2009年江苏省普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ试题

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 参考公式： 1n1n2样本数据x1,x2,?,xn的方差s??(xi?x),其中x??xi ni?1ni?1 2一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位 ．．．．．．．置上. ．．

1. 若复数z1?4?29i,z2?6?9i,其中i是虚数单位，则复数(z1?z2)i的实部为 . ????????o2. 已知向量a和向量b的夹角为30，|a|?2,|b|?3，则向量a和向量b的数量积a?b= . 3. 函数f(x)?x?15x?33x?6的单调减区间为 .

w.w.w.k.s.5.u.o.m 324. 函数y?Asin(?x??)（A,?,?为常数，A?0,??0）在闭区间[??,0]上的图象如图所示，则?= . 5. 现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2. 7，2.8，2.9，若从中一次随机

抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 . 6. 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

- 1 -

学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7 23号 7 6 4号 8 7 5号 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为s= . 7. 右图是一个算法的流程图，最后输出的W? . 8. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9. 在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . 10. 已知a?35?1，函数f(x)?ax，若实数m、n满足f(m)?f(n)，则m、n的大小关2系为 . 11. 已知集合A?xlog2x?2,B?(??,a)，若A?B则实数a的取值范围是(c,??)，其

中c= .

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?? 12. 设?和?为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若?内的两条相交直线分别平行于?内的两条直线，则?平行于?； （2）若?外一条直线l与?内的一条直线平行，则l和?平行； （3）设?和?相交于直线l，若?内有一条直线垂直于l，则?和?垂直； （4）直线l与?垂直的充分必要条件是l与?内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的．．．序号 （写出所有真命题的序号）. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m - 2 -

x2y213．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆2?2?1(a?b?0)的四个顶

ab点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 . 14．设?an?是公比为q的等比数列，|q|?1，令bn?an?1(n?1,2,?)，若数列?bn?有连续

四项在集合??53,?23,19,37,82?中，则6q= . 二、解答题

???15．设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?) ???（1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值； ??（2）求|b?c|的最大值; ??（3）若tan?tan??16，求证：a∥b. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.o.m

EF分别是A1B、AC16．如图，在直三棱柱ABC?A点D在B1C1上，1B1C1中，、1的中点，

A1D?B1C. 求证：（1）EF∥平面ABC；

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?平面BB1C1C. （2）平面A1FD

- 3 -

17．设?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22?a32?a42?a52,S7?7. （1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）试求所有的正整数m，使得

amam?1为数列?an?中的项. am?2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x?3)2?(y?1)2?4和圆C2:(x?4)2?(y?5)2?4. （1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

- 4 -

19. 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为

m元，则他的满意度为

m；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为n.m?an?a如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙 (1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA(2)设mA3?mB时，求证：h甲=h乙； 53?mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大5的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲?h0和

h乙?h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

20．设a为实数，函数

(1)若(2)求

f(x)?2x2?(x?a)|x?a|. f(0)?1，求a的取值范围； f(x)的最小值； (不需给出演算步骤)不等式h(x)?1的 f(x),x?(a,??)，直接写出．．．．

(3)设函数h(x)?解集.

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数学Ⅱ（附加题）

参考公式：1?2?3???n?2222n(n?1)(2n?1).

621. [选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题. ．．．．．．． A.选修4 - 1：几何证明选讲

如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.

?32?B. 选修4 - 2：矩阵与变换，求矩阵A???的逆矩阵.

21??

C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程

1?x?t???t已知曲线C的参数方程为?,（t为参数，t?0）.求曲线C的普通方程.

?y?3(t?1)?t?

D. 选修4 - 5：不等式选讲

设a≥b＞0，求证：3a?2b≥3ab?2ab.

- 6 -

3322

22. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x

轴上（如图）.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

（3）设过点M(m,0)(m?0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式.

23. 对于正整数n≥2，用Tn表示关于x的一元二次方程x?2ax?b?0有实数根的有序数组

2(a,b)的组数，其中a,b??1,2；对于随机选取的?,n,（a和b可以相等）?2x?2ax?b?0有，记P为关于的一元二次方程a,b??1,2,?,n?（a和b可以相等）xn实数根的概率。 （1）求Tn2和Pn2；

（2）求证：对任意正整数n≥2，有Pn?1?

1. n - 7 -

2009年江苏卷数学答案

一、填空题 1. -20 2. 3 3.

(?1,11) 4. 3 5. 0.2 6. 0.4 7. 22 8. 1：8 .w.w w.w.w9.（-2，15） 10. m

．

16.

17．（1）设公差为d，则a2因为d解得a12

222，由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)，?a5?a4?a3?0，所以a4?a3?0，即2a1?5d?0，又由S7?7得7a1?7?6d?7，2??5，d?2，

amam?1(2m?7)(2m?5)a2m?3(2) （方法一）m?2=，

设2m?3?t，则

8amam?1(t?4)(t?2)?t??6，所以t为8的约数. =

ttam?2 - 8 -

（方法二）因为

amam?1(am?2?4)(am?2?2)8为数列?an?中的项， ??am?2?6?am?2am?2am?2故

8 am+2为整数，又由（1）知：am?2为奇数，所以am?2?2m?3??1,即m?1,2

经检验，符合题意的正整数只有m?2.

18．(1)设直线l的方程为y?k(x?4)，即kx?y?4k?0，

由垂径定理，得：圆心C1到直线l的距离d?42?(结合点到直线距离公式，得232)?1， 2|?3k?1?4k|k?12?1,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

化简，得24k?7k?0,k?0,or,k??求直线l的方程为y?0或y??27. 247(x?4)，即y?0或7x?24y?28?0 24(2) 设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为

1y?n?k(x?m),y?n??(x?m)，

k即kx?y?n?km?0,?11x?y?n?m?0 kk因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等. 由垂径定理，得圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 41|??5?n?m|k故有：|?3k?1?n?km|?k，

21k?1?1k2化简，得(2?m?n)k?m?n?3,或(m?n?8)k?m?n?5.

?2?m?n?0?m-n+8=0关于k的方程有无穷多解，有?,或?m?n?3?0??m+n-5=0

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w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解之，得点P坐标为(?3,13)或(5,?1).

222219.(1)

3当mA?mB时，h甲?5mBmB2??

，3m?5(m?20)(m?5)BBmB?12B53mB5h乙?3mBmBmB25??， 3m?20(m?5)(m?20)BBmB?3B5h甲=h乙.

（2）当mA3?mB时， 5mB211h甲=??,

20511(mB?20)(mB?5)(1?)(1?)100()2?25?1mBmBmBmB由mB?[5,20]得111?[,]， mB205故当

11?，即mB?20,mA?12时， mB2010. 5甲乙两人同时取到最大的综合满意度为（3）（方法一）由（2）知：h0=由h甲=10， 5mAmB10mA?12mB?55得??， ??h0?mAmB2mA?12mB?55令

1535?x,?y,则x、y?[,1]，即(1?4x)(1?y)?。

42mAmB510得(1?x)(1?4y)?

251452同理，由h乙?h0?1?x、1+y?[,2], 另一方面，x、y?[,1]1?4x、1+4y?[2,5],55(1?4x)(1?y)?,(1?x)(1?4y)?,

22 - 10 -

当且仅当x?y?31，即mA=mB时，取等号。

54所以不能取到适当的mA、mB的值，使得h甲?h0和h乙?h0同时成立， 但mA=

3m时，等号可同时成立。 5B20．（1）若f(0)?1，则?a|a|?1???a?0?a?122?a??1.

2?f(a),a?0?2a,a?0?? ??a??2a2f(),a?0?,a?0??3?3（2）当x?a时，f(x)?3x?2ax?a,f(x)min2 当x?a时，f(x)?x2?2ax?a2,f(x)min2?f(?a),a?0???2a,a?0????2

?2a,a?0?f(a),a?0? 综上f(x)min??2a2,a?0? ??2a2,a?0??322（3）x?(a,??)时，h(x)?1得3x?2ax?a?1?0，

??4a2?12(a2?1)?12?8a2

当a??66时，??0,x?(a,??)； 或a?22?a?3?2a2a?3?2a266(x?)(x?)?0 当?时，△>0，得：??a??3322??x?a讨论得：当a?(26,)时，解集为(a,??); 22a?3?2a2a?3?2a262当a?(?,?)时，解集为(a,]?[,??);

223322a?3?2a2,]时，解集为[当a?[?,??). 223

（附加题）

参考公式：1?2?3???n?2222n(n?1)(2n?1).

621. A. 证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠

CDB.再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA.因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD.

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?xy??32??xy??10?B. 解：设矩阵A的逆矩阵为??,则?21??zw???01?,

zw?????????3x?2z3y?2w??10??3x?2z?1,?3y?2w?0,即????01?,故?2x?z?0,?2y?w?1,

2x?z2y?w??????解得x??1,z?2,y?2,w??3， 从而A的逆矩阵为A?1??2??12?. ??2?3?2C.解：因为x?t??2,所以x?2?t??故曲线C的普通方程为：3x2?y?6?0.

1t1ty, 3D. 证明：3a?2b?(3ab?2ab)?3a(a?b)?2b(b?a)?(3a?2b)(a?b). 因为a≥b＞0，所以a?b≥0，3a?2b＞0，从而(3a2?2b2)(a?b)≥0， 即3a?2b≥3ab?2ab. 22.

33222233222222

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23.

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