09级《数学模型》复习提纲终极版

《数学模型》复习提纲

典型题型（仅作参考） 1．建立数学模型的基本步骤为：模型准备、 模型假设 、模型构成 、 模型求解 、 模型分析 、 模型检验 、模型应用等. P14

2．数学模型按照应用领域分类的数学模型名称有：人口模型、水资源模型、 交通模型 、环境模型 、 生态模型 等. P17 3．每对顶点之间都有一条边相连的 有向图 称为竞赛图．4个顶点的竞赛图共有 4 种形式．P271

4．求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法有： 幂法 、 和法 、 根法 ．P263

5．写出5个按照建模目的分类的数学模型名称． 描述模型，预报模型，优化模型，决策模型，控制模型

6有4支球队A、B、C、D进行单循环赛，比赛结果是这样的：A胜B和C，B胜C和D，C胜D，D胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次． 参见P270

?0110??0011??，它是双向连通的.； 这4支球队的竞赛图对应的邻接矩阵为 A???0001????1000?T(k)(k?1)?Ake,k?1,2,3,?,8.从而可得这4支球令e?(1,1,?,1)，分别计算s?As队A、B、C、D的名次为{A，B，D，C}．

7.基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电

影A、电影B、电影C这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图. 参见P250

8．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.

9．某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制和普通糕点的原料（面粉、糖、蛋）和利润如下表：

09 级本科《数学模型》复习提纲 - 1 -

品种 面粉（千克） 糖（千克） 蛋（千克） 利润（千元） 精制 0.1 0.2 0.3 0.3 普通 0.3 0.2 0.1 0.2 已知库存面粉、糖、蛋分别为15千克、12千克和15千克.假设生产的糕点可以全部卖掉，试决定生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的利润最大.

10．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品

的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和2xk?1?g(yk).试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.

11．设某渔场鱼量x(t)(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：

dx(t)x?rx(1?) dtN其中r为固有增长率,N`为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h.

（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;

（2）．试确定捕捞强度Em,使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm,并求此时渔场鱼量水平x0.

12.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：

*?(t)?rxlnxN x其中r和N的意义与Logistic模型相同.

设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，又单位捕捞量为h?Ex.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0*.

典型题型部分解答（仅作参考）

8.雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其

中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.

解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为

0-1-30-2-1-1-1-2-2-2-1-1

[v]=LMT，[?]=LMT，[?]=MLT（LTL）L=MLLTT=LMT，[?]=LM0T0 ，

0-2

[g]=LMT

其中L，M，T是基本量纲. 量纲矩阵为

09 级本科《数学模型》复习提纲 - 2 -

?1?0A=????1(v)1?3?100101?(L)10??(M) ?1?2??(T)(?)(?)(?)(g)齐次线性方程组Ay=0 即

?y1?y2?3y3?y4?y5?0?y3?y4?0 ???y1?y4?2y5?0? 的基本解为

11?y?(1,?,0,0,?)?122

?31?y2?(0,?,?1,1,?)22?得到两个相互独立的无量纲量

??1?v??1/2g?1/2 ??3/2?1?1/2??g??2???13/21/2?1?1即 v??g?1,??g???2. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1??(?2)

?g1/2??1) , 其中?是未定函数.

9．某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制和普通糕点的原料（面粉、糖、蛋）和利润如下表： 品种 面粉（千克） 糖（千克） 蛋（千克） 利润（千元） 精制 0.1 0.2 0.3 0.3 普通 0.3 0.2 0.1 0.2 已知库存面粉、糖、蛋分别为15千克、12千克和15千克.假设生产的糕点可以全部卖掉，试决定生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的利润最大.

解：为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为10x千克和10y千克，糕点的利润为Z（千元），由题意得此问题的数学模型为： maxZ?3x?2y

?x?3y?15 ?2x?2y?12? s.t. ? y 3x?y?15? 6 ??x?0,y?0 5 ? ???g?(?这是一个线性规划问题.

(3/2,9/2) 4 - 3 - 09 级本科《数学模型》复习提纲 3 2 (9/2,3/2) L1 1 3/2模型的求解：

用图解法.可行域为：由直线

l1:x?3y?15l2::2x?2y?12l3:3x?y?15及x?0,y?0组成的凸五边形区域.

直线l:3x?2y?C在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l过l2与l3的交点时，

?2x?2y?12 Z取最大值. 由?3x?y?15?9393 解得：x?,y?，Zmax?3??2??16.5（千元）.

2222故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克，糕点的利润为16.5（千

元）.

某工厂生产甲、乙两种化工产品,生产每吨产品需要电消耗、煤消耗、 劳动力（以一个工作日计算）及产值如下表所示：

已知每天电消耗不超过200 千瓦；煤消耗不超过360 吨；全厂劳动力 满员为300 人.试安排每天的生产任务,使产值最大,并求出最大产值.

解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨．获得利润z万元 ?（1分） 依题意可得约束条件： 9x+4y≤360 4x+5y≤200 3x+10y≤300 x≥0 y≥0 ?（4分）

利润目标函数z=6x+12y ?（8分）

如图，作出可行域，作直线l：z=6x+12y，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=6x+12y取最大值． 解方程组 3x+10y=300 4x+5y=200 ，得M（20，24）?（11分）

所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润 ?（12分）

09 级本科《数学模型》复习提纲 - 4 -

10．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和yk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和2xk?1?g(yk).试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.

解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk?1?f(xk?1?xk)和xk?1?g(yk). 2设曲线f和g相交于点P0(x0,y0)，在点P0附近可以用直线来近似表示曲线f和

g：

xk?1?xk?x0),??0 --------------------（1） 2??0 --- ----------------（2） xk?1?x0??(yk?y0),yk?1?y0???(由（2）得 xk?2?x0??(yk?1?y0) --------------------（3） （1）代入（3），可得xk?2?x0????( ? 2xk?2xk?1?xk?x0) 2???xk?1???xk?2x0?2??x0,k?1,2,?， --------------（4）

上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.

为了寻求P0点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：

2?????????0

容易算出其特征根为

2?1,2????(??)2?8??? ---------------（5）

4当???8时，显然有

09 级本科《数学模型》复习提纲 - 5 -

????(??)2?8?????2??? -----------（6）

44从而?2 ?2，?2在单位圆外．下面设???8，由(5)式可以算出 ?1,2?要使特征根均在单位圆内，即 ?1,2?1，必须 ???2． 故P0点稳定平衡条件为 ???2．

11．设某渔场鱼量x(t)(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：

??2

dx(t)x?rx(1?) dtN其中r为固有增长率,N`为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h.

（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;

（2）．试确定捕捞强度Em,使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm,并求此时渔场鱼量水平x0.

解：（1）.x(t)变化规律的数学模型为

*dx(t)x?rx(1?)?h dtNxxr2记f(x)?rx(1?)?h,令 rx(1?)?h?0 ，即 （1）x?rx?h?0----NNN4hN?1?N4rh4hrN ??r2??r(r?) ， （1）的解为：x1,2?2NN① 当??0时，（1）无实根，此时无平衡点；

N②当??0时，（1）有两个相等的实根，平衡点为x0?.

2xrx2rx' ，f(x0)?0 不能断定其稳定性. f'(x)?r(1?)??r?NNNxrNdx但?x?x0 及x?x0 均有f(x)?rx(1?)?即 ?0?x0不稳定；?0 ，

dtN4③ 当??0时，得到两个平衡点：

N?N1?x1?4hrNN?N1? ， x2?4hrN22NN易知 x1? ， x2? ?f'(x1)?0， f'(x2)?0

22?平衡点x1不稳定 ，平衡点x2稳定.

09 级本科《数学模型》复习提纲 - 6 -

（2）．最大持续产量的数学模型为： ??maxh?s.t.f(x)?0xNrNN**即 maxh?rx(1?)， 易得 x0? 此时 h?，但x0?这个平衡

242N

点不稳定.

要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x?NNN,且尽量接近,但不能等于. 222

10．某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：

品种 甲 乙 原材料 2 能源消耗(百元) 1 劳动力(人) 4 利润(千元) 4 3 6 2 5 现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润.

解：设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为

maxS?4x?5ys.t.2x?3y?1400 x?6y?2400

4x?2y?2000x?0,y?0,x,y?Z模型的求解：

用图解法.可行域为：由直线

l1:2x?3y?1400l2::x?6y?2400l3:4x?2y?2000及x?0,y?0组成的凸五边形区域.

直线l:4x?5y?C在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l过l1与l3的交点时，S取最大值. 由?

?2x?3y?1400 解得：x?400,y?200

4x?2y?2000?Smax?4?400?5?200?2600（千元）.

09 级本科《数学模型》复习提纲 - 7 -

故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元.

1.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？

答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.

2.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.

解：目标层 越海方案的最优经济效益

准则层

省

时

方案层

收入 岸间商 业 当地商业 建筑就 业 建桥梁 修隧道 设渡轮

基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电影A、电影B、电影C这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图.

答： 目标层 评选影片

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准则层

方案层

思想性 艺术性 娱乐性 票房 A B C

写出数学建模过程的流程图.

实际 问题 抽象、简化、假设、确定变量、参数 归结 数学模型 数学地、数值地求解模型 估计参数 评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益 符合否 检验模型 (用实例或有关知识) 分别采用三种方法，用一句话和一个公式描述录像带计数器读数与经过的时间之间的关系模型。

答：（1）当右轮盘转到第i圈时其半径为r?wi，周长为2?(r?wi)，m圈的总长度恰等于录像带转过的长度，即：

?2?(r?wi)?vt；

i?1m （2）考虑录像带转过的长度与厚度的乘积，等于右轮盘面积的增加，即：

?[(r?wkn)2?r2]?wvt；

（3）考虑用微积分的理论，有某小时间段dt内录像带转过的长度为速度v乘以

dt，它等于右轮盘绕上的录像带长度（由于m?kn），即：

vdt?2?(r?knw)kdn；

09 级本科《数学模型》复习提纲 - 9 -

以上三种方法都可得到：

t??wk2vn2?

2?rkn。 v写出数学建模过程的流程图.

实际 问题 抽象、简化、假设、确定变量、参数 归结 数学模型 数学地、数值地求解模型 估计参数 评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益 符合否 检验模型 (用实例或有关知识) 分别采用三种方法，用一句话和一个公式描述录像带计数器读数与经过的时间之间的关系模型。

答：（1）当右轮盘转到第i圈时其半径为r?wi，周长为2?(r?wi)，m圈的总长度恰等于录像带转过的长度，即：

?2?(r?wi)?vt；

i?1m （2）考虑录像带转过的长度与厚度的乘积，等于右轮盘面积的增加，即：

?[(r?wkn)2?r2]?wvt；

（3）考虑用微积分的理论，有某小时间段dt内录像带转过的长度为速度v乘以

dt，它等于右轮盘绕上的录像带长度（由于m?kn），即：

vdt?2?(r?knw)kdn；

以上三种方法都可得到：

t??wk2vn2?2?rkn。 v 09 级本科《数学模型》复习提纲 - 10 -

简述差分方程平衡点的稳定性定义、三阶线性常系数差分方程平稳点稳定性的判别条件和非线性差分方程平稳点的稳定性判别条件。

答：（1）差分方程的平衡点x*若满足：当k??时，xk?x*，则称平衡点x*是稳定的。

（2）若三阶线性常系数差分方程xk?2?a1xk?1?a2xk?b的特征方程

?2?a1??a2?b的根?i(i?1,2,3)均有?i?1，则该差分方程的平衡点x*是稳定的，否则是不稳定的。

（3）非线性差分方程xk?1?f(xk)的平衡点x*若满足f'(x*)?1，则平衡点x*是稳定的；否则若f'(x*)?1，则平衡点x*是不稳定的。

某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：

货物 甲 乙 体积 （立方米/箱） 5 4 重量 （百斤/箱） 2 5 利润 （百元/箱） 20 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.

解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1,x2,所获利润为z.则问题的数学模型可

表示为

max z?20x1?10x2

?5x1?4x2?24? st?2x1?5x2?13

?x,x?0,x,y?Z?12这是一个整线性规划问题. 用图解法求解.

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可行域为：由直线 l1:5x1?4x2?24

l2:2x1?5x2?13 及x1?0,x2?0组成直线 l:20x1?10x2?c在此凸四边形

区域内平行移动. x2

l1

l2

x1

l

易知：当l过l1与l2的交点时，z取最大值 由?

?5x1?2x1?4x2?24?5x2?13 解得 ??x1?x2?4?1

zmax?20?4?10?1?90.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/31xg.html