第六章_傅立叶展开

傅立叶展开

第六章

傅立叶展开

我们已经熟悉函数的幂级数展开，这种级数的每一 项都是幂的函数，即，采用了一系列幂函数作为展 开的基本函数族。幂级数没有周期性，所以周期函 数展开为幂级数以后，周期性就很难体现出来，因 此，在着重研究函数周期性的时候，需要采用其他 函数作为基本函数。

11

傅立叶展开

§6.1 以2l为周期的函数的傅立叶展开若f (x+2l)=f (x),x (- , ),则f (x)是以l为周期的周期函数。k k cos x, sin x, k 1,2,... 的周期均为2l. 例如三角函数： l l k k k cos l x 2l cos l x 2k cos l x , sin k x 2l sin k x 2k sin k x , l l l

我们自然联想到周期为2l的函数可以展开为cos k k x, sin x, k 1,2,... 的线性迭加. l l22

傅立叶展开

2 k 1,cos x,cos x, cos x, ,sin x,sin x, sin x, l l l l l l

基本函数系(基本函数族): 2 k 构成周期函数的基本函数系。

k k f x a0 ak cos x bk sin x l l k 1

展开的任务在于求系数a0、ak、bk. 正交性：n l n 1 cos xdx sin x 0, n 0 l l n l ll l

n l 1 sin l xdx 0l

奇函数对称区 间积分为零33

傅立叶展开

l

l

l

12 dx 2l ,

n 0

m n m n m n 1 l l cos l x cos l xdx 2 l cos l x cos l x dx

m n m n 1 l l sin x sin x 0 2 m n l l m n l m n l m n 奇函数对称区 cos x sin xdx 0 l l 间积分为零 ll

n 1 l 2n cos xdx x cos x dx l l l 2 l l 2

1 l 2n x 2n sin l x l 2 l

l

m n 44

傅立叶展开

m n l sin l x sin l xdx m n m n 1 l cos x cos x dx 0, l 2 l l l

( m n)

n 1 l 2n l sin l xdx 2 l 1 cos l x dx l , l 2

m n

正交性：基本函数系中任意两个不同的基本函数之积在周 期范围内积分为零，相同的基本函数之积在周期范围内积 分(模方)不为零。完备性：基本函数系中不能多一些不必要的函数，也不能 少一些必要的函数。55

傅立叶展开

k k x bk sin x 周期函数展开式： f x a0 ak cos l l k 1

两边同时乘以1,再积分：

l l

l k k f x dx a0 1 dx ak cos 1 dx bk sin 1 dx l l l l l k 1 k 1 l l

根据三角函数的正交性：

l l

f x dx a0 2l

1 l ao f x dx 2l l

1 l 或 ao l f d 2l

n 展开式两边同时乘以 cos x ,再积分： l l l n n f x cos xdx a0 cos xdx l l l l l k n k n ak cos cos xdx bk sin cos xdx l l l l l l k 1 k 1 l

66

傅立叶展开

根据正交性，等号右边第一、三项积分为零，第二项只有 k=n时，积分不为零. 1 l n l n a f x cos xdx l

f x cos

1 l k ak f cos d , 写成： l l l 1 l k bk f sin d , 同理: l l l

l

xdx an l

n

l

l

l

k 1,2,3,... k 1,2,3,...

若f (x)是周期为2l的周期函数，且满足狄氏条件(后面叙 述),则可以展成傅立叶级数：k k f x a0 ak cos x bk sin x l l k 1 1 l k ak l f cos l d l k

1 l k bk f sin d l l l

2 k 其中 1

k =0 k 0 77

傅立叶展开

【讨论】① 若f (x)为奇函数，显然a0=0,ak=0,则：k f x bk sin xdx , l k 1

2 l k bk f sin d 0 l l

② 若f (x)为偶函数，显然bk=0,则：k 2 f x a0 ak cos xdx , ak l l k k 1

l

0

f cos

k d l

狄里赫利条件：若周期函数，a、在每个周期中连续，或只 有有限个第一类间断点；b、在每个周期中只有有限个极值 (包括极大和极小),则傅立叶级数收敛。

f x 级数之和 f x 0 f x 0 2

连续点 在间断点.88

傅立叶展开

例1、半波整流电路输出电压的傅立叶展开. u t 在 [ , ] 这个周期上， uo [ ,0] 0 u t 2 o u sin t [0, ] - - o 【解 】 T 2 k 1

t2 3

l

u t a0 ak cos k t bk sin k t

1 ao 2

0

u0 1 u 0 u0 sin tdt cos t 0 2

99

傅立叶展开

ak

1

uo 2

0

uo sin t cos k tdt

0

sin 1 k t sin 1 k t dt

k 1

uo 2

cos 1 k t cos 1 k t 1 k 0 1 k

1 k 2

uo

0 1 k 1 2u o 1 k 2

k=奇

k=偶 10 10

傅立叶展开

a1 bk

1

1

0

uo sin t cos tdt 0, uo sin t sin k tdt

k

1

0

uo 2 k 1

0

cos 1 k t cos 1 k t dt

uo sin 1 k t sin 1 k t 0 2 1 k 1 k 0

b1

1

0

uo uo sin tdt 22

11 11

傅立叶展开

uo 2uo u t sin t 2

uo

1 1 4k 2 cos 2k t k 1

uo 2uo 2uo 2uo sin t cos 2 t cos 4 t cos 6 t . 2 3 15 35 【讨论 】 1 uo 常数项 ：直流成份，为次级电压峰值的 0.32;

uo

uo u sin t : 基波，圆频率为 ,振幅为 o ; 2 2 2uo 2uo 0.21uo ; cos 2 t : 二次谐波，振幅为 3 3 2uo 2uo cos 4 t : 四次谐波，振幅为 0.04uo ; 15 15

12 12

傅立叶展开

2uo 2uo cos 6 t : 六次谐波，振幅为 0.02uo . 35 35 振 幅

uo0.5uo0.32uo 0.21uo 0.04uo

频率

o

2 3 4 5 6

半波整流后除了直流成份外仍然有交流成份，其中基波 成份还是比较大，越是高次的偶次谐波的振幅越小，在 实际应用中可略去不计。13 13

傅立叶展开

例2、全波整流电路输出电压的傅立叶展开。 在 , 这个周期上， uo sin t u t u sin t o , 0 0, - 2 u t

uo -

o

t2 3

【解一 】此波形实际上周期为 ,但我们可以把它周期 2 为 的偶函数.

u t a0 ak cos k tk 1

ao

0 2

2

uo sin t

2uo

14 14

傅立叶展开

ak

2

0

uo sin t cos k tdt

uo

0

sin 1 k t sin 1 k t dt

k 1

uo cos 1 k t cos 1 k t 1 k 1 k 0

1 k 2

2uo

0 1 k 1 4u o 1 k 2

k=奇

k=偶 15 15

傅立叶展开

a1

2

0

uo sin t cos tdt 0,4uo

k 1

1 u t 1 4k 2 cos 2k t k 1

2uo

4uo 4uo 4uo cos 2 t cos 4 t cos 6 t 3 15 35 【解二 】把u(t)看成周期为 l

2uo

的函数，则 : 2

u t a0 ak cos 2k tk 1

ao

0 2 2

1

uo sin t

2uo

16 16

傅立叶展开

ak

1

2 uo

0

uo sin t cos 2k tdt

0 2uo 4uo 1 u t 1 4k 2 cos 2k t k 1【讨论 】常数项

sin 1 2k

t sin 1 2k t dt 1 4k 2 4uo

2uo

: 直流成份，为次级电压峰值的

2

0.64;

4uo 4uo 0.42uo ; cos 2 t : 二次谐波，振幅为 3 3 4uo 4uo cos 4 t : 四次谐波，振幅为 0.08uo ; 15 15

17 17

傅立叶展开

4uo 4uo cos 6 t : 六次谐波，振幅为 0.04uo . 35 35 uo0.64uo

振 幅

0.42uo

0.08uo 0.04uo

频率

o

2 3 4 5 6

与半波整流比较：直流成份为半波整流的2倍；并且没有 基波成份；虽然二次谐波的幅度比半波整流大2倍，但是 总体整流的效果比半波好。18 18

傅立叶展开

例3、三角波的傅立叶展开。 x f x x [ T ,0] 2 T [0, ] 2

f x

x

2T

T

T 2

o

T 2

T

2T

【解 】f (x)为偶函数，周期为T,则 l=T/22k f x a0 ak cos x T k 1

ao

T 2 2

2

T 2 0

2 x xdx T 2

T 2 2

0

T 4

2 ak T 2

T 2 0

2k T k x cos xdx 2 2 1 T k 19 19

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/31oi.html