则（ ） A，m>1 B,m=1 C,m<1 D,不一定。

B A D 26、如图，Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB。

则下列各式中与sin∠ACD不相等的为（ ） A、sinB B、sin ∠BCD C、cosA D、cos∠BCD 27、△ABC中，∠C=90°且a≠b，则下列各式不能表示△ABC的面积的为（ ） A、

111212

ab B、 a·c·sinB C、 b·tanA D、 c·sinA·cosB 222228、以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆。若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为 （ ） A (cosα,1) B (1,sinα) C (sinα,cosα) D (cosα,sinα) 29、若tan(a+10°)=3，则锐角a的度数 ( )

A、20° B、30° C、35° D、50° 30、如果α、β都是锐角，下面式子中正确的是 （ ）

A、sin(α+β)=sinα+sinβ B、cos(α+β)=

10

时，α+β=6020

C、若α≥β时，则cosα≥cosβ D、若cosα>sinβ,则α+β>90 31、Rt?ABC中，∠C=90?，∠A∶∠B=1∶2，则sinA的值（ ）

3A．1 B．2 C． D．1

222

32(1)tan300sin600?cos2300?sin2450tan450 (2) 1tan245??41tan45?sin40?2??3cos30??sin230?cos0?cos50?

33、△ABC中，∠C＝90°(1)已知：c＝ 83，∠A＝60°，求∠B、a、b．(2) 已知：a＝36， ∠A＝30°，求∠B、b、c.

34、等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，则底角∠B的四个三角函数值

F A B

35、如图，矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CEE 将△CDE对折，点D正好

落在AB边上，求 tan∠AFE=？

36、直线l与Y轴交点的纵坐标为-4，与X轴相交所成的锐角为α，则当tanα = 则求直线的解析式？

0 D

C 3 ， 4y A(3,0) x B(0,－4)

37、如右角坐标系中，已知点A（3，0），点B（0，－4）， 则cos?OAB 等于_______

§1-3 三角函数的有关计算导学案

学习目标

1.经历用由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义. 2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算.

3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 学习重点

1.用计算器由已知三角函数值求锐角.

2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 学习难点

用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 学习过程 一、引入新课

已知tanA＝56.78，求锐角A.

（ 上表的显示结果是以“度”为单位的.再按

键即可显示以“度、分、秒”

为单位的结果.） 二、习题训练

1.根据下列条件求锐角θ的大小：

(1)tanθ＝2.9888； (2)sinθ=0.3957； (3)cosθ＝0.7850； (4)tanθ＝0.8972； (5) tanθ=22.3 (6) sinθ＝0.6；

(7)cosθ＝0.2 （8）tanθ=3； (9) sinθ＝

3 2 2.某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角.

解：

3.运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.

[例1]如图，工件上有-V形槽.测得它的上口宽加20 mm深19.2mm。

求V形角(∠ACB)的大小.(结果精确到1°)

分析：根据题意，可知AB＝20 mm，CD⊥AB，AC＝BC，CD=19.2 mm， 要求∠ACB，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可.

解：

[例2]如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度。

解：

小结：这两例都是实际应用问题，确实需要知道角度，而且角度又不易测量，这时我们根 据直角三角形边的关系.即可用计算器计算出角度，用以解决实际问题.

三、解直角三角形

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.

222

(1)边的关系：a+b=c(勾股定理)； (2)角的关系：∠A+∠B=90°； (3)边角关系：sinA=

ababab，cosA=，tanA= ；sinB＝，cosB＝，tanB= . ccbcca 由前面的两个例题以及上节的内容我们町以发现，很多实际问题中的数量关系都可归结为直角三

角形中元素之间的关系，使实际问题都得到解决.

四、随堂练习

1.已知sinθ＝0.82904.∠θ＝

2.一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m，求梯子

与地面所成的锐角. 解：

五、课时小结

本节课我们学习了用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.并且

用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题.

六、课后作业

如图，美国侦察机B飞抵我国近海搞侦察活动，我战斗机A奋起拦截，地面雷达C测得：当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为∠DCA=16°，∠DCB＝15°，它们与雷达的距离分别为AC＝80千米，BC=81千米时，求此时两机的距

离是多少千米?(精确到0.01千米)

§1-4 船有触礁的危险吗

学习目标

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明. 学习重点

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 学习难点

根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图. 学习过程 一、引入新课

直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾

股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗? 二、探索新知

（一）根据题意，画出图形

（二）小组交流，分析题意

1、货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由 来决定。 2、根据题意，小岛四周 海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离 （填大于或小于） 海里，则无触礁的危险，如果 （填大于或小于） 海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过 作 ， 为垂足，即 的长度.我们需根据题意，计算出 的长度，然后与 海里比较. 3、通过上面的分析，我们已将实际问题转化成数学问题.根据题意，有已知条件： 、 、 （三）全班交流，写出解题过程 解：

三、随堂练习 如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°， 再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高? (小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)

四、课堂小结 五、作业 1、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m， 调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)

2、如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m， 现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?

3、如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD＝6 m，坡长CD＝8 m.坡底BC＝30 m，∠ADC=135°. (1)求∠ABC的大小。

3

(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m)

解：

４、如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经

16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象 部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西 60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均 受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?( 2≈1.4，3 ≈1.7) 解：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3235.html