微积分期末复习题

掌握等价（高阶，低阶，同阶）无穷小的概念和判别

21. x?0时，与 sinx 等价的无穷小量是________。

12x3tanx A．ln(1?x) B. C.2(1?cosx) D.e?1 22. 若x?0时，2sinx?sin2xxk，则k?________。

A．1 B．2 C．3 D．4 3. 当x?0时，与x等价的无穷小量是________。 A．xsinx B.x2?sinx C.tan3x D.2x 4. 当x?0时，??x2?sin2x与??x的关系是________。

A. ?与?是同阶但不等价无穷小量 B．?与?是等价的无穷小量 C.?是比?较高阶的无穷小量 D．?是比?较低价的无穷小量 5. 当x?0时，2ln(1?x)x是x的________无穷小量。

求极限的一般方法：

(1) 利用极限的四则运算法则（注意前提条件）

(2) 利用无穷小的运算法则（无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小）；利用无穷小与无穷大的关系；

?1?sinxlim?1???elim?1x(3) 利用两个重要极限；x?0x,???x?

xx2?(4) 利用等价无穷小代换；（当x?0时，1?cosx:,?1?x??1:?x

2xsinxarcsinxtanx:arctanx:ln?1?x?:ex?1）

（注意什么时候能等价无穷小代换）

0?f? (5) 洛比达法则（,且lim广义存在）

0?g?0?求未定式,,0??,???的极限

0?

求幂指函数uv的极限的方法：（1）若为1?型，可利用第二个重要极限或者求（2）通用的方法：恒等变形uv?ev?lnu lim(u?1)v?a，则limuv?ea；

掌握limp(x)的计算（关键看分子分母的最高次幂和最高次幂前的系数）

x??q(x)??x?3, x?36. 设函数f(x)??，已知limf(x)存在，则a?________。

x?3??a?x, x?3xx?x27. 设函数f(x)?，则limf(x)_______。（若改f(x)?呢）

x?0xxA．?1 B.0 C.1 D.不存在

x2?2x?a?2，则a?________。 8. 若lim2x?1x?1 A．等于2 B．等于3 C．可取任意整数 D．不能判断

1111????9.求极限 lim?x?sin??sinx?和lim?x?sin??sinx?

x??xxxx??x?0??10. 求极限limxx?111?x（或形式为lim1?xx）

x?111. 求极限limsin3x?5x

x?0ln(1?5x）1??112. 求极限lim??? x?1x?1lnx??13. 求极限求极限limx?0x?sinx 2xx(e?1)14. 求极限limx?132x?1（方法：根式有理化，变量替换，罗比达法则） x?1xlim15．x??x2?2x

1设时，无穷小量x??16．ax3?x2?x?b

1,求a,b,c,d 2cx?dx?1函数的连续：若limf?x??f?x0?，则称函数f(x)在点x0处连续．

x?x0掌握函数的间断点的找法，并把间断点进行其分类（补充函数在可去间断点的定义使之连续）

（找法：无定义的点，极限不存在的点，极限值与函数值不等的点）

（分类：左右极限都存在的为第一类----可去间断点，跳跃间断点，否则为第二类---无穷间断点，震荡间断点）

（可去间断点可修改或补充函数在间断点x0的函数值为f(x0)?limf(x)使之连

x?x0续）

?k x?017. 函数f(x)?? ，若在x?0处连续，常数k=________。 ?ln(1?x) x?0??sinx?arctan1x18. 设f?x????A?x12?19．设f(x)??e??0?x12?讨论函数f(x)??e??0x?0x?0，在x?0处连续，则A?________.

当x?0时，则____为f(x)的____间断点。

当x?0时当x>0时在此点的左右连续性。 当x?0时x2?x20．函数f(x)?，点x??1是f(x)的____间断点；点x?0是f(x)_____

x(x2?1)间断点，点x?1是f(x)的____间断点。

x2?x21. 函数f(x)?2的可去间断点为____，要使函数在此点连续，则需补充定

x?1义f(1)?_____。

初等函数在定义区间上都是连续的

闭区间上连续函数的性质：函数f?x?在闭区间[a,b]上连续，则：(1) f?x?在

[a,b]上有界；(2) f?x?在[a,b]上取到最大值和最小值（最值定理）；(3) 若f(a)?f(b)?0，则存在??(a,b)，使得f(?)?0（零点定理）。（可证明方程有根）

第二三章 导数及其应用（也包含简单的抽象函数的导数计算）

导数的四则运算

复合函数的导数（由外到内，逐层求导）

隐函数的导数（方程两边分别对变量x求导，整理得y?，注意碰到y的时候把y看作x的函数）（注意：y?中可能含有y，若求y?x?x0怎么代值）

对数求导法（针对于幂指函数的导数和多个因式连乘，除，开方这样的函数的导数）（做法：先取对数，再按照隐函数的导数做）

dydydt参数方程决定的函数的导数 ?dxdxdt会求函数的2阶导数

可微的充要条件和微分的求法dy?y?dx 特殊函数的高阶导数 第二章

11. 求y?arctan的导数与微分。

x2. 求由方程ex?xy?e?0所确定的隐函数y?f(x)的导数和微分及

dy，

dxx?1dyx?1。

dy。 dx3. 求由方程exy?x?y?e?2所确定的隐函数y?f(x)的导数

4. 求函数y?(2x?1)法相同）

3(x?1)2(x?2)的导数。（幂指函数的导数求法与此题的方

(x?3)(x?4)?x?acostdydy5. 已知?，求和。

?dxdxt??y?bsint2d2y6. 设y?sinx，求2。

dx37. 设y?e3f(x)，求y???________。

8. 设f可微，求函数y?f(ex)的微分。若改y?f(sinx)ef(x)呢

三个中值定理的条件，结论及其应用，?的求法（罗尔定理可证明方程有根，注意与零点定理的区别）

（三个中值定理都可以证明中值问题，从结果逆推，把含?所有项都挪到等号的

左边，再观察）

会求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点 会求函数的渐近线（特别是分式函数的） 第三章

1. 设y?x2?2x?3在区间[?1,3]上满足罗尔中值定理，则满足定理条件的

??______。（类似可把题目换为满足拉格朗日定理）

2. p63 T5（类似可把题目换为满足拉格朗日定理的是，不满足罗尔定理的是） 3. 求函数y?2x3?3x2的单调区间，凹凸区间，拐点，极值点，极值。

ex4. 函数y?的垂直渐近线为________，共有___条渐近线。

1?xx35. 曲线y?2的斜渐近线为________，共有___条渐近线。

x?2x?3

第四章 不定积分

原函数和不定积分的概念

函数先积分后求导（微分）和先求导（微分）后积分（关键是知道原函数与不定积分的概念）

不定积分的性质：加法和数乘

换元积分法（第一换元法：被积函数为f(?(x))???(x)，第二换元法：被积函数带根号，或是分母次数高于分子次数的有理函数）

分部积分法（反对幂指三，前面的为u，后面的是v?，公式?udv?uv??vdu） 1. P92 T4 2.

??df(x)???

???f(x)dx??

?f?(x)dx? d??x2f?(x)dx?

f(x)xdx?xe?C呢 21?x?3. 若?f(x)dx?xex?C，则f(x)?________。若改为?4. 若函数sin2x?f(x)的导函数是F(x)，则?F(x)dx?________。 5. 已知f(x)?sin2x，则?f?(x)dx?________。 6. 求积分?xexdx和?xexdx

27.求积分?sin3xcosxdx 和 ?cos2xdx 8. 求积分?lnxdx

第五章 微分方程初步

解，通解和特解的概念 一阶线性微分方程的求解（可变量分离的---分离变量再积分，齐次微分方程---换元变为可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解公

?P(x)dx??P(x)dxdx?C?）Q(x)e式为y?e????（通解和特解）

??1. 下列哪个是方程y??2x的通解

A．y?2x?c B. y?x2?2 C. y?x2?c D. y?x2?1 2. 求微分方程y??3. 求微分方程y??xy?y的特解，满足y(1)?1。 x?xy2sinxy?2的通解。 xx4. 求微分方程xy??y(1?lny?lnx)的通解。 5. 求微分方程xy??5y?x4的通解。

证明题

?1. 证明方程cosx?xsinx?0在(0, )内必有实根。

22. 证明：方程x3?3x2?6x?1?0在区间(0,1)内有唯一的实根。

3. 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?f(1)?0，证明：至少存在一点??(0,1)，使得f?(?)??4. 证明：arcsinx?arccosx?f(?)??2

，x?(?1,1)

5. 证明：当x?0时，x?ln(1?x)。

7.求积分?sin3xcosxdx 和 ?cos2xdx 8. 求积分?lnxdx

第五章 微分方程初步

解，通解和特解的概念 一阶线性微分方程的求解（可变量分离的---分离变量再积分，齐次微分方程---换元变为可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解公

?P(x)dx??P(x)dxdx?C?）Q(x)e式为y?e????（通解和特解）

??1. 下列哪个是方程y??2x的通解

A．y?2x?c B. y?x2?2 C. y?x2?c D. y?x2?1 2. 求微分方程y??3. 求微分方程y??xy?y的特解，满足y(1)?1。 x?xy2sinxy?2的通解。 xx4. 求微分方程xy??y(1?lny?lnx)的通解。 5. 求微分方程xy??5y?x4的通解。

证明题

?1. 证明方程cosx?xsinx?0在(0, )内必有实根。

22. 证明：方程x3?3x2?6x?1?0在区间(0,1)内有唯一的实根。

3. 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?f(1)?0，证明：至少存在一点??(0,1)，使得f?(?)??4. 证明：arcsinx?arccosx?f(?)??2

，x?(?1,1)

5. 证明：当x?0时，x?ln(1?x)。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/31s.html