备战2014高考数学 高频考点归类分析 统计量的分析和计算（真题为例）

统计量的分析和计算

典型例题：

例1. （2012年全国课标卷文5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），?，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,?,xn1

不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,?,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数

2据的样本相关系数为【 】

1

（A）－1 （B）0 （C） （D）1

2【答案】D。

【考点】样本相关系数。

1

【解析】根据样本相关系数的概念，因为所有样本点（xi，yi）(i=1,2,?,n)都在直线y=x+1上，

2即两变量为完全线性相关，且完全正相关，因此这组样本数据的样本相关系数为1。故选D。 例2.（2012年安徽省理5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则【 】

(A) 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 (B) 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 (C) 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 (D)甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

【答案】C。

【考点】平均数，中位数，方差，极差。 【解析】∵x甲?11(4?5?6?7?8)?6, x乙?(5?3?6?9)?6， 55 ∴甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数。

∵甲的成绩的中位数=6，乙的成绩的中位数=5，∴甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数。

∵甲的成绩的方差为(2?2?1?2)?2，乙的成绩的方差为(1?3?3?1)?2.4，

1

15221522 ∴甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差。

∵甲的成绩的极差=8－4=4，乙的成绩的极差=9－5=4， ∴甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差。

因此，正确的表述是：甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差。故选C。

例3. （2012年山东省文5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，

88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的 是【 】

A 众数 B 平均数 C 中位数 D 标准差 【答案】D。

【考点】统计量的特征。

【解析】设A样本数据为变量X，B样本数据为变量Y，则依题意，Y=X＋2。根据方差公式可得

DY=D（X+2）=DX。

∴A样本数据和B样本数据的方差相同，从而标准差也相同。故选D。

例4. （2012年江西省理5分）样本（x1,x2,?,xn）的平均数为x，样本（y1,y2,?ym）的平均数为y(x?y)，若样本（x1,x2,?,xn，y1,y2,?ym）的平均数z??x?(1??)y，其中0???则n,m的大小关系为【 】

A．n?m B．n?m C．n?m D．不能确定 【答案】A。

【考点】作差法比较大小以及整体思想，统计中的平均数。

【解析】由统计学知识，可得x1?x2???xn?nx, y1?y2???ym?my,

1，2?x1?x2???xn?y1?y2???ym??m?n?z??m?n????x??1???y?

??m?n??x??m?n??1???y，

??n??m?n??∴nx?my??m?n??x??m?n??1???y。∴?。

??m??m?n??1???∴n?m?(m?n)[??(1??)]?(m?n)(2??1)。 ∵0???1，∴2??1?0。∴n?m?0，即n?m。故选A。 2 2

例5. （2012年江西省文5分）小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为【 】

A.30％ B.10％ C.3％ D.不能确定 【答案】C。

【考点】分布的意义。

【解析】计算鸡蛋占食品开支的百分比，利用一星期的食品开支占总开支的百分比，即可求得一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比：

根据一星期的食品开支图，可知鸡蛋占食品开支的百分比为∵一星期的食品开支占总开支的百分比为30%，

∴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×10%=3%。故选C。

例6. （2012年湖北省文5分） 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

分组

[10，20）

频数

2

[20，30）

3

[30，40）

4

[40，50）

5

[50，60）

4

[60，70）

2

30 ?10%。

30?40?100?80?50则样本数据落在区间[10,40]的频率为【 】

A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65 【答案】B。

【考点】频数、频率和总量的关系。

【解析】由频率分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，

样本总数为2?3?4?5?4?2?20， ∴样本数据落在区间[10,40)内频率为

9?0.45。故选B。 20例7. （2012年湖南省理5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据?xi, yi??i?1, 2， ???, n?，用最小二乘法建立的回归方程为

3

?y?0.85x?85.71，则下列结论中不正确的是【 】

A. y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心x, y

C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D。

【考点】两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念。 【解析】对于A，∵0.85＞0，∴y与x具有正的线性相关关系，故正确； ????bx?a?bx?y?bx(a?y?bx)，对于B，∵由最小二乘法建立的回归方程得过程知y∴回归直线过样本点的中心x, y，故正确； 对于C，∵回归方程为?y?0.85x?85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确； 对于D，x=170cm时，?y?0.85?170?85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确。 故选D。 例8. （2012年陕西省理5分）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为

??m甲，m乙，则【 】

A. x甲?x乙，m甲?m乙 B. x甲?x乙，m甲?m乙 C. x甲?x乙，m甲?m乙 D. x甲?x乙，m甲?m乙 【答案】B。

【考点】茎叶图，平均数，中位数。

【解析】直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项：

4

甲的平均数

，

x甲?5?6?1的

8?6平

1??均

0数

? 乙

x乙=1?0?11?62??，

1?8 ∴x甲?x乙。 甲的中位数为

故选B。

例9. （2012年陕西省文5分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是【 】

18?2227?31?20，乙的中位数为?29，∴m甲?m乙。 22

A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53 【答案】A。

【考点】茎叶图，中位数，众数，极差。 【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即选A。

例10. （2012年山东省文4分）下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频

率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，

[22.5,23.5)，

[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中

45+47=46，众数是45，极差为68－12=56。故2平均气

温不低于25.5℃的城市个数为 ▲

5

【答案】9。

【考点】频率分布直方图，频数、频率和总量的关系。

【解析】∵从频率分布直方图可知，样本中平均气温低于22.5℃的城市的频率为0.10+0.12=0.22，城市个 数为11，

∴根据频数、频率和总量的关系，调查的城市个数为为

11=50。 0.22 又∵从频率分布直方图可知，样本中平均气温不低于25.5℃的城市的频率为0.18， ∴本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9。

例11. （2012年广东省文5分）由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 ▲ ．(从小到大排列) 【答案】1，1，3，3。

【考点】分类思想的应用，平均数，中位数，标准差。

【解析】应用分析法，结合分类思想的应用，由题意，可设x1?x2?x3?x4,x1,x2,x3,x4?N?。 由题设条件，x1,x2,x3,x4的中位数是2，根据中位数的概念，

∴由x2,x3?N?得x2=x3=2或x2=1,x3=3。

若x2=x3=2，由x1,x2,x3,x4平均数是2，得x1=1,x4=3，而此时标准差等于1不符；

若x2=1,x3=3，由x1,x2,x3,x4平均数是2，得x1=1,x4=3，而此时标准差1，与题意标准差

等于1相符。

∴这组数据为1，1，3，3。

例12. （2012年湖南省文5分）图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该

6

x2+x3=2， 22，与题意标准差2运动员在这五场比赛中得分的方差为 ▲ .. (注：方差

s2?1?(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2???，其中x为x1，x2，?，xn的平均数)[来 n

【答案】6.8。

【考点】茎叶图，方差。 【解析】∵x?1(8?9?10?13?15)?11， 51222222??6.8。 (8?11)?(9?11)?(10?11)?(13?11)?(15?11)∴s????5例13. （2012年全国课标卷文12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 (1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。

【答案】解：（Ⅰ）当n?17时，y?17?(10?5)?85； 当n?16时，y?5n?5(17?n)?10n?85。

∴y???10n?80(n?16)(n?N)。

80(n?17)?（Ⅱ）(1)由（Ⅰ）和所给表，得

日需求量n 频数 日利润y 14 10 55 15 20 65 16 16 75 17 16 18 15 85 19 13 20 10 ∴这100天的日利润的平均数为：

1?55?10?65?20?75?16?85?54?=76.4（元）。 100 7

（2）这100天中，当天的利润不少于75元有（16＋16＋15＋13＋10）=70天，

∴以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，当天的利润不少

于75元的概率为：P=0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.10=0.7。 【考点】列函数关系式，平均数，概率。

【解析】（1）根据题意，分n?17和n?17分别列式。 （2）根据平均数和概率的计算方法解题。

例14. （2012年北京市理13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；

厨余垃圾 可回收物 其他垃圾

“厨余垃圾”箱

400 30 20

“可回收物”箱

100 240 20

“其他垃圾”箱

100 30 60

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；

（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a﹥0，a?b?c?600。当数据a，b，c的方差s最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s的值。（求：s2=2

2

1?x1?xn?????2?x2?x?22?????xn?x?，其中x为数据x1，x2，?，????xn的平均数）

【答案】解：（1）∵厨余垃圾计400＋100＋100=600，投放正确的400，

∴厨余垃圾投放正确的概率为

4002=。 60033003=。 100010（2）∵生活垃圾投放错误的为50＋120＋130=300， ∴生活垃圾投放错误的概率为（3）由题意可知：

11222222 s2=??a?200???b?200???c?200??=?a+b+c?400?a+b+c??120000?????331222?=1a2+b2+c2?120000 =?a+b+c?400?600?120000?33???数据a，b，c的方差s最大时，a=600，b=0，c=0，最大方差为：

2

s2max=【考点】概率，方差。

16002?120000=80000。 3?? 8

【解析】（1）用投放到“厨余垃圾”箱的厨余垃圾除以投放到“厨余垃圾”箱的生活垃圾即可。 （2）生活垃圾投放错误的数量除以生活垃圾总量即可。 （3）由已知和方差公式求出s2=大。

下面讨论a2+b2+c2最大时，a，b，c的值： ∵a2+b2+c2=?a+b+c??2?ab?ac?bc?

∴要使a2+b2+c2最大，即要ab?ac?bc最小，即ab?ac?bc=0。 又∵a﹥0，∴b=c=0。

∴数据a，b，c的方差s最大时，a=600，b=0，c=0。代入即可求得最大方差。 例15. （2012年安徽省文13分）若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品。计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm）, 将所得数据分组， 得到如下频率分布表：

分组 [-3, -2) [-2, -1) （1,2] （2,3] （3,4] 合计 频数 8 10 50 频率 0.1 0.5 1 2

12222

a+b+c?120000，要使s最大，即要a2+b2+c2最3??2（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置；

（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率； （Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件数。

【答案】解：（I）填表如下：

9

分组

[-3, -2)

[-2, -1)

（1,2]

（2,3]

（3,4] 合计 10 8 频数 频率 0.1 5 0.16 0.5 25 0.2 2 50 0.4 1 （Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率为0.5?0.2?0.7。 （Ⅲ）∵合格品的件数为20?5000?20?1980（件）， 50 ∴估算这批产品中的合格品的件数为1980件。

【考点】频数、频率和总量的关系，概率，用样本估计总体。 【解析】（I）根据频数=总量×频率，总量=各分量频数之和计算即可。 （Ⅱ）根据概率的意义求解即可。

（Ⅲ）根据用样本估计总体的方法求解即可。

例16. （2012年广东省文13分）某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：?50,60?，?60,70?，?70,80?，?80,90?，?90,100?．

（1）求图中a的值

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数?x?与数学成绩相应分数段的人数?y?之比如下表所示，求数学成绩在?50,90?之外的人数．

10

分数段 x：y ?50,60? ?60,70? ?70,80? ?80,90? 1：1 2：1 3：4 4：5 【答案】解：（1）依题意得，10(2a?0.02?0.03?0.04)?1，解得a?0.005。

（2）这100名学生语文成绩的平均分为：

55?0.05?65?0.4?75?0.3?85?0.2?95?0.05?73（分）。

（3）数学成绩在[50,60)的人数为：100?0.05?5，

1?20， 24数学成绩在[70,80)的人数为：100?0.3??40，

35数学成绩在[80,90)的人数为：100?0.2??25，

4数学成绩在[60,70)的人数为：100?0.4? ∴数学成绩在[50,90)之外的人数为：100?5?20?40?25?10（人）。 【考点】频率分布直方图，平均数。

【解析】（1）由频率分布直方图中各个矩形的面积等于1列式求解。 （2）根据平均数的求法求解。

（3）根据比例求出这100名学生在?50,60?、?60,70?、?70,80?、?80,90?分数段的人数，即可求得数学成绩在?50,90?之外的人数。

例17. （2012年湖南省文12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量 顾客数（人） 结算时间（分钟/人） 1至4件 5至8件 30 1.5 9至12件 25 2 13至16件 17件及以上 x 1 y 2.5 10 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％. （Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.（将频率视为概率） 【答案】解：（Ⅰ）由已知得25?y?10?55,x?y?35，解得x?15,y?20。

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购

物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本

11

平均数估计，其估计值为:

1?15?1.5?30?2?25?2.5?20?3?10?1.9(分钟)。

100（Ⅱ）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1,A2,A3分别表

示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率，得

P(A1)?153303251?,P(A2)??,P(A3)??。 10020100101004∵A?A1?A2?A3,且A1,A2,A3是互斥事件，

3317???。 20104107∴一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为。

10∴P(A)?P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?【考点】概率统计的基础知识，互斥事件的并集。

【解析】（Ⅰ）根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知

25?y?10?100?55%,x?y?35,从而解得x,y，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算

时间的平均值的估计值。

（Ⅱ）通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得一位顾客一次购物的结算时间不超．．

过．2分钟的概率。

例18. （2012年福建省文12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x(元) 销量y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68 （I）求回归直线方程?y=bx＋a其中b=?20，a=y?bx；

（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)

－1－1

【答案】解：（I）由于x＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，y＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80，

66

所以a=y?bx＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为?y=?20x＋250。 （II）设工厂获得的利润为L元，依题意得

L?x(?20x+250)?4(?20x+250)=?20x2+330x?1000=20?x?8.25?+361.25，

当且仅当x＝8.25时，L取得最大值。

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润。

【考点】回归分析的初步应用，线性回归方程。

12

2【解析】（I）计算平均数，利用b=?20，a=y?bx ，即可求得回归直线方程。

（II）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入－成本，建立函数，利用配方法可求

工厂获得的利润最大。

例19.（2012年辽宁省文12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性。 (Ⅰ)根据已知条件完成下面的2?2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

男 女 合计 非体育迷 体育迷 合计 (Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。

P（X2?k） k 0.05 3.841 0.01 6.635 n(n11n22?n12n21)2附??,

n1?n2?n?1n?22【答案】解：（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：

非体育迷 体育迷 合计

13

男 女 合计 30 45 75 15 10 25 45 55 100 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

n(n11n22?n12n21)100??30?10?45?15?1002?????3.03。

n1?n2?n?1n?275?25?45?553322∵3.03＜3.841，∴没有理由认为“体育迷”与性别有关，

(Ⅱ)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从中任意选取2人的等可能事件有

C52?10种。

112 用A表示“任意选取2人，至少有1名女性”这一事件，则A=C3?C2+C2?7。

∴P?A??7。 10【考点】频率分布直方图、独立性检验、古典概型。

【解析】（I）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出?，与3.841比较即可得出结论。

（II）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。

2 14

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