13年高考真题 - 理科数学（广东卷）

13年高考真题——理科数学(广东卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

hS1?S2?S1S2，其中S1,S2分别表示台体的上、下3底面积，h表示台体的高。

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。 参考公式：台体的体积公式V??? 1．设集合M??x?R|x2?2x?0?，N??x?R|x2?2x?0?，则M N=（ ）

（A）?0? （B）?0,2? （C）??2,0? （D）??2,0,2?

3 2．定义域为R的四个函数y?x，y?2，y?x?1，y?2sinx中，奇函数的个

x2数是（ ） （A）4 （B）3 （C）2 （D）1

3．若复数z满足iz?2?4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ） （A）?2,4? （B）?2,?4? （C）?4,?2? （D）?4,2? 4．已知离散型随机变量X的分布列如右表，则X的数学期望

35E?X??（ ） （A） （B）2 （C） （D）3

22 5．某四棱台的三视图如图1所示，

则该四棱台的体积是（ ） （A）4 （B）（C）

3 X 1 2 331 P 5101014 316 （D）6 36．设m,n是两条不同的直线，

?,?是两个不同的平面，下列命题中

正确的是（ ） （A）若???，m??，n??，则m?n

（B）若?//?，m??，n??，则m//n（C）若m?n，m??，n??，则???（D）若m??，m//n，n//?，则???

7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F?3,0?，离心率等于，则C的方程是（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2??1 （B）??1 ?1 （C）??1 （D）?（A）42452555 8．设整数n?4，集合X??1,2,,n?。令集合S???x,y,z?|x,y,z?X，且三条件

1 / 5

13年高考真题——理科数学(广东卷)

，若?x,y,z?和?z,w,x?都在S中，则下x?y?z，y?z?x，z?x?y恰有一个成立｝列选项正确的是（ ）

（A）?y,z,w??S，?x,y,w??S （B）?y,z,w??S，?x,y,w??S （C）?y,z,w??S，?x,y,w??S （D）?y,z,w??S，?x,y,w??S

二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9～13题）

9．不等式x2?x?2?0的解集为 。

10．若曲线y?kx?lnx在点?1,k?处的切线平行于x轴，则k= 。

11．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为 。

12．在等差数列?an?中，已知a3?a8?10，则

3a5?a7? 。

?x?4y?4?13．给定区域：D:?x?y?4。令点集

?x?0?，则TT???x0,y0??D|x0,y0?Z,?x0,y0?是z?x?y在D上取得最大值或最小值的点｝中的点共确定 条不同的直线。

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

??x?2cost 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为?（t为参数），

??y?2sint以坐标原点为极点，x轴的正半C在点?1,1?处的切线为l，

轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为___________。

15．（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC?CD，过C作圆O的切线交AD于E。若AB?6，ED?2，则BC?_______。 三．解答题：本大题共6小题，满分80分，解答需写出文字说明。证明过程和演算步骤。 16．（本小题满分12分）已知函数

AEDOCB第 15 题图???f?x??2cos?x???x?R?。⑴求

12??3????3??f???的值；⑵若cos??，???,2??，

5?6??2?2 / 5

13年高考真题——理科数学(广东卷)

求f?2???????。 3? 17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数。⑴根据茎叶图计算样本均值；⑵日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？⑶从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率。 18．（本小题满分14分）如图5,在等腰直角三角形

OCDEBABC中,?A?90?,BC?6,D,E分别是AC,AB上

的点, CD?BE?2,O为BC的中点。将?ADE沿

DE折起，得到如图6所示的四棱锥A??BCDE，其中

A?O?3。⑴证明:A?O?平面BCDE；⑵求二面角

A图5A'A??CD?B平面角的余弦值。

19．（本小题满分14分）数列?an?中，已知a1?1，

CODE图6B2Sn12?an?1?n2?n??n?N??，Sn为?an?前n项n33和。⑴求a2；⑵求an；⑶证明：对一切正整数n，有

11??a1a2?17?。 an4 20．（本小题满分14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F?0,c??c?0?到直线

l:x?y?2?0的距离为322。设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线

其中A,B为切点。⑴ 求抛物线C的方程；⑵当点P?x0,y0?为直线l上的定点时，PA,PB，

求直线AB的方程；⑶当点P在直线l上移动时，求|AF|?|BF|的最小值。

21．（本小题满分14分）设函数f?x???x?1?e?kxx2?k?R?。⑴当k?1时，求函

数f?x?的单调区间；⑵当k??12,1?时，求函数f?x?在?0,k?上的最大值M。

2013年普通高校招生全国统考数学试卷广东卷解答

一．DCAAB CDC

3 / 5

13年高考真题——理科数学(广东卷)

二．9．?x|x???；10．20；11．2n?1；12．y?2x?1；13．8；14．?1,1?；15．3。

??1?2????????2cos?????1；?6??4? 347?3?? ⑵因为cos??,???,2??，所以sin???。从而cos2??2cos2??1??，

5525?2?????1724??sin2??2sin?cos???，因此f?2????2cos?2????cos2??sin2??。

3?4?25 25??17?19?20?21?25?30 17．⑴样本均值为x??22；

621⑵根据题意，抽取的6名员工中优秀员工有2人，优秀员工所占比例为?，故12

631名员工中优秀员工人数为?12?4（人）；

3 ⑶记事件A为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工”，由于优秀员工4人，非优秀员工

11C4C1616为8人，故事件A发生的概率为P?A??28?，即所求概率为。

33C1233 18．⑴折叠前连OA交DE于F，因折叠前?ABC为等腰直角三角形，且斜边BC?6，故OA⊥BC，OA?3，AC?AB?32。又CD?BE?2，故BC∥DE，

AD?AE?22，因此OA⊥DE，AF?2，OF?1。折叠后DE⊥OF，DE⊥A?F，故DE⊥面A?OF，从而DE⊥A?O。又A?F?2，OF?1，A?O?3，因此?A?OF为

0直角三角形，且?A?OF?90，即A?O⊥OF。又DE?平面BCDE，OF?平面BCDE，且DEOF?F，所以A?O⊥面平面BCDE；

⑵过O做OH⊥CD于H，连A?H，则?A?HO即为二面角A??CD?B的平面角，且

2330OH15OH?OC?2，A?H?A?O2?OH2??，故所求为cosA?HO?。

?222AH512 19．⑴令n?1得2a1?a2??1?，故a2?2a1?2?4；

33

n?1?an?21?nan?11322232??n?1???n?1???n?1?，?n?n?n，故Sn?1?⑵由题得Sn?263263

?n?1?an?2?nan?1?1n?1n?2?n?1?an?2??n?2?an?1?1n?1n?2相减得an?1?????，即????。

222222

an?2an?1aa?a???1，又由⑴知2?1?1，故?n?是以1为首项，1为公差的等差数列，知故

n?2n?121?n?an?n，即an?n2；n

nn11?11?111111?11??1???1?1???? ⑶因?2?2，故??????i?1?22annn?12?n?1n?1?i?1aii?22?i?1 16．⑴由题意f??11?7????。nn?1?4

4 / 5

13年高考真题——理科数学(广东卷)

20．⑴依题意得?c?22?32，故c?1。因此F0,1，C：x2?4y；

??2

22?x12????x1?x2x12?x2?x2 ⑵设A?x1,，，则的中点为易知直线PA的Bx,M，AB??2???。

4428??????2x?x?x?x?x1x12x2x2x?，直线PB的方程为y?x?，相减得0?12?x?12?。方程为y?

2?2?2424x?x2x?x2?0。因此x0?1因x1?x2，故x?1，即x1?x2?2x0。将P?x0,x0?2?带222x1x1?x2x12x1x2x12?x2??? 入直线PA的方程得x0?2??，即x1x2?4x0?8。故

22448?x1?x2?2?2x1x2822?x0?2x0?4?x0?2x0?4，因此Mx,??0?。又直线AB的斜率

22??2x0x0?2x0?4x0x1?x2x0?x?x0?2； kAB??，故AB的方程为y??x?x0??22242x12?1， ⑶由于A点到焦点F的距离等于A点到准线y??1的距离，故|AF|?422?x12??x2?x222|BF|??1。因此|AF|?|BF|???1???1???x0?2??x0?2x0?4?1?4?4??4? 3?939?2x?6x0?9?2?x0???。所以当x0?时，|AF|?|BF|取最小值。

222?2?x2 21．⑴k?1时f?x???x?1?e?x，故f??x??ex??x?1?ex?2x?x?ex?2?。

202当x?0时ex?2?0，故f??x??0，f?x?单调递增；0?x?ln2时ex?2?0，故

f??x??0，f?x?单调递减；x?ln2时ex?2?0，故f??x??0，f?x?单调递增。综

上，f?x?的单调增区间为???,0?和?ln2,???，单调减区间为?0,ln2?；

xxx ⑵f??x??e??x?1?e?2kx?xe?2k，因12?k?1，故1?2k?2。由⑴可

??知f?x?在?0,ln2k?上单减，在?ln2k,???上单增。设g?x??x?ln2x?12?x?1?，则

1111。因?x?1，故1??2，知?1?1??0，所以g?x?单调递减。从

2xxx而g?k??g?1??0，得k?ln2k。因此f?x?在?0,ln2k?上单减，在?ln2k,k?上单增， g??x??1?故M?maxf?0?,f?k?。因f?k???k?1?ek?k3，故f??k??kek?3k。令

????h?k??ek?3k，则h??k??ek?3。因k?1，故h??k??0，从而h?k?单调递减。因

h?12?h?1??0，故存在x0??12,1?，使得h?x0??0，且k??12,x0?时h?k??0，k??x0,1?时h?k??0。所以当k??12,x0?时f??k??0，f?k?单调递增，k??x0,1?时

11?1?e???1，f?1???1，故f?k???1，f??k??0，f?k?单调递减。因f????28?2?当且仅当k?1时取等。而f?0???1，M??k?1?ek?k3。

5 / 5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/320o.html