2007-2011年考研数学二真题

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2007-2011年考研数学（二)试题

2007年考试数学（二2008年考研数学（二2009年考研数学（二2010年考研数学（二2011年考研数学（二)试题 .................... 3)试题 .................. 11)试题 .................. 21)试题 .................. 31)试题 .................. 39

2007年考试数学（二)试题

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x

0 （A

）1 （B

）ln

（C

1 （D

）1 [ ]

(ex e)tanx

（2）函数f(x) 在 , 上的第一类间断点是x （ ） 1

x ex e

（A）0 （B）1 （C） （D）

22

（3）如图，连续函数y f(x)在区间 3, 2 , 2,3 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间 2,0 , 0,2 的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x) 则下列结论正确的是：

x

f(t)dt，

（A）F(3)

35

F( 2) (B) F(3) F(2) 4435

（C）F(3) F(2) （D）F(3) F( 2) [ ]

44

（4）设函数f(x)在x 0处连续，下列命题错误的是：

f(x)f(x) f( x)

存在，则f(0) 0 （B）若lim存在，则f(0) 0 .

x 0x 0xx

f(x)f(x) f( x)

（B）若lim存在，则f (0) 0 （D）若lim存在，则f (0) 0.

x 0x 0xx

（A）若lim

[ ]

（5）曲线y

1

ln 1 ex 的渐近线的条数为 x

（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）设函数f(x)在(0, )上具有二阶导数，且f (x) 0，令un f(n)，则下列结论正确的是：

(A) 若u1 u2 ，则 un 必收敛. (B) 若u1 u2 ，则 un 必发散

(C) 若u1 u2 ，则 un 必收敛. (D) 若u1 u2 ，则 un 必发散. [ ] （7）二元函数f(x,y)在点 0,0 处可微的一个充要条件是

（A）

(x,ylim

) 0,0

f(x,y) f(0,0) 0.

（B）lim

f(x,0) f(0,0)x 0

x 0,且limf(0,y) f(0,0)

y 0y

0.

（C）

(x,ylim

)

0,0 0.

（D）lim fx (x,0) fx (0,0)

0,且lim 0 fy (0,y) fy (0,0)

0.

x 0

y （8）设函数f(x,y)连续，则二次积分

1

dx

f(x,y)dy等于

2

sinx

（A）

1

1

0dy

arcsiny

f(x,y)dx （B） 0dy

arcsiny

f(x,y)dx

（C）

1

arcsiny

)dx （D） 10

dy

f(x,y0

dy arcsiny

f(x,y)dx

2

2

（9）设向量组 1, 2, 3线性无关，则下列向量组线性相关的是

线性相关，则 (A) 1 2, 2 3, 3 1

(B) 1 2, 2 3, 3 1

(C)

1 2 2, 2 2 3, 3 2 1. (D)

1 2 2, 2 2 3, 3 2 1. 2 1 1 1（10）设矩阵A 12 1 ,B 00

010

1 12 000 ，则A与B

(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.

(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） lim

arctanx sinx

x 0x

3 __________. [ ]

[ ]

x cost cos2t

（12）曲线 上对应于t 的点处的法线斜率为_________.

4 y 1 sint

（13）设函数y

1

，则y(n)(0) ________. 2x 3

（14） 二阶常系数非齐次微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y ________. （15） 设f(u,v)是二元可微函数，z f

yx z z

, ，则x y __________.

x y xy

0

0

（16）设矩阵A

0 0

10000100

0 0 3

，则A的秩为. 1 0

三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)

f(x)xcost sint 1

f(t)dt tdt，设f(x)是区间 0, 上单调、可导的函数，且满足 00sint cost4

其中f

1

是f的反函数，求f(x).

（18）（本题满分11分） 设D

是位于曲线y

x

2a

(a 1,0 x )下方、x轴上方的无界区域.

（Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)； （Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.

2

（19）（本题满分10分）求微分方程y (x y ) y 满足初始条件y(1) y (1) 1的特解

（20）（本题满分11分）已知函数f(u)具有二阶导数，且f (0) 1，函数y y(x)由方

程y xe

y 1

dz

1所确定，设z f lny sinx ，求

dx

d2zx 0,

dx2

x 0

.

（21） (本题满分11分)

设函数f(x),g(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，

f(a) g(a),f(b) g(b)，证明：存在 (a,b)，使得f ( ) g ( ).

（22） (本题满分11分)

x2,|x| |y| 1

设二元函数f(x,y) ，计算二重积分 f(x,y)d ，1 |x| |y| 2D其中D

x,y |x| |y| 2 .

（23） (本题满分11分)

x1 x2 x3 0

设线性方程组 x1 2x2 ax3 0与方程x1 2x2 x3 a 1有公共解，求a的值及

2

x1 4x2 ax3 0

所有公共解.

2008年考研数学（二)试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设f(x) x2(x 1)(x 2)，求f (x)的零点个数（ ）

A 0

B 1 C 2

D 3

（2）曲线方程为y f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分

A 曲边梯形ABCD面积.

a

xf'(x)dx（ ）

B 梯形ABCD面积.

C 曲边三角形ACD面积. D 三角形ACD面积.

（3）在下列微分方程中，以y C1ex C2cos2x C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为

通解的是（ ）

A y y 4y 4y 0.

B y y 4y 4y 0. D y y 4y 4y 0.

C y y 4y 4y 0.

（4）判断函数f(x)

lnx

sinx(x 0)间断点的情况( ) x 1

A 有1个可去间断点，1个跳跃间断点 B 有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 C 有两个无穷间断点 D 有两个跳跃间断点

（5）设函数f(x)在( , )内单调有界， xn 为数列，下列命题正确的是（ ）

A 若 xn 收敛，则 f(xn) 收敛. B 若 xn 单调，则 f(xn) 收敛.

C 若 f(xn) 收敛，则 xn 收敛.

D 若 f(xn) 单调，则 xn 收敛.

22222

（6）设f连续，x y 1，x y u，u 1，则F u,v

D

fu2 v2，

则

F

（ ） u

A vf u2

B vf u

D

C uf u2

v

v

f u u

（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A3 0，则（ ）

A E A不可逆，E A不可逆.

B E A不可逆，E A可逆. D E A可逆，E A不可逆.

C E A可逆，E A可逆.

12

（8）设A ，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ）

21

A

21

.

1 2

B

2 1

.

12

21 C .

12

1 2

D .

21

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）f(x)连续，lim

x 0

1 cos(sinx)(e 1)f(x)

x2

1，则f(0)

（10）曲线sin xy ln y x x在点 0,1 处的切线方程为 . （11）求函数f(x) (x 5)x的拐点______________. （12）已知z

2

3

z y

，则 _______. x x(1,2)

x

y

（13）矩阵A的特征值是 ,2,3，其中 未知，且2A=-48，则 =_______.

（14）设A为2阶矩阵，a1,a2为线性无关的2维列向量，Aa1 0,Aa2 2a1 a2，则A的非零特征值为 .

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分10分）

求极限lim

sinx sin sinx sinx. x 0x4

(17)（本题满分10分） 求积分

1

20

(18)（本题满分10分）

求函数u x y z在在约束条件z x y和x y z 4下的最大和最小值.

2

2

2

2

2

(19)（本题满分10分）

曲线y f(x)满足f(0) 1对于任意的t曲线是严格递增，在x轴上t 0，该曲线与

直线x 0,x t(t 0)及y 0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，

其体积为V(t),侧面积为S(t).如果f(x)二阶可导,且

(20)（本题满分11分） 求二重积分

S(t)

2，求曲线y f(x). V(t)

max(xy,1)dxdy,其中D {(x,y)0 x 2,0 y 2}

D

（21）（本题满分11分） 证明(1)积分中值定理；

(2)已知 (x)在[1,3]上连续且可导， (2) (1), (2) 点 (1,3)，使得 ( ) 0.

（22）（本题满分11分）

(x)dx证明至少存在一

2

3

2a1 2 a2a ，现矩阵A满足方程AX B，其中X x, ,x T，设矩阵A 1n 1 2

a2a n nB 1,0, ,0 ，

（1）求证A n 1 a

n

T

（2）a为何值，方程组有唯一解，求x1 （3）a为何值，方程组有无穷多解，求通解

（23）（本题满分11分）

设A为3阶矩阵，a1,a2为A的分别属于特征值 1,1特征向量，向量a3满足Aa3 a2 a3，

证明（1）a1,a2,a3线性无关； （2）令P a1,a2,a3 ，求PAP

1

2009年考研数学（二)试题

一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

x x3

（1）函数f(x) 与g(x) x2ln(1 bx)是等价无穷小，则（）

sinnx

（A）1

（B）2

（C）3

（D）无穷多个

（2）当x 0时，f(x) x sinax与g(x) x2ln(1 bx)是等价无穷小，则（） （A）a 1,b

1 6

（B）a 1,b

111 （C）a 1,b （D）a 1,b 666

（3）设函数z f(x,y)的全微分为dz xdx ydy，则点（0，0）（） （A）不是f(x,y)的连续点 （C）是f(x,y)的极大值点 （4）设函数f(x,y)连续，则（A）（C）

（B）不是f(x,y)的极值点 （D）是f(x,y)的极小值点

2

1

dx f(x,y)dy dy

x

1

224 y

y

f(x,y)dx=（）

2

12

dx dx

4 y

14 y

f(x,y)dy f(x,y)dx

（B）（D）

2

12

dx

4 x

x2

f(x,y)dy

11

1

dx f(x,y)dx

y

（5）若f (x)不变号，且曲线y f(x)在点（1，1）的曲率圆为x y 2，则f(x)在区间（1，2）内（）

（A）有极值点，无零点 （C）有极值点，有零点

22

（B）无极值点，有零点 （D）无极值点，无零点

（6）设函数y f(x)在区间[-1,3]上的图形为

则函数F(x)

x

f(t)dt为（）

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