惠州市2012届高三第三次调研考试数学（文科）试题参考答案

惠州市2012届高三第三次调研考试

文科数学参考答案与评分标准

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 C 5 B 6 A 7 B 8 A 9 B 10 A 1．【解析】eUA?{2,4,5},eUB?{1,5}；故(痧A)?(UB)??5?,所以选D. U2．【解析】?1?i???2i.故选A

23．【解析】原不等式等价于，解得?4?x?2，故原不等式的解集为??4,2?.选A. 4．【解析】由直线垂直有斜率积为－1得a??2 选C

5.【解析】由下标和性质知3a2?9，∴a2?3,又a2??a2?d?.?a2?3d?，得d?2故选B

26．【解析】f(7)?f(3)?f(?1?4)??f(1)??3故选A 7．【解析】由线面垂直的定义得B正确

8．【解析】i是计数变量，共有10个数相加，故选A 9．【解析】f(x)?2sinx?2ca121cosx=2sinx.cosx?2?sin2x?2，而sin2??4?1，故选B

10．【解析】因为e?x1x2=

ca12?222，所以c?2a，由a?b?得c，

ba?232.x1?x2=?22ba??3，

?，点P(x1，x2)到原点（0，0）的距离为:d=x1?x2=(x1?x2)?2x1x2=2

2二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上） 11. 36； 12.9； 13. 11．【解析】

22120?100?4； 14.1； 15.3。

?(120?100?80?60)?36

12．【解析】做出可行域易得z?3x?y的最大值为9

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?????2???2??13．【解析】(a?b)?(a?3b)?a?2a?b?3b?36?722cos?a,b??216??108

?? ?cos?a,b??????? 又?a,b??[0,?] ??a,b??

42214．【解析】在相应直角坐标系中，p(0,?2)，直线l方程：3x?4y?3?0，所以p到l的

距离：d＝

|3×0－4×－2－3|

＝1.

32＋42

15.【解析】如右图，连接AB，

∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠C， 又∵∠APB＝∠CPA，∴△PAB∽△PCA，

PAPBPAPBPA·AB2×22－12

∴＝，即＝，∴R＝＝＝3. ACAB2RAB2PB2×1

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本题满分12分） 解：（1）cos2A22?cos2A?1212?12(1?cosA)?2cosA?1??12?45?4225212 …………3分

=2cosA?cosA?2?1625 ……………………6分

（2） ……………………8分

由余弦定理a?b?c?2bccosA?4?25?2?2?5??a?22245?13 …………11分

13 ……………………………………………………………12分

17．（本题满分12分）

解：（1）依题意，80~90间的频率为：

1-（0.01+0.015+0.025+0.035+0.005）?10=0.1 ……………2分 频数为: 40×0.1=4 …………………………………4分 （2）这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数分别是：68.5、75、70 ………8分 （3）因为80~90有4人，设为a,b,c,d， 90～100有2人，设为A，B，从中任选2人，

共有如下15个基本事件

（a,b）,(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),

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(c,B），（d,A），（d,B）,(A,B) ………………………………10分 设分在同组记为事件M，分在同一组的有（a,b）,(a,c),(a,d), (b,c),(b,d), (c,d), (A,B)共7个， …………………………………11分

所以 P(M)=

18．(本小题满分14分)

（1）证明：连结BD，则BD//B1D1，…………1分 ∵ABCD是正方形，∴AC?BD． …………2分 ∵CE?面ABCD，∴CE?BD． …………3分 又AC?CE?C，∴BD?面ACE． …………4分 ∵AE?面ACE，∴BD?AE， …………5分 ∴B1D1?AE． …………6分 （2）证明：连结AF、CF、EF． ∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CEB1F，……7分

A715 …………………………………12分

D1A1C1B1EDBC∴四边形B1FCE是平行四边形， …………8分 ∴ CF// B1E．CF?面B1DE B1E?面B1DE

? CF//面B1DE …………10分

∵E,F是CC1、BB1的中点，∴EF//BC， 又BC//AD，∴EF//AD．

∴四边形ADEF是平行四边形，?AF//ED，…… 12分 AF?面B1DE ED?面B1DE AF//面B1DE…………13分

∵AF?CF?C，∴平面ACF//面B1DE． …………14分 19. (本小题满分14分)

*

解：（1）∵ 对任意n∈N，有an?23(Sn?n)，且S1?a1，

∴a1?23(S1?1)?23(a1?1)，得a1= 2． …………… 1分

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又由an?23(Sn?n)，得 Sn?32an?n．

当n≥2且n∈N* 时，

有an?Sn?Sn?1?(an?n)?[an?1?(n?1)]?223332an?32an?1?1，…………… 3分

即an?3an?1?2， ∴an?1?3(an?1?1)，

由此表明?an?1?是以a1+ 1 = 3为首项，3为公比的等比数列。 需验证n取1,2时也成立.

∴an?1?3?3(n?1)，有an?3n?1． …………… 5分 故数列?an?的通项公式为an?3n?1． …………… 6分

（2）nan = n(3n?1)= n ·3n－n，设数列?n?3n? 的前n项和为Kn， 则 Kn =1?31?2?32?3?33???n?3n …………… 8分 ∴ 3Kn =1?32?2?33?3?34???(n?1)?3n?n?3(n?1)， 两式相减，得

－2Kn = 3?3?3?3???3?n?3(2n?1)?34n(n?1)2n?11234n(n?1) =

3(1?3)1?3n?n?3(n?1)，…………… 10分

∴ Kn??3， ……………12分

(2n?1)?3n?1因此 Tn?Kn?

??2n(n?1)?34． …………… 14分

20. (本小题满分14分)

解：（1）设动点P的坐标为(x,y)，由题意为(x?1)?y?|x|?1.………… 2分 化简得y?2x?2|x|,………… 3分 当x?0时,y?4x;当x?0时,y=0.………… 4分 文科数学答案 第 4 页 共 6 页 2222 所以动点P的轨迹C的方程为,y2?4x(x?0)和y=0(x?0).………… 5分 （2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y?k(x?1)．… 6分 ?y?k(x?1)由?，得k2x2?(2k2?4)x?k2?0.………… 8分 2?y?4x设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根， 于是x1?x2?2?4k2,x1x2?1．………… 9分 1．设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得k????????????2????????????…………x?x?2?4k,xx?1????????????????????????) 10分 AD?EB?(AF?FD(EF?FB3434)?????????????????)???????????????ADEBAFFD?(???EFFB)????????????(???????????????AFEFAFFBFDEF????FDFB???????????(??????????)?????????FB??????AD?EBAF?FD?(EF?)故FA?FB?FD?FE?????EF????AF????????EF?FD?FB????AFFBFD??????????????????????????????????|???AF|?|???FB|?|???FD|?|???EF|?????AF?EF?AF?FB?FD?EF?FD?FB?|???AF|?|???FB|?|???FDEF?x|?|?????|x?1)?(x1??1)(x??1)?(1)(234……… 11分 ?|(AF|FB|FD?|?EF?x1?|?1)(x2|??1)?(x|31)(|x4?1)42?1?1(2?x)?1?1?(2?4k)1)?1(x?1)(?1)?(x?1)(x?234242?1?(2?k2)?1?1?(2 ?4k)?142?1?(2?2k2)1?1?1?(2?4k2)?11……… 12分 ?8?4(kk?2)?8?4?2k?2?161122?8?4(k?k2)?8?4?2k?k2?161122?8?4(k?k2)?8?4?2k?k2?16kk……… 14分 所以FA?FB?FD?FE的最小值为16. 21．（本小题满分14分） 解：（1）由已知

， ………………1分

因为l1?l2，所以l2的斜率为?.故曲线在处切线的斜率为.………………2分

而f(1)?2，所以切点为(1,2)………………3分

y?f(x)在点x?1处的切线方程为 y?3x?1………………4分

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(2). ………………5分

①当时，由于，故，

所以，的单调递增区间为. ………………6分

②当时，由，得. ………………7分

在区间上，，在区间上， ………………8分

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 . ………9分

（3）由已知，转化为f(x)max?g(x)max. ………………10分

………………11分

由(2)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.

(或者举出反例：存在，故不符合题意.) ………………12分

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值，， ………13分

所以，解得. ………14分

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