高中物理万有引力定律的应用提高训练含解析

高中物理万有引力定律的应用提高训练含解析

一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用

1．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求：

（1）星球表面的重力加速度；

（2）卫星绕该星的第一宇宙速度；

（3）星球的密度．

【答案】（1）126F F g m -=

（212()6F F R m

-(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】

【分析】

【详解】

（1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1

设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l 在最高点：222mv F mg l

+= ① 在最低点：211mv F mg l

-= ② 由机械能守恒定律，得

221211222

mv mg l mv =?+ ③ 由①②③，解得1

26F F g m

-= （2）2GMm mg R

= 2GMm R =2

mv R

两式联立得：12()6F F R m -

（3）在星球表面：2GMm mg R = ④ 星球密度：M V

ρ= ⑤ 由④⑤，解得128F F GmR

ρπ-= 点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度．

2．在地球上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把质量为m 的物体P 置于弹簧上端，用力压到弹簧形变量为3x 0处后由静止释放，从释放点上升的最大高度为4.5x 0，上升过程中物体P 的加速度a 与弹簧的压缩量x 间的关系如图中实线所示。若在另一星球N 上把完全相同的弹簧竖直固定在水平桌面上，将物体Q 在弹簧上端点由静止释放，物体Q 的加速度a 与弹簧的压缩量x 间的关系如图中虚线所示。两星球可视为质量分布均匀的球体，星球N 半径为地球半径的3倍。忽略两星球的自转，图中两条图线与横、纵坐标轴交点坐标为已知量。求：

(1)地球表面和星球N 表面重力加速度之比；

(2)地球和星球N 的质量比；

(3)在星球N 上，物体Q 向下运动过程中的最大速度。

【答案】(1)2:1(2)2:9(3)0032

v a x =

【解析】

【详解】

（1）由图象可知，地球表面处的重力加速度为 g 1=a 0

星球N 表面处的重力加速度为 g 2=00.5a

则地球表面和星球N 表面重力加速度之比为2∶1

（2）在星球表面，有 2GMm mg R

= 其中，M 表示星球的质量，g 表示星球表面的重力加速度，R 表示星球的半径。则

M =2gR G

因此，地球和星球N 的质量比为2∶9

（3）设物体Q 的质量为m 2，弹簧的劲度系数为k

物体的加速度为0时，对物体P ：

mg 1=k·x 0

对物体Q ：

m 2g 2=k ·3x 0

联立解得：m 2=6m

在地球上，物体P 运动的初始位置处，弹簧的弹性势能设为E p ，整个上升过程中，弹簧和物体P 组成的系统机械能守恒。根据机械能守恒定律，有：

1004.5p E mg h ma x == 在星球N 上，物体Q 向下运动过程中加速度为0时速度最大，由图可知，此时弹簧的压缩量恰好为3x 0，因此弹性势能也为E p ，物体Q 向下运动3x 0过程中，根据机械能守恒定律，有：

m 2a 23x 0=E p+

2212m v 联立以上各式可得，物体P 的最大速度为v =0032

a x

3．据每日邮报2014年4月18日报道，美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发现“类地”行星.假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T ；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h 处自由释放-个小球(引力视为恒力)，落地时间为.t 已知该行星半径为R ，万有引力常量为G ，求：

()1该行星的第一宇宙速度；

()2该行星的平均密度．

【答案】(()22231 2?2h h R t Gt R π． 【解析】

【分析】

根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力，求出质量与运动的周期，再利用M V

ρ=

，从而即可求解． 【详解】 ()1根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度212

h gt = 解得：22h g t =

则由

2

v mg m

R

=

求得：星球的第一宇宙速度

2

2h

v gR R

t

==，

()2由

22

2

Mm h

G mg m

R t

==

有：

2

2

2hR

M

Gt

=

所以星球的密度

2

3

2

M h

V Gt R

ρ

π

==

【点睛】

本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解．

4．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：

（1）该星球表面的重力加速度；

（2）该星球的密度；

（3）该星球的第一宇宙速度v；

（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T．

【答案】(1)0

2tan

v

t

α

；(2)0

3tan

2

v

GRt

α

π

；0

2tana

v R

t

；(4)

2

tan

Rt

vα

【解析】

【分析】

【详解】

(1) 小球落在斜面上，根据平抛运动的规律可得：

2

00

1

2

tanα

2

gt

y gt

x v t v

===

解得该星球表面的重力加速度：

2tanα

v

g

t

=

(2)物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：

2

GMm

mg

R

=

则该星球的质量： G gR M 2= 该星球的密度： 0

33tan α34423v M g GR GRt R ρπππ=

==

(3)根据万有引力提供向心力得： 2

2Mm v G m R R

= 该星球的第一宙速度为：

02tana v R GM v gR R t

=== (4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动时，运行周期最小，则有:

2R T v

π=

所以： 0022tan αtan t Rt T R v R v ππα

== 点睛：处理平抛运动的思路就是分解．重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．

5．宇航员在某星球表面以初速度2.0m/s 水平抛出一小球，通过传感器得到如图所示的运动轨迹，图中O 为抛出点。若该星球半径为4000km ，引力常量G =6.67×10

﹣11N?m 2?kg ﹣2．试求：

(1)该行星表面处的重力加速度的大小g 行；

(2)该行星的第一宇宙速度的大小v ；

(3)该行星的质量M 的大小（保留1位有效数字）。

【答案】(1)4m/s 2(2)4km/s(3)1×1024kg

【解析】

【详解】

(1)由平抛运动的分位移公式，有：

x =v 0t

y =12g 行t 2 联立解得：

t =1s g 行=4m/s 2；

(2)第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，在星球表面重力与万有引力相等，据万有引力提供向心力有： 2

2mM v G mg m R R

行＝＝ 可得第一宇宙速度为：

34400010m/s 4.0km/s v g R =??=行＝

(3)据

2

mM G

mg R 行＝ 可得： 232

24114400010kg 110kg 6(.)6710

g R M G -??==≈??行

6．用弹簧秤可以称量一个相对于地球静止的小物体m 所受的重力，称量结果随地理位置的变化可能会有所不同。已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G ．将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体。

（1）求在地球北极地面称量时弹簧秤的读数F 0，及在北极上空高出地面0.1R 处称量时弹簧秤的读数F 1；

（2）求在赤道地面称量时弹簧秤的读数F 2；

（3）事实上地球更接近一个椭球体，如图所示。如果把小物体放在北纬40°的地球表面上，请定性画出小物体的受力分析图，并画出合力。

【答案】（1）02Mm F G R = ()120.1GMm F R R =+ （2）22224Mm R F G m R T π=-

（3）

【解析】

【详解】

（1）在地球北极，不考虑地球自转，则弹簧秤称得的重力则为其万有引力，有：02GmM F R = 在北极上空高处地面0.1R 处弹簧秤的读数为：12

(0.1)GmM F R R =+； （2）在赤道地面上，重力向向心力之和等于万有引力，故称量时弹簧秤的读数为：

2222

4GmM Rm F R T π=- （3）如图所示

7．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ．若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点3L ．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常量为G ，求该星球的质量M ．

【答案】2

23LR M = 【解析】

【详解】

两次平抛运动，竖直方向212

h gt =，水平方向0x v t =，根据勾股定理可得：2220()L h v t -=，抛出速度变为2倍：2220(3)(2)L h v t -=，联立解得：3

h =，23g t =，在星球表面：2Mm G mg R =，解得：223M t G

=

8．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形，2017年6月，

“神舟十号”与“太空一号”成功对接．现已知“太空一号”飞行器在轨运行周期为To ，运行速度为0v ，地球半径为R ，引力常量为.G 假设“天宫一号”环绕地球做匀速圖周运动，求：

()1“天宫号”的轨道高度h ．

()2地球的质量M ．

【答案】(1)00 2v T h R π=- (2)300 2v T M G

π= 【解析】

【详解】

(1)设“天宫一号”的轨道半径为r ，则有：

00

2r v T π=“天宫一号”的轨道高度为：h r R =- 即为：002v T h R π

=- (2)对“天宫一号”有：2

220

4Mm G m r r T π= 所以有：3002v T M G

π= 【点睛】

万有引力应用问题主要从以下两点入手：一是星表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力．

9．设想若干年后宇航员登上了火星，他在火星表面将质量为m 的物体挂在竖直的轻质弹簧下端，静止时弹簧的伸长量为x ，已知弹簧的劲度系数为k ，火星的半径为R ，万有引力常量为G ，忽略火星自转的影响。

（1）求火星表面的重力加速度和火星的质量；

（2）如果在火星上发射一颗贴近它表面运行的卫星，求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期。

【答案】（1）g =kx m ，M =2

kxR Gm

； （2）v kxR m 2mR kx 【解析】

【详解】

（1）物体静止时由平衡条件有: mg =kx ，所以火星表明的重力加速度g =kx m ；在火星表面

重力由万有引力产生：mg =G 2mM R ，解得火星的质量M =2

kxR Gm

。

（2）重力提供近地卫星做圆周运动的向心力：mg =m 2

v R

，解得卫星的线速度v

近地卫星的周期T =2R v π=2

10．高空遥感探测卫星在距离地球表面h 的轨道上绕地球转动，已知地球质量为M ，地球半径为R ，万有引力常量为G ，求：

(1)人造卫星的角速度；

(2)人造卫星绕地球转动的周期；

(3)人造卫星的向心加速度．

【答案】（1）R h ω+（2）2T R h π=+（3）()2 GM a R h =+ 【解析】

【分析】 根据万有引力提供向心力2

2222()Mm v G m r m m r ma r T r

πω====求解角速度、周期、向心加速度等。

【详解】 （1）设卫星的角速度为ω，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：

G ()2 mM R h +＝m ω2(R +h )，

解得卫星角速度R h ω+

故人造卫星的角速度R h ω+

（2）由()2224Mm

G m R h T

R h π=++（）

得周期2T R h π=+（

故人造卫星绕地球运行的周期为2T R h π=+（ （3）由于G ()2 mM

R h +=m a 可解得，向心加速度a=()2 GM R h +

故人造卫星的向心加速度为

()2 GM R h +．

【点睛】 解决本题的关键知道人造卫星绕地球运行靠万有引力提供向心力，即2

2222()Mm v G m r m m r ma r T r

πω====.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/320q.html