第八章 第七节 抛物线（高三一轮提升练习）

一、选择题

1．(2012·西安模拟)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，则p＝

( )

1

A. B．1 2C．2

2

D．3

pp222

解析：∵抛物线y＝2px(p>0)的焦点为(，0)在圆x＋y＋2x－3＝0上，∴＋p－3＝0，

24解得p＝2或p＝－6(舍去)．

答案：C

y2x2

2．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－＝1的一个焦点重合，则该抛物线的

54标准方程可能是( )

A．x2＝4y

B．x2＝－4y D．x2＝－12y

C．y2＝－12x

解析：由题意得c＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)．∴该抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.

答案：D

3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( ) 12A．(，±)

4412C．(，)

44

12B．(，±)

8412D．(，)

84

解析：设抛物线的焦点为F，因为点P到准线的距离等于它到顶点的距离，所以点P12

为线段OF的垂直平分线与抛物线的交点，易求点P的坐标为(，±)．

84

答案：B

4．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋2y－12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )

A．5 115

C.

5

B．4 11D. 5

解析：设抛物线的焦点为F，则F(1,0)．

由抛物线的定义可知d1＝|PF|，∴d1＋d2＝|PF|＋d2. ∴d1＋d2的最小值为|PF|＋d2的最小值． 即点F到直线x＋2y－12＝0的距离．

|1－12|115

∴最小值为＝.

55答案：C

????5.如图，F为抛物线y＝4x的焦点，A、B、C在抛物线上，若FA????????????????????＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝( )

2

A．6 C．3

B．4 D．2

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，∵F(1,0)，

????????????∴FA＋FB＋FC＝(x1＋x2＋x3－3，y1＋y2＋y3)＝0，

?x1＋x2＋x3＝3，?∴? ??y1＋y2＋y3＝0.

????????????∴|FA|＋|FB|＋|FC|

pppp

＝x1＋＋x2＋＋x3＋(其中＝1)＝3＋3＝6.

2222答案：A 二、填空题

6．(2012·大连模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝

3

|MN|，则∠NMF＝________. 2

3

MN，∠NMF＝∠MNP.2

解析：过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝又cos∠MNP＝

3

， 2

ππ

∴∠MNP＝，即∠NMF＝. 66π答案： 6

7．(2012·烟台模拟)已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线

????????的焦点为F，那么|FA|＋|FB|＝________.

2??y＝4x，

解析：由?消去y，得x2－5x＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A、B两点的横

??2x＋y－4＝0.

????????坐标，故x1＋x2＝5.因为抛物线y＝4x的焦点为F(1,0)，所以|FA|＋|FB|＝(x1＋1)＋(x2

2

＋1)＝7.

答案：7 三、解答题

8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x

轴上．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切． 解：(1)设抛物线y2＝2px(p>0)，将点(2,2)代入得p＝1. ∴y2＝2x为所求抛物线的方程．

1

(2)证明：设lAB的方程为：x＝ty＋，代入y2＝2x得：y2－2ty－1＝0，设AB的中点为

21＋2t2

M(x0，y0)，则y0＝t，x0＝. 2

11＋2t1

∴点M到准线l的距离d＝x0＋＝＋＝1＋t2.又AB＝2x0＋p＝1＋2t2＋1＝2＋

2221

2t2，∴d＝AB，故以AB为直径的圆与准线l相切．

2

9.(2011·福建高考)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.

(1)求实数b的值；

(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

??y＝x＋b，解：(1)由?2得x2－4x－4b＝0，(*)

?x＝4y?

2

因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0. 解得b＝－1.

(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0. 解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1， 故点A(2,1)．

因为圆A与抛物线C的准线相切，

所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离， 即r＝|1－(－1)|＝2，

所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

10．(2012·南通模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>x2，y1>0，y2<0)

????????????25在抛物线上，且存在实数λ，使AF＋λBF＝0，|AB|＝. 4

(1)求直线AB的方程； (2)求△AOB的外接圆的方程．

解：(1)抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.

????????????∵AF＋λBF＝0，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得|AB|＝x1＋x2＋2.

y1－y2

设直线AB：y＝k(x－1)，而k＝，x>x，y>0，y2<0，∴k>0.

x1－x2121

??y＝k?x－1?，由?2得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0. ?y＝4x，?

2?k＋2??2??x1＋x2＝，???22?k＋2?25k∴?|AB|＝x1＋x2＋2＝＋2＝. 2k4

?x2＝1，?x1·∴k2＝

16. 9

2

44

从而k＝，故直线AB的方程为y＝(x－1)，

33即4x－3y－4＝0.

??4x－3y－4＝0，1

(2)由?2求得A(4,4)，B(，－1)．

4?y＝4x，?

设△AOB的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则 F＝0，

??16＋16＋4D＋4E＋F＝0，?1

1＋1＋??164D＋?－E?＋F＝0.

解得

???E＝－3，4

??F＝0.

29D＝－，4

故△AOB的外接圆的方程为x2＋y2－

293

x－y＝0. 44

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3193.html