流体力学网上辅导4

流体力学网上辅导材料4：

第4章 流体动力学

【教学基本要求】

1. 理解能量方程各项的意义。

2. 熟练掌握恒定总流的能量方程、动量方程及其与连续性方程的联合应用。

【学习重点】

1. 恒定总流能量方程及其应用。 2. 恒定总流动量方程及其应用。

【内容提要和学习指导】

4.1 理想流体运动微分方程及其积分

4.1.1 理想流体动水压强的特性

理想流体不考虑粘性，虽然质点间有相对运动，但流体运动时不产生切应力，在作用表面上只有压应力，即动水压强。理想流体动水压强具有下述两个特性：

1. 理想流体动压强的方向总是沿着作用面的内法线方向。

2. 理想流体中任一点动水压强的大小与其作用面的方位无关。即任一点动水压强的大小在各方向上均相等，只是位置坐标和时间的函数。

上述结论可用分析静水压强特性的同样方法得到证明。显然，理想流体动压强的特性与静水压强的特性完全一样。 4.1.2 理想流体运动微分方程

设想在理想流体的流场中取一微分平行六面体，置于直角坐标系中，分析作用于微分六面体上的力，列力的平衡方程，即得理想流体运动微分方程。

1?pdux????xdt??1?pduy?Y???

??ydt?1?pduz?Z?????zdt?X? （4-1）

上式就是理想流体运动微分方程，又称欧拉运动微分方程。

对于静止流体，ux=uy=uz=0，欧拉运动微分方程（4-1）变为流体静力学欧拉平衡微分方程（2-5）。

4.3.1 理想流体运动微分方程的积分

在恒定、不可压缩、质量力只有重力的条件下沿流线对理想流体运动微分方程积分，可得出伯努利（Bernoulli）积分。

如果质量力只有重力，则得

u2gz???常数

?2p 1

pu2或 z?＝常数 ??g2g （4-5）

对于同一流线上任意两点1和2，上式又可写为

22p1u1p2u2 z1???z2???g2g?g2g （4-6）

这就是理想流体的伯努利能量方程（或称伯努利方程）。需要特别指出的是，式（4-6）

只对不可压缩均质的理想流体作恒定流时，同一条流线上的任意两点适用，并不是对流场中任意两点适用。由于元流的过流断面面积微小，可以认为过流断面上的水力要素（流速和动水压强）均匀分布，流线是元流的极限情况，所以沿流线的伯努利方程对元流同样适用。 4.1.4 伯努利方程的意义

z是某点距选定基准面的高度，称位置水头；表示单位重量流体的位置势能，简称位能。

p是某点压强的作用使流体沿测压管所能上升的高度，称为压强水头，表示压力作功?g所能提供的单位能量，简称压能。

u2是以点流速u为初速度的铅直上升射流所能达到的理论高度，称为流速水头（速度2g头），表示单位重量的动能，简称动能。

前两项相加，以Hp表示：

Hp?z?p ?g （4-7）

表示某点测压管水面相对于基准面的高度，称为测压管水头，表示单位势能。

三项相加，以H表示：

pu2 H?z???g2g （4-8）

称为总水头，表示单位总能量或单位机械能。

伯努利方程表明，单位重量流体所具有的位能、压能和动能之和沿同一流线保持不变；位能、压能、动能之间可以相互转化。或者，总水头沿流程保持不变，不同过流断面上的位置水头、压强水头、速度头之间可以相互转换。 4.1.5 元流伯努利方程的应用

毕托管是广泛用于测量水流和气流中点流速的一种仪器。其公式可由伯努利方程推导得出。

4.2 实际流体运动微分方程

本节不做特别要求，同学自学。

4.2.1 实际流体质点应力分析

实际流体具有粘滞性，因此，任一点在三个互相垂直的作用面上的应力共有9个分量，其中三个压应力（动压强）pxx、pyy、pzz和六个切应力?xy、?xz、?yx、?yz、?zx、?zy。

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1. 切应力的特性和大小

（1）切应力互等定律，即作用在两互相垂直平面上且与该两平面的交线相垂直的切应力大小都是相等的。表述如下：

?xy??yx，?yz??zy，?zx??xz （4-10）

（2）切应力与流速变化的关系。因变形和速度变化有关，所以切应力与流速变化有关。

?yx??xy??(?zy??yz?xz??zx?uy?x?u??(z?y?u??(x?z?ux?)??y? ?uy???)??z??u??z)??x??? （4-11）

这就是粘性流体中切应力的普遍表达式，称为广义的牛顿内摩擦定律。

2. 压应力的特性和大小

（1）压应力的大小与其作用面的方位有关，三个相互垂直方向的压应力一般是不相等的，即

pxx?pyy?pzz。但从几何关系上可以证明，同一点上，三个相互垂直面的压应力之和，与那组垂直面的

方位无关，即(pxx?pyy?pzz)值总保持不变。在实际流体中，任何三个互相垂直面上的压应力的平均值定义为动水压强，以

p表示，则

（4-12）

p?1(pxx?pyy?pzz) 3因此，实际流体的动水压强也只是位置坐标和时间的函数，即p?p(x,y,z,t)。

（2）压应力与线变形率的关系 压应力与线变形率的关系为

?ux??x???uy?

pyy?p?2???y??u?pzz?p?2?z??z?pxx?p?2? （4-13）

4.2.2 以应力表示的实际流体的运动微分方程

分析流体中的微小六面体的受力情况，根据牛顿第二定律列动力平衡方程，可得以应力表示的实际流体的运动微分方程。作用在六面体上的表面力每面有三个：一个法向正应力，两个切应力。

du?1?pxx1??yx??zx()?(?)?x???x??y?zdt? duy?1?pyy1??zy??yx?Y?()?(?)????y??x?zdt?duz?1?pzz1??zy??yz?Z?()?(?)???z??x?ydt??X?4.2.3 实际流体的运动微分方程－Navier-stokes方程

将式（4-11）和式（4-13）代入式（4-14），得

（4-14）

上式就是以应力表示的实际流体运动基本微分方程式。

3

?u?u?u?u?1?p?2??ux?x?uxx?uyx?uzx???x??t?x?y?z? ?u?u?u?u1?p?2yyyy?Y???uy??ux?uy?uz???y??t?x?y?z??u?u?u?u?1?p?2Z???uz?z?uxz?uyz?uzz???z??t?x?y?z?X?（4-15）

上式即为不可压缩均质实际流体的运动微分方程，称纳维埃－斯托克斯方程，简称N-S方程。 如果流体为理想流体，上式即成为理想流体的运动微分方程；如果流体为静止或相对静止流体，上式

?2?2?22即成为流体的平衡微分方程。所以，N-S方程是不可压缩均质流体的普遍方程。式中，??2?2?2?x?y?z为拉普拉斯算符。

4.3 实际流体恒定总流的能量方程

4.3.1 实际流体恒定元流的能量方程

在理想流体元流的伯努利能量方程中，加上能量损失，则得实际流体恒定元流的能量方程。

2p1u12p2u2z1???z2???h?'

?g2g?g2g （4-16）

4.3.2 实际流体恒定总流的能量方程

对实际流体恒定元流的能量方程在总流过流断面积分，则得实际流体恒定总流的能量方程。

2p1?1v12p2?2v2z1???z2???h?

?g2g?g2g （4-22）

式中z1、z2为1、2过流断面上选定点相对于选定基准面的高程；

p1、p2为相应断面选定点的压强，同时用相对压强或同时用绝对压强； v1、v2为相应断面的平均流速；

?1、?2为相应断面的动能修正系数；

h?为1、2两断面间的能量损失。能量损失一般分为沿管长均匀发生的损失（称沿程能

量损失）和因局部障碍（如弯头、闸阀等）引起的损失（称局部能量损失）。

4.3.3 总流伯努利方程的应用条件及注意的问题

1. 应用条件

总流伯努利方程是在一定条件下导出的，因此在应用时应注意其应用条件： （1）流体运动是恒定流。

（2）流体是不可压缩均质流体。

（3）作用于流体上的质量力只有重力。

（4）所选取的两个过流断面应符合渐变流或均匀流条件，即符合断面上各点测压管水头等于常数的条件。但所取两断面之间的流体可以不是渐变流。但应当指出，在实际应用中，

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有时对不符合渐变流条件的过流断面也建立能量方程，这时要对该断面上的动水压强分布进行讨论。

（5）对于两断面间有流量汇入或分出的情况，亦可以分别对每支流动建立能量方程。 2. 应用伯努利方程的注意问题

（1）选好过流断面。所取断面须符合渐变流或均匀流条件。

（2）基准面的选择。基准面可以任意选择，但在同一个能量方程中只能采用同一个基准面。基准面的选择要便于问题的求解，如以通过管道出口断面中心的平面作为基准面，则出口断面的z=0，这样可以简化能量方程。

（3）能量方程中压强可以用相对压强，也可以用绝对压强，但对同一问题必须采用相同的标准。计算中通常采用相对压强。

（4）应尽量选择未知量较少的过流断面。例如水箱水面、管道出口等，因为这些地方相对压强等于零，可以简化能量方程。

（5）因渐变流同一过流断面上任何点的测压管水头(z?p)都相等，所以测压管水头?g可以选取过流断面上任意点来计算。对管道，一般选管轴中心点计算较为方便；对于明渠，一般选在自由表面上，此处相对压强为零，自由表面到基准面的高度就是测压管水头。

（6）动能修正系数?。不同过流断面上的动能修正系数?1与?2严格来讲是不相等的，且不等于1，实用上对渐变流的多数情况可令?1??2?1。对流速分布特别不均匀的流动，

?需根据具体情况确定。

（7）两断面间的水头损失h?要正确计算，它应包括沿程水头损失和局部水头损失。而且，要注意水头损失项h?在能量方程式中的位置，如流体从1断面流向2断面，则h?应与2断面的量一起写在方程的－端；如流体反过来从2断面流向1断面，则h?应与1断面的量一起写在方程的一端。

4.3.4 有能量输入或输出的能量方程

推导伯努利能量方程时没有考虑两断面间能量输入或输出情况。如果两断面间有能量输入或输出，则可以将输入的单位能量Hi或输出的单位能量Ho直接加到能量方程式中。

2p1?1v12p2?2v2有能量输入时：z1???Hi?z2???h?1?2

?g2g?g2g2p1?1v12p2?2v2有能量输出时：z1???z2???Ho?h?1?2

?g2g?g2g（4-27）

（4-28）

4.3.5 总水头线与测压管水头线

p?v2总水头 H?z? ??g2g （4-31）

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测压管水头 Hp?z?p ?g （4-32）

把各断面的总水头H和测压管水头Hp的数值，以它们距基准面的铅直距离，按一定比例在图中标出，各断面的总水头的端点沿流程的连线即为总水头线；各断面的测压管水头的端点沿流程的连线即为测压管水头线。. 4.3.5 伯努利能量方程的应用

伯努利能量方程是流体力学中的一个非常重要的方程，它与恒定总流的连续性方程联合运用，可以解决很多实际流动问题。因此，要通过例题与习题熟练掌握。解题时，思路要清楚。

4.4 实际流体恒定总流的动量方程

当计算运动流体对固体边界作用力时，一般应用动量方程。例如，通过弯管的水流对弯管的作用力；水流对喷嘴的作用力；射流的冲击力；泄流时水流对闸或溢流坝的作用力等。 4.4.1 恒定总流动量方程的推导

利用动量定律可推导流体运动的动量方程。 恒定总流动量方程为

?Q(?2v2??1v1)??F

（4-47）

上式左端代表单位时间内所研究流段通过下游断面流出的动量和通过上游断面流入的动量之差，右端则代表作用于总流流段上所有外力的代数和。

在直角坐标系中，恒定总流的动量方程式可以写成三个投影表达式

?Q(?2v2x??1v1x)??Fx???Q(?2v2y??1v1y)??Fy? ?Q(?2v2z??1v1z)??Fz?? （4-48）

式中v2x、v2y、v2z为总流下游过流断面2-2的断面平均流速在三个坐标方向的投影；v1x、v1y、v1z为上游过流断面1-1的断面平均流速在三个坐标方向的投影。ΣFx、ΣFy、ΣFz为作用在1-1与2-2断面间流体上的所有外力在三个坐标方向的投影代数和。 4.4.2 应用动量方程的注意点及步骤

恒定总流动量方程是流体动力学中最重要的方程之一，应用较为广泛。应用时，除满足恒定流条件，还应注意以下几点：

1. 动量方程是矢量式，式中流速和作用力都是有方向的量。因此，首先要选定坐标轴并标明其正方向，然后把流速和作用力向该坐标轴投影。凡是和坐标轴指向一致的流速和作用力均为正值，反之为负值。坐标的选择以方便计算为宜。

2. 动量方程式的左端，是单位时间内所取流段的动量变化值，必须是流出的动量减去流进的动量，两者切不可颠倒。

3. 所选择的两个过流断面应符合渐变流条件，这样便于计算两端断面上的动水压力。因为渐变流断面上的动水压强可按静水压强公式计算。由于大气压到处存在，压强一律采用相对压强。

4. 根据问题的要求，选定两个渐变流断面间的流体作为隔离体，作用在隔离体上的外力应包括：两断面上的流体压力，固体边界对流体的作用力、以及流体本身的重力。

5. 当所求未知作用力的方向不能事先确定时，可任意假定一个方向，若计算结果其值

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为正，说明假定方向正确；若其值为负，说明与假定方向相反。

6. 动量方程只能求解一个未知数，若方程中未知数多于一个时，必须借助于能量方程或（和）连续性方程联合求解。

7.动量方程可以应用于有流量汇入与流出的情况。

用动量方程求解流体对固体边界的作用力时，以下步骤可供参考：

1. 分析流体运动，找出渐变流断面，围取控制体。建立坐标，规定正方向。 2. 分析作用在控制体上所有外力，并假设固体边界对流体作用力R的方向。

3. 建立动量方程。若动量方程中的未知数多于一个，则应联合能量方程式或（和）连续性方程，求解边界对流体的作用力R。

4. 根据作用力与反作用力大小相等、方向相反的原则，确定流体对固体边界的作用力R?。

4.4.3 恒定总流动量方程的应用

应用动量方程时要注意其步骤：围取控制体、建立坐标；分析作用于控制体上的所有外力；建立动量方程。当动量方程中的未知数多于一个时，则应联合能量方程和连续性方程求解。

【思 考 题】

4-1动水压强与静水压强有什么不同？在推导恒定总流能量方程时，为什么过流断面必须位于渐变流段？

4-2在使用能量方程时应注意哪些问题？

4-3应用能量方程判断下列说法是否正确：（1）水一定从高处向低处流动；（2）水一定从压强大的地方向压强小的地方流动；（3）水总是从流速大的地方向流速小的地方流动？

4-4什么是水头线和水力坡度？总水头线、测压管水头线和位置水头线三者有什么关系？沿程变化特征是什么？

4-5 图示输水管道，水箱内水位保持不变，试问： （1）A点的压强能否比B点低？为什么？ （2）C点的压强能否比D点低？为什么？ （3）E点的压强能否比F点低？为什么？

【解 题 指 导】

思4-1解答：静水压强具有下列特性：即静水液体内任何点的（z+p/y）=常数。而动水压强只在一定条件下才具有这个特性，即在均匀流过水断面上的各点其（z+p/y）=常数。对于渐变流，可以近似将（z+p/y）=常数，这在推导能量方程时，可以将它作为常数提出积分号外，使积分运算变的十分简便。

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思4-3提示：三种说法均是不正确的。由于水流在流动过程中总有能量损失，因此水流只能从能量大的地方流向能量小的地方，而位置的高低、压强的大小、流速的大小不是确定液体流动方向的依据。

思4-5提示：应从两个断面的能量分析。

（1）A点的压强比B点高。A断面总能量大于B断面总能量，A断面速度小于B断面速度（A断面动能小于B断面动能），由于两断面位能相同，故A断面压能大于B断面压能。

（2）C点的压强大于D点压强。按上述思路分析。 （3）E点的压强可能比F点低。按上述思路分析。

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